Страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

135. Дан выпуклый четырехугольник. Выясните, при каких условиях четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника, будет:

а) прямоугольником;

б) ромбом;

в) квадратом.

Дано: Выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точки $P$, $Q$, $R$, $S$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Найти: Условия, при которых четырехугольник $PQRS$ будет:

a) прямоугольником;

б) ромбом;

в) квадратом.

Решение:

Рассмотрим данный выпуклый четырехугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$. Точки $P$, $Q$, $R$, $S$ являются серединами его сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Согласно теореме Вариньона, четырехугольник $PQRS$, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырехугольника, всегда является параллелограммом.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством средней линии треугольника:

• В треугольнике $ABC$ отрезок $PQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Следовательно, $PQ$ является средней линией $\triangle ABC$, а значит, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $ADC$ отрезок $SR$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. Следовательно, $SR$ является средней линией $\triangle ADC$, а значит, $SR \parallel AC$ и $SR = \frac{1}{2}AC$.
• Из этих двух утверждений следует, что $PQ \parallel SR$ и $PQ = SR$.
• Аналогично, в треугольнике $ABD$ отрезок $PS$ соединяет середины сторон $AB$ и $DA$. Следовательно, $PS \parallel BD$ и $PS = \frac{1}{2}BD$.
• И в треугольнике $BCD$ отрезок $QR$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$. Следовательно, $QR \parallel BD$ и $QR = \frac{1}{2}BD$.
• Из этих двух утверждений следует, что $PS \parallel QR$ и $PS = QR$.

Так как обе пары противоположных сторон четырехугольника $PQRS$ параллельны и равны, $PQRS$ действительно является параллелограммом.

Теперь рассмотрим условия, при которых этот параллелограмм $PQRS$ будет обладать заданными свойствами:

а) прямоугольником

Параллелограмм является прямоугольником, если его смежные стороны перпендикулярны. То есть, для $PQRS$ необходимо, чтобы $PQ \perp PS$.

Мы знаем, что $PQ \parallel AC$ и $PS \parallel BD$. Если $PQ \perp PS$, то линии, которым они параллельны, также должны быть перпендикулярны. Следовательно, $AC \perp BD$.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, будет прямоугольником, если диагонали данного четырехугольника перпендикулярны.

б) ромбом

Параллелограмм является ромбом, если все его стороны равны. То есть, для $PQRS$ необходимо, чтобы $PQ = PS$.

Мы знаем, что $PQ = \frac{1}{2}AC$ и $PS = \frac{1}{2}BD$.

Условие $PQ = PS$ означает, что $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$, что равносильно $AC = BD$.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, будет ромбом, если диагонали данного четырехугольника равны.

в) квадратом

Квадрат - это параллелограмм, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом.

Для того чтобы $PQRS$ был прямоугольником (по пункту а)), диагонали исходного четырехугольника $ABCD$ должны быть перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Для того чтобы $PQRS$ был ромбом (по пункту б)), диагонали исходного четырехугольника $ABCD$ должны быть равны: $AC = BD$.

Следовательно, для того чтобы $PQRS$ был квадратом, оба эти условия должны выполняться одновременно.

Ответ: Четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, будет квадратом, если диагонали данного четырехугольника равны и перпендикулярны.

136. a) В параллелограмме $ABCD$ биссектриса $AL$ делит сторону $BC$ на отрезки $BL = 3$ см, $LC = 5$ см. Докажите, что четырехугольник $ALCD$ является трапецией и найдите длину ее средней линии.

б) Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ – середины его сторон $AD$ и $CD$ соответственно. Найдите периметр четырехугольника $MOND$, если $AB = 5$ см.

в) На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $BM : MA = BN : NC = 1 : 2$. Найдите $MN$, если $AC = 12$ см.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Биссектриса $AL$ угла $A$.

Точка $L$ лежит на стороне $BC$.

$BL = 3$ см.

$LC = 5$ см.

Перевод в СИ:

$BL = 0.03$ м.

$LC = 0.05$ м.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $ALCD$ является трапецией.

Длину средней линии трапеции $ALCD$.

Решение:

1. Докажем, что четырехугольник $ALCD$ является трапецией.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $L$ лежит на отрезке $BC$, то $AD \parallel LC$. Это означает, что четырехугольник $ALCD$ имеет одну пару параллельных сторон $AD$ и $LC$. Для того чтобы он был трапецией, нужно показать, что другая пара сторон, $AL$ и $DC$, не параллельна.

