Страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

170. Запишите в порядке возрастания значений выражения:

а) $ \sin 36^\circ $, $ \sin 80^\circ $, $ \sin 24^\circ $;

б) $ \cos 45^\circ $, $ \cos 76^\circ $, $ \cos 18^\circ $;

в) $ \cos 70^\circ $, $ \sin 50^\circ $, $ \cos 20^\circ $;

г) $ \tan 65^\circ $, $ \tan 82^\circ $, $ \tan 28^\circ $;

д) $ \cot 53^\circ $, $ \cot 12^\circ $, $ \cot 2^\circ $;

е) $ \tan 60^\circ $, $ \cot 80^\circ $, $ \tan 40^\circ $.

a) sin 36°, sin 80°, sin 24°

Решение: В первом квадранте (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция синус является возрастающей, то есть чем больше угол, тем больше значение синуса. Сравниваем углы: $24^\circ < 36^\circ < 80^\circ$. Следовательно, значения синуса будут располагаться в том же порядке.

Ответ: $\sin 24^\circ, \sin 36^\circ, \sin 80^\circ$

б) cos 45°, cos 76°, cos 18°

Решение: В первом квадранте (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция косинус является убывающей, то есть чем больше угол, тем меньше значение косинуса. Сравниваем углы: $18^\circ < 45^\circ < 76^\circ$. Следовательно, значения косинуса будут располагаться в обратном порядке по отношению к углам.

Ответ: $\cos 76^\circ, \cos 45^\circ, \cos 18^\circ$

в) cos 70°, sin 50°, cos 20°

Решение: Для сравнения выражений, содержащих как синус, так и косинус, удобно привести их к одному виду функции, используя формулу приведения $\cos x = \sin (90^\circ - x)$. Преобразуем косинусы в синусы: $\cos 70^\circ = \sin (90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ$ $\cos 20^\circ = \sin (90^\circ - 20^\circ) = \sin 70^\circ$ Исходные выражения в новом виде: $\sin 20^\circ, \sin 50^\circ, \sin 70^\circ$. В первом квадранте функция синус является возрастающей. Сравниваем углы: $20^\circ < 50^\circ < 70^\circ$. Следовательно, значения синуса будут располагаться в том же порядке.

Ответ: $\cos 70^\circ, \sin 50^\circ, \cos 20^\circ$

г) tg 65°, tg 82°, tg 28°

Решение: В первом квадранте (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция тангенс является возрастающей, то есть чем больше угол, тем больше значение тангенса. Сравниваем углы: $28^\circ < 65^\circ < 82^\circ$. Следовательно, значения тангенса будут располагаться в том же порядке.

Ответ: $\text{tg } 28^\circ, \text{tg } 65^\circ, \text{tg } 82^\circ$

д) ctg 53°, ctg 12°, ctg 2°

Решение: В первом квадранте (от $0^\circ$ до $90^\circ$) функция котангенс является убывающей, то есть чем больше угол, тем меньше значение котангенса. Сравниваем углы: $2^\circ < 12^\circ < 53^\circ$. Следовательно, значения котангенса будут располагаться в обратном порядке по отношению к углам.

Ответ: $\text{ctg } 53^\circ, \text{ctg } 12^\circ, \text{ctg } 2^\circ$

е) tg 60°, ctg 80°, tg 40°

Решение: Для сравнения выражений, содержащих как тангенс, так и котангенс, удобно привести их к одному виду функции, используя формулу приведения $\text{ctg } x = \text{tg } (90^\circ - x)$. Преобразуем котангенс в тангенс: $\text{ctg } 80^\circ = \text{tg } (90^\circ - 80^\circ) = \text{tg } 10^\circ$ Исходные выражения в новом виде: $\text{tg } 60^\circ, \text{tg } 10^\circ, \text{tg } 40^\circ$. В первом квадранте функция тангенс является возрастающей. Сравниваем углы: $10^\circ < 40^\circ < 60^\circ$. Следовательно, значения тангенса будут располагаться в том же порядке.

Ответ: $\text{ctg } 80^\circ, \text{tg } 40^\circ, \text{tg } 60^\circ$

171.

a) Найдите углы прямоугольного треугольника, если: 1) косинус одного из его острых углов равен $ \frac{1}{2} $; 2) синус одного из его острых углов равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

б) Чему равны тангенсы острых углов прямоугольного треугольника, если косинус одного из них равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

a)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

1) Косинус одного из острых углов $\alpha$ равен $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $.

2) Синус одного из острых углов $\alpha$ равен $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Найти:

Все углы треугольника.

Решение:

1) Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$.
Из условия дано, что $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $.
Известно, что косинус угла $60^\circ$ равен $ \frac{1}{2} $. Следовательно, $ \alpha = 60^\circ $.
Поскольку треугольник является прямоугольным, один из его углов равен $90^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Если один острый угол равен $ \alpha = 60^\circ $, то второй острый угол $ \beta $ будет равен $ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.
Таким образом, углы треугольника равны $90^\circ$, $60^\circ$ и $30^\circ$.

