Страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

191.

a) В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза $AB = 82$ см и $\angle A = 36^\circ$. Найдите с точностью до $0,1$ см катеты этого треугольника.

б) Даны катет $BC = 25$ см прямоугольного треугольника ABC и $\angle A = 32^\circ$. Найдите с точностью до $0,1$ см гипотенузу и второй катет этого треугольника.

a)

Дано:
Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$)

Гипотенуза $AB = 82$ см

Угол $\angle A = 36^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 82 \text{ см} = 0.82 \text{ м}$

$\angle A = 36^\circ$

Найти:

Катеты $BC$ и $AC$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. Косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$.

Тогда:

$BC = AB \cdot \sin(\angle A)$

$AC = AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$BC = 82 \cdot \sin(36^\circ) \approx 82 \cdot 0.587785 \approx 48.19837$

$AC = 82 \cdot \cos(36^\circ) \approx 82 \cdot 0.809017 \approx 66.339394$

Округлим результаты до 0,1 см:

$BC \approx 48.2$ см

$AC \approx 66.3$ см

Ответ: Катеты равны примерно $48.2$ см и $66.3$ см.

б)

Дано:
Прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$)

Катет $BC = 25$ см

Угол $\angle A = 32^\circ$

Перевод в СИ:

$BC = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$\angle A = 32^\circ$

Найти:

Гипотенуза $AB$ и катет $AC$

Решение:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) синус угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. Тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$.

Тогда:

Из $\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$, выразим $AB$: $AB = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Из $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$, выразим $AC$: $AC = \frac{BC}{\tan(\angle A)}$

Подставим известные значения:

$AB = \frac{25}{\sin(32^\circ)} \approx \frac{25}{0.529919} \approx 47.1859$

$AC = \frac{25}{\tan(32^\circ)} \approx \frac{25}{0.624869} \approx 40.0101$

Округлим результаты до 0,1 см:

$AB \approx 47.2$ см

$AC \approx 40.0$ см

Ответ: Гипотенуза равна примерно $47.2$ см, а второй катет равен примерно $40.0$ см.

192. Найдите углы ромба, диагонали которого равны $2\sqrt{3}$ дм и 2 дм.

Дано:

Ромб с диагоналями $d_1 = 2\sqrt{3}$ дм и $d_2 = 2$ дм.

Перевод в СИ:

$d_1 = 2\sqrt{3} \text{ дм} = 0.2\sqrt{3} \text{ м}$

$d_2 = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Углы ромба.

Решение:

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть диагонали ромба $AC = d_1$ и $BD = d_2$ пересекаются в точке $O$.

Тогда образуются четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них, например, $\Delta AOB$.

Длины половин диагоналей будут:

$AO = \frac{d_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм

$BO = \frac{d_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ дм

В прямоугольном треугольнике $\Delta AOB$ мы можем использовать тангенс для нахождения половины одного из углов ромба. Пусть $\angle OAB$ – это половина угла $A$ ромба.

$\tan(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BO}{AO}$

$\tan(\angle OAB) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Из таблицы значений тангенса известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

Поскольку диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то полный угол ромба $\angle A = 2 \times \angle OAB = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

Сумма соседних углов ромба (как и любого параллелограмма) равна $180^\circ$. Пусть $\angle B$ – соседний угол к $\angle A$.

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

У ромба противолежащие углы равны, поэтому углы ромба будут $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ:

Углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

193. a) Даны катеты 21 см и 18 см прямоугольного треугольника. Найдите его острые углы с точностью до $1^\circ$ и гипотенузу.