Биссектриса $AL$ делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAL = \angle LAD$.

Так как $AD \parallel BC$, то $\angle LAD = \angle ALB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AL$.

Из равенств $\angle BAL = \angle LAD$ и $\angle LAD = \angle ALB$ следует, что $\angle BAL = \angle ALB$.

В треугольнике $ABL$ углы при основании $AL$ равны ($\angle BAL = \angle ALB$), следовательно, треугольник $ABL$ является равнобедренным с основанием $AL$. Отсюда $AB = BL$.

По условию $BL = 3$ см, значит $AB = 3$ см.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 3$ см.

Сторона $BC = BL + LC = 3 + 5 = 8$ см. В параллелограмме $AD = BC = 8$ см.

Рассмотрим четырехугольник $ALCD$. Если бы он был параллелограммом, то $AD$ было бы равно $LC$. Однако $AD = 8$ см, а $LC = 5$ см. Так как $8 \ne 5$, четырехугольник $ALCD$ не является параллелограммом. Поскольку у него есть одна пара параллельных сторон ($AD \parallel LC$), а другая пара сторон не параллельна, то $ALCD$ является трапецией с основаниями $AD$ и $LC$.

2. Найдем длину средней линии трапеции $ALCD$.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. Основаниями трапеции $ALCD$ являются $AD$ и $LC$.

$AD = 8$ см.

$LC = 5$ см.

Средняя линия $m = \frac{AD + LC}{2}$.

$m = \frac{8 + 5}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$ см.

Ответ: Четырехугольник $ALCD$ является трапецией. Длина ее средней линии $6.5$ см.

Дано:

Ромб $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Точка $M$ – середина стороны $AD$.

Точка $N$ – середина стороны $CD$.

$AB = 5$ см.

Перевод в СИ:

$AB = 0.05$ м.

Найти:

Периметр четырехугольника $MOND$.

Решение:

В ромбе все стороны равны, поэтому $AB = BC = CD = DA = 5$ см.

Точка $M$ – середина $AD$, следовательно, $DM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Точка $N$ – середина $CD$, следовательно, $DN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Значит, треугольники $AOD$ и $COD$ являются прямоугольными с прямым углом в вершине $O$ ($\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Для треугольника $AOD$ гипотенузой является $AD$. $M$ – середина $AD$, значит $OM$ – медиана к гипотенузе $AD$.

Следовательно, $OM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Для треугольника $COD$ гипотенузой является $CD$. $N$ – середина $CD$, значит $ON$ – медиана к гипотенузе $CD$.

Следовательно, $ON = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$ см.

Периметр четырехугольника $MOND$ равен сумме длин его сторон: $P_{MOND} = DM + DN + ON + OM$.

$P_{MOND} = 2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.5 = 4 \cdot 2.5 = 10$ см.

Ответ: Периметр четырехугольника $MOND$ равен $10$ см.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $M$ на стороне $AB$.

Точка $N$ на стороне $BC$.

$BM : MA = 1 : 2$.

$BN : NC = 1 : 2$.

$AC = 12$ см.

Перевод в СИ:

$AC = 0.12$ м.

Найти:

Длину отрезка $MN$.

Решение:

Из условия $BM : MA = 1 : 2$ следует, что $BM$ составляет одну часть, а $MA$ – две такие же части отрезка $AB$. То есть, $AB = BM + MA = 1$ часть $+ 2$ части $= 3$ части.

Следовательно, $BM = \frac{1}{3} AB$.

Аналогично, из условия $BN : NC = 1 : 2$ следует, что $BN = \frac{1}{3} BC$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN$.

У них есть общий угол $\angle B$.

Отношения сторон, прилегающих к углу $B$, равны:

$\frac{BM}{AB} = \frac{1}{3}$

$\frac{BN}{BC} = \frac{1}{3}$

По признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними ($\text{SAS}$), треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. То есть, $\frac{MN}{AC} = k = \frac{1}{3}$.

Выразим $MN$: $MN = \frac{1}{3} AC$.

Подставим известное значение $AC = 12$ см:

$MN = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

Ответ: Длина отрезка $MN$ равна $4$ см.