Ответ: $90^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$.

2) Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$.
Из условия дано, что $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Известно, что синус угла $45^\circ$ равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Следовательно, $ \alpha = 45^\circ $.
Поскольку треугольник является прямоугольным, один из его углов равен $90^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Если один острый угол равен $ \alpha = 45^\circ $, то второй острый угол $ \beta $ будет равен $ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.
Таким образом, углы треугольника равны $90^\circ$, $45^\circ$ и $45^\circ$.

Ответ: $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$.

б)

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Косинус одного из острых углов $\alpha$ равен $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найти:

Тангенсы острых углов.

Решение:

Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен $\alpha$.
Из условия дано, что $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Известно, что косинус угла $30^\circ$ равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Следовательно, $ \alpha = 30^\circ $.
Найдем тангенс этого угла:
$ \tan \alpha = \tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} $.
Знаем, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тогда $ \tan \alpha = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.
Пусть второй острый угол прямоугольного треугольника равен $\beta$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
Следовательно, $ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.
Найдем тангенс этого угла:
$ \tan \beta = \tan 60^\circ $.
Известно, что $ \tan 60^\circ = \sqrt{3} $.
Таким образом, тангенсы острых углов равны $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \sqrt{3} $.

Ответ: Тангенсы острых углов равны $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ \sqrt{3} $.

172. a) В остроугольном треугольнике синус одного острого угла равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, синус другого $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите третий угол.

б) В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами равен 20°. Верно ли, что синус угла при основании этого треугольника больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

a)

Дано:

Остроугольный треугольник с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найти:

$\gamma$

Решение:

Поскольку треугольник остроугольный, все его углы должны быть меньше $90^\circ$.

Найдем значения углов $\alpha$ и $\beta$ по их синусам:

Для $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, острым углом является $\alpha = 45^\circ$. Этот угол меньше $90^\circ$, что соответствует условию остроугольного треугольника.

Для $\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, острым углом является $\beta = 60^\circ$. Этот угол меньше $90^\circ$, что также соответствует условию остроугольного треугольника.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Вычислим третий угол $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$

$\gamma = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ$

$\gamma = 180^\circ - 105^\circ$

$\gamma = 75^\circ$

Проверим, является ли третий угол острым: $75^\circ < 90^\circ$. Условие остроугольного треугольника соблюдается.

Ответ: $75^\circ$

б)

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Угол между боковыми сторонами (угол при вершине) $\alpha = 20^\circ$.

Найти:

Верно ли, что синус угла при основании этого треугольника больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$?

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим каждый из них как $\beta$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Таким образом, $\alpha + \beta + \beta = 180^\circ$, что можно записать как $\alpha + 2\beta = 180^\circ$.

Подставим известное значение угла при вершине $\alpha = 20^\circ$:

$20^\circ + 2\beta = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 20^\circ$

$2\beta = 160^\circ$

$\beta = \frac{160^\circ}{2}$

$\beta = 80^\circ$

Теперь вычислим синус угла при основании, то есть $\sin \beta = \sin 80^\circ$.

Нам нужно сравнить $\sin 80^\circ$ с $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что $\frac{\sqrt{3}}{2}$ является значением синуса для угла $60^\circ$, то есть $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ$.

Поскольку функция синуса возрастает на интервале углов от $0^\circ$ до $90^\circ$, то чем больше угол в этом диапазоне, тем больше его синус.

Так как $80^\circ > 60^\circ$, то $\sin 80^\circ > \sin 60^\circ$.

Следовательно, $\sin 80^\circ > \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Утверждение "синус угла при основании этого треугольника больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$" верно.

Ответ: Да, верно.

173. Дан квадрат ABCD, O – точка пересечения его диагоналей, M – середина стороны CD. Найдите:

a) $\sin \angle CBM$;

б) $\cos \angle ABO$;

в) $\operatorname{tg} \left( \frac{1}{2} \angle AMB \right)$;

г) $\operatorname{ctg} \angle ABM$.

Дано:

Квадрат $ABCD$.

$O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

$M$ - середина стороны $CD$.

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются отношениями или углами в геометрической задаче.

Найти:

а) $\sin \angle CBM$

б) $\cos \angle ABO$

в) $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right)$

г) $\operatorname{ctg} \angle ABM$

Решение:

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

а) Найти $\sin \angle CBM$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBM$. Угол $\angle BCM = 90^\circ$.

Сторона $BC = a$.

Так как $M$ - середина стороны $CD$, то $CM = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}$.

Найдем длину гипотенузы $BM$ по теореме Пифагора:

$BM^2 = BC^2 + CM^2$

$BM^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$BM^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 + a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

$BM = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Теперь найдем $\sin \angle CBM$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin \angle CBM = \frac{CM}{BM} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\sin \angle CBM = \frac{\sqrt{5}}{5}$

б) Найти $\cos \angle ABO$

В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ делят углы квадрата пополам.