б) Даны катет 52 см и гипотенуза 67 см прямоугольного треугольника. Найдите с точностью до $1^\circ$ острые углы и второй катет этого треугольника.

a)

Дано:

Катет $a = 21 \text{ см}$

Катет $b = 18 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Катет $a = 0.21 \text{ м}$

Катет $b = 0.18 \text{ м}$

Найти:

Гипотенуза $c$, острые углы $\alpha$, $\beta$

Решение:

1. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(21 \text{ см})^2 + (18 \text{ см})^2} = \sqrt{441 \text{ см}^2 + 324 \text{ см}^2} = \sqrt{765 \text{ см}^2} \approx 27.66 \text{ см}$

2. Найдем острые углы с помощью тригонометрических функций. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, противолежащий катету $b$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{21}{18} \approx 1.1667$

$\alpha = \arctan(1.1667) \approx 49.399^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 49^\circ$

Тангенс угла $\beta$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan \beta = \frac{b}{a} = \frac{18}{21} \approx 0.8571$

$\beta = \arctan(0.8571) \approx 40.601^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 41^\circ$

Проверка: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике должна быть $90^\circ$. $49^\circ + 41^\circ = 90^\circ$.

Ответ: Гипотенуза $c \approx 27.7 \text{ см}$, острые углы $\approx 49^\circ$ и $\approx 41^\circ$.

б)

Дано:

Катет $a = 52 \text{ см}$

Гипотенуза $c = 67 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Катет $a = 0.52 \text{ м}$

Гипотенуза $c = 0.67 \text{ м}$

Найти:

Второй катет $b$, острые углы $\alpha$, $\beta$

Решение:

1. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2$

$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(67 \text{ см})^2 - (52 \text{ см})^2} = \sqrt{4489 \text{ см}^2 - 2704 \text{ см}^2} = \sqrt{1785 \text{ см}^2} \approx 42.25 \text{ см}$

2. Найдем острые углы. Пусть $\alpha$ - угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ - угол, прилежащий к катету $a$ (противолежащий катету $b$).

Синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{52}{67} \approx 0.7761$

$\alpha = \arcsin(0.7761) \approx 50.91^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\alpha \approx 51^\circ$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:

$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ$

Можно также найти $\beta$ с помощью косинуса или синуса:

$\cos \beta = \frac{a}{c} = \frac{52}{67} \approx 0.7761$

$\beta = \arccos(0.7761) \approx 39.09^\circ$

Округляем до $1^\circ$: $\beta \approx 39^\circ$. Результаты совпадают.

Ответ: Второй катет $b \approx 42.3 \text{ см}$, острые углы $\approx 51^\circ$ и $\approx 39^\circ$.

194. a) В прямоугольной трапеции острый угол равен $60^\circ$. Большая боковая сторона и большее основание равны по 12 см. Найдите периметр трапеции.

б) В прямоугольном треугольнике $ACB$ $\angle C = 90^\circ$, катет $AC = 14$ см, $BM$ – медиана, $\angle AMB = 130^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см длины отрезков $BM$ и $BC$.

а)

Дано:

трапеция $ABCD$, $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle D = 90^{\circ}$

$BC = 12$ см (большая боковая сторона)

$CD = 12$ см (большее основание)

острый угол $\angle C = 60^{\circ}$

Найти:

периметр трапеции $P_{ABCD}$

Решение:

1. Проведем высоту $BE$ из вершины $B$ на основание $CD$. Так как трапеция прямоугольная, $AD$ также является высотой.

2. Четырехугольник $ABED$ является прямоугольником, поскольку $AB \parallel DE$, $AD \parallel BE$ и $\angle A = 90^{\circ}$. Следовательно, $AD = BE$ и $AB = DE$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCE$ ($\angle E = 90^{\circ}$).

Мы знаем, что гипотенуза $BC = 12$ см и острый угол $\angle C = 60^{\circ}$.

Используем тригонометрические соотношения для нахождения катетов $BE$ и $CE$:

$BE = BC \sin(\angle C) = 12 \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

$CE = BC \cos(\angle C) = 12 \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

4. Так как $CD$ - большее основание и равно 12 см, а $CE = 6$ см, то длина отрезка $DE$ равна $CD - CE = 12 - 6 = 6$ см.

5. Из свойств прямоугольника $ABED$ имеем:

Высота трапеции $AD = BE = 6\sqrt{3}$ см.

Меньшее основание трапеции $AB = DE = 6$ см.