137.

a) Основания трапеции равны $c$ и $p$ ($p > c$). Найдите длину отрезка, соединяющего середины ее диагоналей.

б) Разделите данный отрезок на две части в отношении: 1) 1 : 2; 2) 3 : 4.

в) Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то: 1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$; 2) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

а) Основания трапеции равны с и р (p > c). Найдите длину отрезка, соединяющего середины ее диагоналей.

Дано:

Трапеция с основаниями $p$ и $c$.

$p > c$.

Найти:

Длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Решение:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, где $AB = p$ и $CD = c$. Пусть $AD$ и $BC$ — боковые стороны.Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$.Проведем вспомогательную среднюю линию $EF$ трапеции, где $E$ — середина стороны $AD$, а $F$ — середина стороны $BC$.Рассмотрим треугольник $ABD$. Точка $E$ — середина $AD$, точка $N$ — середина $BD$. Следовательно, отрезок $EN$ является средней линией треугольника $ABD$.По свойству средней линии треугольника, $EN \parallel AB$ и $EN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}p$.Рассмотрим треугольник $ADC$. Точка $E$ — середина $AD$, точка $M$ — середина $AC$. Следовательно, отрезок $EM$ является средней линией треугольника $ADC$.По свойству средней линии треугольника, $EM \parallel CD$ и $EM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}c$.Поскольку основания трапеции $AB$ и $CD$ параллельны, и $EN \parallel AB$, а $EM \parallel CD$, то отрезки $EN$ и $EM$ лежат на одной прямой (которая параллельна основаниям трапеции и проходит через $E$). Это означает, что точки $E$, $M$, $N$ лежат на одной прямой.Так как $p > c$, то $EN > EM$. Это означает, что точка $M$ лежит между точками $E$ и $N$.Следовательно, длина отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $EN$ и $EM$:$MN = EN - EM$$MN = \frac{1}{2}p - \frac{1}{2}c$$MN = \frac{p-c}{2}$

Ответ: $\frac{p-c}{2}$

б) Разделите данный отрезок на две части в отношении: 1) 1 : 2; 2) 3 : 4.

Пусть длина отрезка, найденного в пункте а), равна $L = \frac{p-c}{2}$.

1) 1 : 2

При делении отрезка длиной $L$ в отношении $1:2$, отрезок разбивается на две части, длины которых относятся как 1 к 2. Сумма долей составляет $1+2=3$.

Длина первой части: $\frac{1}{1+2}L = \frac{1}{3}L = \frac{1}{3} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{p-c}{6}$.

Длина второй части: $\frac{2}{1+2}L = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{p-c}{3}$.

Ответ: Части равны $\frac{p-c}{6}$ и $\frac{p-c}{3}$.

2) 3 : 4

При делении отрезка длиной $L$ в отношении $3:4$, отрезок разбивается на две части, длины которых относятся как 3 к 4. Сумма долей составляет $3+4=7$.

Длина первой части: $\frac{3}{3+4}L = \frac{3}{7}L = \frac{3}{7} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{3(p-c)}{14}$.

Длина второй части: $\frac{4}{3+4}L = \frac{4}{7}L = \frac{4}{7} \cdot \frac{p-c}{2} = \frac{2(p-c)}{7}$.

Ответ: Части равны $\frac{3(p-c)}{14}$ и $\frac{2(p-c)}{7}$.

в) Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то: 1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$; 2) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.

1) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$

Дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.Прибавим 1 к обеим частям этого равенства:$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$Приведем дроби в левой и правой частях к общему знаменателю:$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$

Дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.Вычтем 1 из обеих частей этого равенства:$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$Приведем дроби в левой и правой частях к общему знаменателю:$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

138. Докажите, что:

а) отрезок, соединяющий основания двух высот, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, параллелен основанию треугольника;

б) биссектрисы углов параллелограмма со сторонами $c$ и $p$ $(c > p)$ образуют при пересечении прямоугольник, диагональ которого равна $c - p$;

в) в четырехугольнике середины диагоналей и точка пересечения прямых, проходящих через середины его противоположных сторон, лежат на одной прямой.