Угол $\angle ABC = 90^\circ$.

Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Следовательно, $\angle ABO = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Теперь найдем $\cos \angle ABO$:

$\cos \angle ABO = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\cos \angle ABO = \frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Найти $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right)$

Рассмотрим треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle BCM$.

Поскольку $ABCD$ - квадрат, $AD = BC = a$.

$M$ - середина $CD$, поэтому $DM = CM = \frac{a}{2}$.

Углы $\angle D = \angle C = 90^\circ$.

По признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), $\triangle ADM \cong \triangle BCM$.

Из равенства треугольников следует, что $AM = BM$. Таким образом, $\triangle AMB$ является равнобедренным.

Проведем высоту $MK$ к стороне $AB$ в равнобедренном треугольнике $\triangle AMB$. Высота $MK$ также является медианой и биссектрисой угла $\angle AMB$.

$MK$ перпендикулярна $AB$ и параллельна $AD$ и $BC$. Длина $MK$ равна стороне квадрата, то есть $MK = a$.

$K$ - середина $AB$, поэтому $AK = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AKM$.

Угол $\angle AKM = 90^\circ$.

$AK = \frac{a}{2}$, $MK = a$.

Нам нужно найти $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right)$. Так как $MK$ - биссектриса угла $\angle AMB$, то $\frac{1}{2} \angle AMB = \angle AMK$.

$\operatorname{tg} \angle AMK = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AK}{MK}$

$\operatorname{tg} \angle AMK = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \angle AMB\right) = \frac{1}{2}$

г) Найти $\operatorname{ctg} \angle ABM$

Мы знаем, что $\angle ABC = 90^\circ$.

Угол $\angle ABM = \angle ABC - \angle CBM = 90^\circ - \angle CBM$.

Используем тригонометрическое тождество: $\operatorname{ctg} (90^\circ - x) = \operatorname{tg} x$.

Следовательно, $\operatorname{ctg} \angle ABM = \operatorname{tg} \angle CBM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CBM$.

$BC = a$ (прилежащий катет к $\angle CBM$).

$CM = \frac{a}{2}$ (противолежащий катет к $\angle CBM$).

$\operatorname{tg} \angle CBM = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CM}{BC} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\operatorname{ctg} \angle ABM = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\operatorname{ctg} \angle ABM = \frac{1}{2}$

174. Докажите неравенство:

а) $ \sin 30^\circ + \cos 45^\circ > 1 $

б) $ \operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{ctg} 25^\circ $

a)

Дано:

Неравенство: $\sin 30^\circ + \cos 45^\circ > 1$

Данные в СИ: Для углов в градусах перевод в радианы (единицы СИ) не требуется для данной задачи, так как используются табличные значения тригонометрических функций и их свойства, которые не зависят от системы измерения углов.

Найти:

Доказать неравенство.

Решение:

Для доказательства неравенства, найдем точные значения тригонометрических функций для заданных углов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в левую часть неравенства:

$\sin 30^\circ + \cos 45^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Теперь необходимо сравнить полученное значение с 1. Рассмотрим неравенство:

$\frac{1 + \sqrt{2}}{2} > 1$

Умножим обе части неравенства на 2 (поскольку 2 > 0, знак неравенства не меняется):

$1 + \sqrt{2} > 2$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{2} > 1$

Возведем обе части неравенства в квадрат (поскольку обе части положительны, знак неравенства не меняется):

$(\sqrt{2})^2 > 1^2$

$2 > 1$

Так как неравенство $2 > 1$ является истинным, то и исходное неравенство $\sin 30^\circ + \cos 45^\circ > 1$ также является истинным.

Ответ: Доказано.

б)

Дано:

Неравенство: $\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{ctg} 25^\circ$

Данные в СИ: Для углов в градусах перевод в радианы (единицы СИ) не требуется для данной задачи, так как используются свойства тригонометрических функций.

Найти:

Доказать неравенство.

Решение:

Для доказательства данного неравенства воспользуемся свойством котангенса, выражающего его через тангенс угла, дополняющего до $90^\circ$:

$\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg} (90^\circ - x)$

Применим это тождество для угла $x = 25^\circ$:

$\operatorname{ctg} 25^\circ = \operatorname{tg} (90^\circ - 25^\circ) = \operatorname{tg} 65^\circ$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{tg} 65^\circ$

Функция тангенса $\operatorname{tg} x$ является строго возрастающей на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Поскольку углы $25^\circ$ и $65^\circ$ оба находятся в этом интервале, и $25^\circ < 65^\circ$, то из свойства возрастания функции тангенса следует, что:

$\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{tg} 65^\circ$

Таким образом, исходное неравенство $\operatorname{tg} 25^\circ < \operatorname{ctg} 25^\circ$ доказано.

Ответ: Доказано.