6. Периметр трапеции $P_{ABCD}$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$

$P_{ABCD} = 6 + 12 + 12 + 6\sqrt{3} = 30 + 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $30 + 6\sqrt{3}$ см.

б)

Дано:

прямоугольный треугольник $ACB$, $\angle C = 90^{\circ}$

катет $AC = 14$ см

$BM$ - медиана

$\angle AMB = 130^{\circ}$

Найти:

длины отрезков $BM$ и $BC$ с точностью до 0,1 см.

Решение:

1. Так как $BM$ - медиана, проведенная к стороне $AC$, то точка $M$ является серединой отрезка $AC$.

Следовательно, $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

2. Углы $\angle AMB$ и $\angle CMB$ являются смежными углами, так как точки $A$, $M$, $C$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$.

$\angle CMB = 180^{\circ} - \angle AMB = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCM$ ($\angle C = 90^{\circ}$).

У нас есть катет $MC = 7$ см и острый угол $\angle CMB = 50^{\circ}$.

Используем тригонометрические соотношения для нахождения катета $BC$ и гипотенузы $BM$:

Для нахождения $BC$ (катет, противолежащий углу $\angle CMB$):

$\tan(\angle CMB) = \frac{BC}{MC}$

$BC = MC \tan(\angle CMB) = 7 \tan(50^{\circ})$

$BC \approx 7 \cdot 1.1917535 \approx 8.3422745$ см.

Округлим до 0,1 см: $BC \approx 8.3$ см.

Для нахождения $BM$ (гипотенуза):

$\cos(\angle CMB) = \frac{MC}{BM}$

$BM = \frac{MC}{\cos(\angle CMB)} = \frac{7}{\cos(50^{\circ})}$

$BM \approx \frac{7}{0.6427876} \approx 10.890196$ см.

Округлим до 0,1 см: $BM \approx 10.9$ см.

Ответ: $BM \approx 10.9$ см, $BC \approx 8.3$ см.

195. К окружности радиуса 12 см проведены две касательные, угол между которыми равен $40^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние от центра окружности до точки пересечения касательных.

Дано:

радиус окружности $r = 12 \, \text{см}$

угол между касательными $\alpha = 40^\circ$

Перевод в СИ:

$r = 12 \, \text{см} = 0.12 \, \text{м}$

$\alpha = 40^\circ$

Найти:

расстояние от центра окружности до точки пересечения касательных $d$

Решение:

Пусть O - центр окружности, P - точка пересечения касательных, A и B - точки касания. Согласно свойствам касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных PA и PB равны по длине, а радиусы OA и OB, проведенные в точки касания A и B соответственно, перпендикулярны касательным PA и PB.

Таким образом, треугольники $\triangle OAP$ и $\triangle OBP$ являются прямоугольными с прямыми углами в точках A и B.

Отрезок OP, соединяющий центр окружности с точкой пересечения касательных, является биссектрисой угла между касательными $\angle APB$.

Следовательно, угол $\angle APO$ равен половине угла $\angle APB$:

$\angle APO = \frac{\angle APB}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAP$ (с прямым углом при вершине A) нам известен катет $OA$ (который является радиусом $r$) и угол $\angle APO$. Мы ищем гипотенузу $OP$, которая является расстоянием $d$ от центра окружности до точки пересечения касательных.

Используем тригонометрическое определение синуса:

$\sin(\angle APO) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OA}{OP}$

Выразим $OP$ из этого соотношения:

$OP = \frac{OA}{\sin(\angle APO)}$

Подставим известные значения:

$d = \frac{r}{\sin(20^\circ)}$

$d = \frac{12 \, \text{см}}{\sin(20^\circ)}$

Вычислим значение $\sin(20^\circ)$: $\sin(20^\circ) \approx 0.34202014$

Теперь вычислим $d$:

$d \approx \frac{12}{0.34202014} \approx 35.08502 \, \text{см}$

Округлим результат до одной десятой сантиметра, как того требует условие задачи:

$d \approx 35.1 \, \text{см}$

Ответ:

Расстояние от центра окружности до точки пересечения касательных составляет $35.1 \, \text{см}$.