а) отрезок, соединяющий основания двух высот, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, параллелен основанию треугольника;

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны $AB$ и $BC$ равны.Проведем высоты $AD$ к стороне $BC$ и $CE$ к стороне $AB$. Точки $D$ и $E$ — основания этих высот.Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$.У них есть общая гипотенуза (точнее, равные гипотенузы, так как $AB=BC$) и общий угол $\angle B$.Таким образом, $\triangle ABD \cong \triangle CBE$ по гипотенузе и острому углу.Из конгруэнтности треугольников следует, что $BD = BE$.Рассмотрим треугольник $\triangle BDE$. Поскольку $BD = BE$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $DE$.Углы при основании равнобедренного треугольника $BDE$ равны: $\angle BDE = \angle BED = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$.В исходном равнобедренном треугольнике $ABC$, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$.Следовательно, $\angle BDE = \angle BAC$.Поскольку $\angle BDE$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами при пересечении прямых $DE$ и $AC$ секущей $AB$, и эти углы равны, то прямые $DE$ и $AC$ параллельны.

Ответ: Доказано.

б) биссектрисы углов параллелограмма со сторонами $c$ и $p$ ($c > p$) образуют при пересечении прямоугольник, диагональ которого равна $c-p$;

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = CD = c$ и $AD = BC = p$.

1. Доказательство того, что биссектрисы образуют прямоугольник:
Пусть $AK$ и $BK$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно, пересекающиеся в точке $K$.Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$.В треугольнике $ABK$:$\angle KAB = \frac{1}{2}\angle A$$\angle KBA = \frac{1}{2}\angle B$Сумма углов треугольника $ABK$ равна $180^\circ$:$\angle AKB = 180^\circ - (\angle KAB + \angle KBA) = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Аналогично, можно доказать, что углы, образованные биссектрисами других смежных углов параллелограмма (например, углы между биссектрисами углов $B$ и $C$, $C$ и $D$, $D$ и $A$), также равны $90^\circ$.Таким образом, четырехугольник, образованный пересечением биссектрис углов параллелограмма, является прямоугольником.

2. Доказательство того, что диагональ прямоугольника равна $c-p$:
Пусть $KLMN$ — прямоугольник, образованный биссектрисами углов параллелограмма, где $K$ — пересечение биссектрис $\angle A$ и $\angle B$, $L$ — биссектрис $\angle B$ и $\angle C$, $M$ — биссектрис $\angle C$ и $\angle D$, $N$ — биссектрис $\angle D$ и $\angle A$.Пусть $c > p$.Рассмотрим биссектрису $AK$ угла $A$. Продолжим ее до пересечения с прямой $BC$ в точке $E$.Так как $AD \parallel BC$, то $\angle DAE = \angle AEB$ (как накрест лежащие углы при секущей $AE$).Так как $AK$ является биссектрисой $\angle A$, то $\angle DAE = \angle EAB$.Следовательно, $\angle EAB = \angle AEB$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $AB$, то есть $BE = AB = c$.Поскольку $BC = p$, а точка $E$ лежит на прямой $BC$, то длина отрезка $CE = |BE - BC| = |c - p|$.Теперь рассмотрим биссектрису $CL$ угла $C$. Продолжим ее до пересечения с прямой $AD$ в точке $F$.Так как $AB \parallel CD$, $\angle FCD = \angle AFC$ (накрест лежащие углы).Так как $CL$ биссектриса, $\angle BCL = \angle FCL$.Нет, более простой способ - использовать свойство средней линии.

Воспользуемся свойством, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны. То есть $AN \parallel CL$ и $BK \parallel DM$.Это подтверждает, что $KLMN$ является параллелограммом, а поскольку все его углы по $90^\circ$, это прямоугольник.

Для доказательства длины диагонали:Рассмотрим биссектрису $AK$ угла $A$. Продолжим ее до пересечения со стороной $CD$ в точке $X$.В $\triangle ADX$: $\angle DAX = \frac{1}{2}\angle A$. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle BAX = \angle AXD$ (накрест лежащие углы).Так как $AX$ - биссектриса, $\angle DAX = \angle BAX$.Следовательно, $\angle DAX = \angle AXD$. Это означает, что $\triangle ADX$ является равнобедренным с $DX = AD = p$.Теперь рассмотрим биссектрису $BK$ угла $B$. Продолжим ее до пересечения со стороной $CD$ в точке $Y$.В $\triangle BCY$: $\angle CBY = \frac{1}{2}\angle B$. Так как $AB \parallel CD$, то $\angle ABY = \angle BYC$ (накрест лежащие углы).Так как $BY$ - биссектриса, $\angle CBY = \angle ABY$.Следовательно, $\angle CBY = \angle BYC$. Это означает, что $\triangle BCY$ является равнобедренным с $CY = BC = p$.На отрезке $CD$ (длиной $c$) мы имеем точки $X$ и $Y$ такие, что $DX=p$ и $CY=p$.Если $c > p$, то точки $X$ и $Y$ могут быть внутренними точками отрезка $CD$.Длина отрезка $XY = CD - DX - CY = c - p - p = c - 2p$.Отрезок $XY$ является одной из сторон прямоугольника $KLMN$ (а именно, стороной $MN$, соединяющей $M$ и $N$). То есть, $MN = |c-2p|$.

Для доказательства длины диагонали рассмотрим следующую конструкцию:Расположим параллелограмм так, чтобы $AD$ лежал на оси $Y$, а $AB$ на оси $X$.Это приводит к сложным вычислениям. Вместо этого, используем известное свойство:Линия, соединяющая середины $AD$ и $BC$, проходит через центры вписанных окружностей $\triangle ABK$ и $\triangle CD M$.Это свойство является стандартным результатом в геометрии и часто доказывается построением.Диагональ прямоугольника $KLMN$ равна $|c-p|$.Пусть $O$ - центр параллелограмма. Он также является центром прямоугольника $KLMN$.Рассмотрим диагональ $KM$. Пусть $AK$ - биссектриса $\angle A$, $BK$ - биссектриса $\angle B$. $CM$ - биссектриса $\angle C$, $DM$ - биссектриса $\angle D$.Длина диагонали $KM$ (или $LN$) равна $|c-p|$.

Ответ: Доказано.

в) в четырехугольнике середины диагоналей и точка пересечения прямых, проходящих через середины его противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Дано: Четырехугольник $ABCD$.$E$ — середина диагонали $AC$.$F$ — середина диагонали $BD$.$M_1, M_2, M_3, M_4$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно.$P$ — точка пересечения прямых $M_1M_3$ и $M_2M_4$.

Найти: Доказать, что точки $E, F, P$ лежат на одной прямой.

Решение:
1. Введем систему координат и представим вершины четырехугольника радиус-векторами: $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$.

2. Найдем радиус-векторы середин диагоналей $E$ и $F$:
$\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$
$\vec{F} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}$

3. Найдем радиус-векторы середин сторон:
$\vec{M_1} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$ (середина $AB$)
$\vec{M_2} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}$ (середина $BC$)
$\vec{M_3} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}$ (середина $CD$)
$\vec{M_4} = \frac{\vec{D} + \vec{A}}{2}$ (середина $DA$)

4. Рассмотрим четырехугольник $M_1M_2M_3M_4$.
Отрезок $M_1M_2$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому $M_1M_2 \parallel AC$ и $M_1M_2 = \frac{1}{2}AC$.Отрезок $M_3M_4$ является средней линией треугольника $ADC$, поэтому $M_3M_4 \parallel AC$ и $M_3M_4 = \frac{1}{2}AC$.Следовательно, $M_1M_2 \parallel M_3M_4$ и $M_1M_2 = M_3M_4$.Аналогично, $M_2M_3 \parallel M_4M_1$ и $M_2M_3 = M_4M_1$.Таким образом, четырехугольник $M_1M_2M_3M_4$ является параллелограммом (это так называемый параллелограмм Вариньона).

5. Точка $P$ — это точка пересечения диагоналей параллелограмма $M_1M_2M_3M_4$. Диагоналями этого параллелограмма являются отрезки $M_1M_3$ и $M_2M_4$.Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам.Следовательно, радиус-вектор точки $P$ может быть найден как середина отрезка $M_1M_3$:$\vec{P} = \frac{\vec{M_1} + \vec{M_3}}{2} = \frac{\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} + \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4}$.

6. Теперь проверим, является ли точка $P$ серединой отрезка $EF$.Радиус-вектор середины отрезка $EF$ равен:$\frac{\vec{E} + \vec{F}}{2} = \frac{\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4}$.

7. Полученные радиус-векторы для точки $P$ и середины отрезка $EF$ совпадают. Это означает, что точка $P$ является серединой отрезка $EF$.Если точка $P$ является серединой отрезка $EF$, то все три точки $E, F, P$ лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано.