Страница 31, часть 3 - гдз по математике 1 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1) Найди для каждого рисунка подходящее число.

1 2

Рисунок с домом
На первом рисунке изображен один дом. Следовательно, этому рисунку соответствует число 1.
Ответ: $1$

Рисунок с перчатками
На втором рисунке изображены две перчатки, которые составляют одну пару. Количество предметов равно двум. Следовательно, этому рисунку соответствует число 2.
Ответ: $2$

Рисунок с котенком
На третьем рисунке изображен один котенок. Следовательно, этому рисунку соответствует число 1.
Ответ: $1$

Рисунок с котенком и щенком
На четвертом рисунке изображены двое животных: один котенок и один щенок. Общее количество животных на рисунке $1 + 1 = 2$. Следовательно, этому рисунку соответствует число 2.
Ответ: $2$

2 Сравни действия с мешками и с числами. Найди пропущенные числа. Обоснуй свой ответ.

$1 + 1 = \Box$

$2 - 1 = \Box$

В первом примере показано действие сложения. Мы видим мешок с одной фигурой (синий треугольник), что можно сопоставить с числом 1. К нему прибавляют другой мешок, в котором тоже одна фигура (жёлтый квадрат), что также соответствует числу 1. В результате объединения в итоговом мешке оказываются обе фигуры, то есть их становится две. Это действие аналогично сложению чисел. Решение примера: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

Во втором примере показано действие вычитания. Изначально в мешке находятся две фигуры (зелёный круг и красная звезда), что соответствует числу 2. Из этого мешка забирают (вычитают) мешок с одной фигурой (красная звезда), что соответствует числу 1. После этого в мешке остаётся только одна фигура — зелёный круг. Это действие аналогично вычитанию чисел. Решение примера: $2 - 1 = 1$.
Ответ: 1

3 Какие числа пропущены? Дополни и запиши равенства. Сделай рисунки.

$1 + \square = 2$

$\square - 1 = 1$

$\square + 1 = 2$

1 + ☐ = 2
В этом равенстве нужно найти второе слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (2) вычесть известное слагаемое (1).
Выполним вычитание: $2 - 1 = 1$.
Значит, пропущенное число — это 1.
Проверим: $1 + 1 = 2$. Равенство верное.
Рисунок: Представим число 1 в виде одного кружка. Чтобы получить два кружка, нужно добавить еще один.
● + ● = ●●
Полное равенство: $1 + 1 = 2$
Ответ: 1

☐ - 1 = 1
В этом равенстве нужно найти уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (1) прибавить вычитаемое (1).
Выполним сложение: $1 + 1 = 2$.
Значит, пропущенное число — это 2.
Проверим: $2 - 1 = 1$. Равенство верное.
Рисунок: Представим, что у нас было несколько квадратов. Один квадрат убрали (зачеркнем его), и остался один квадрат. Значит, изначально было два квадрата.
■ ■ = ■
Полное равенство: $2 - 1 = 1$
Ответ: 2

☐ + 1 = 2
Здесь нужно найти первое слагаемое. Как и в первом примере, чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (2) вычесть известное слагаемое (1).
Выполним вычитание: $2 - 1 = 1$.
Значит, пропущенное число — это 1.
Проверим: $1 + 1 = 2$. Равенство верное.
Рисунок: Представим число 1 в виде одного треугольника. Чтобы в сумме получилось два треугольника, нужно к одному треугольнику добавить еще один.
▲ + ▲ = ▲▲
Полное равенство: $1 + 1 = 2$
Ответ: 1

(4) Какими способами Ира может заплатить 2 рубля, если у неё в кошельке вот такие монеты?

2 2 2 2 2

2

1 2 1 2

W W W W W

У Иры в кошельке есть две монеты по 1 рублю и одна монета в 2 рубля. Чтобы заплатить 2 рубля, нужно найти все возможные комбинации этих монет, которые в сумме дают 2.

Способ 1: Использование одной монеты
Ира может взять одну монету номиналом 2 рубля. Этой суммы достаточно для оплаты.
$2 \text{ рубля} = 2 \text{ рубля}$
Ответ: одна монета в 2 рубля.

Способ 2: Использование двух монет
Ира может взять две монеты номиналом 1 рубль. Сложив их, она получит необходимую сумму.
$1 \text{ рубль} + 1 \text{ рубль} = 2 \text{ рубля}$
Ответ: две монеты по 1 рублю.

4 Найди ошибки и сделай в тетради правильные записи.

$8 = 8$

$4 + 3 = 8$

$2 + 7 = 9$

$8 - 2 > 8 - 3$

$7 > 4$

$3 + 1 < 6$

$6 - 4 > 3$

$5 + 1 < 5 + 4$

$3 < 1$

$7 + 1 = 1 + 7$

$5 < 5 + 4$

$9 - 7 = 9 - 6$

4 + 3 = 8

Данное равенство неверно. Чтобы проверить, вычислим сумму в левой части: $4 + 3 = 7$. Сравнив результат с правой частью, получаем, что $7 \neq 8$. Следовательно, исходная запись содержит ошибку.

Ответ: $4 + 3 = 7$

3 < 1

Данное неравенство неверно. На числовой прямой число 3 находится правее числа 1, что означает, что 3 больше 1. Поэтому знак неравенства должен быть обратным.

Ответ: $3 > 1$

6 - 4 > 3

Данное неравенство неверно. Вычислим разность в левой части: $6 - 4 = 2$. Теперь сравним результат с числом в правой части. Так как 2 меньше 3 ($2 < 3$), исходное утверждение, что $2 > 3$, является ложным.

Ответ: $6 - 4 < 3$

9 - 7 = 9 - 6

Данное равенство неверно. Вычислим значения выражений в левой и правой частях. Левая часть: $9 - 7 = 2$. Правая часть: $9 - 6 = 3$. Поскольку $2 \neq 3$, равенство не выполняется. Сравнив результаты, мы видим, что $2 < 3$.

Ответ: $9 - 7 < 9 - 6$

5 Сколько присчитали, сколько отсчитали? Выполни действия. Что ты замечаешь?

а) $5 + 1 + 1 + 1 + 1 = \Box$

б) $5 + 1 + 3 = \Box$

в) $7 - 1 - 2 - 1 = \Box$

г) $7 - 4 = \Box$

Составь и реши свои подобные примеры.

а)

В этом примере мы начинаем с числа 5. На числовой прямой показано, что мы четыре раза прибавляем по 1. Движение вправо по числовой прямой означает сложение.

Запишем выражение: $5 + 1 + 1 + 1 + 1$.

Выполним вычисления по шагам:

$5 + 1 = 6$

$6 + 1 = 7$

$7 + 1 = 8$

$8 + 1 = 9$

Значит, $5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9$.

Ответ: 9

б)

Здесь мы также начинаем с числа 5. Сначала мы прибавляем 1, а затем прибавляем 3. Это два шага вправо по числовой прямой.

Запишем выражение: $5 + 1 + 3$.

Выполним вычисления:

$5 + 1 = 6$

$6 + 3 = 9$

Значит, $5 + 1 + 3 = 9$.

Ответ: 9

в)

В этом примере мы начинаем с числа 7. На числовой прямой показано, что мы последовательно вычитаем 1, затем 2, и затем еще 1. Движение влево по числовой прямой означает вычитание.

Запишем выражение: $7 - 1 - 2 - 1$.

Выполним вычисления по шагам:

$7 - 1 = 6$

$6 - 2 = 4$

$4 - 1 = 3$

Значит, $7 - 1 - 2 - 1 = 3$.

Ответ: 3

г)

Здесь мы также начинаем с числа 7. Мы делаем один большой шаг влево, вычитая число 4.

Запишем выражение: $7 - 4$.

Выполним вычисление:

$7 - 4 = 3$

Ответ: 3

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что результаты в парах примеров а) и б), а также в) и г) одинаковы.

В примерах а) и б) мы прибавляли к числу 5 одно и то же общее количество, но разными способами. В первом случае мы прибавили 4 по частям ($1+1+1+1=4$), а во втором — двумя частями ($1+3=4$). Результат получился одинаковый: 9.

В примерах в) и г) мы вычитали из числа 7 одно и то же общее количество. В первом случае мы вычли 4 по частям ($1+2+1=4$), а во втором — сразу всё число 4. Результат также получился одинаковый: 3.

Вывод: прибавлять или вычитать число можно по частям. Результат от этого не изменится.

Составь и реши свои подобные примеры.

Примеры на сложение:

• $2 + 1 + 2 + 1 = 6$
• $2 + 4 = 6$ (потому что $1 + 2 + 1 = 4$)

Ответ: 6

Примеры на вычитание:

• $9 - 2 - 2 - 3 = 2$
• $9 - 7 = 2$ (потому что $2 + 2 + 3 = 7$)

Ответ: 2

6* Найди закономерность и определи пропущенные числа.

a) $\begin{array}{c} 4 \\ \boxed{7} \\ 3 \end{array}$

$\begin{array}{c} 5 \\ \boxed{9} \\ 4 \end{array}$

$\begin{array}{c} 1 \\ \boxed{?} \\ 7 \end{array}$

$\begin{array}{c} 2 \\ \boxed{6} \\ ? \end{array}$

б) $\begin{array}{c} 3 \\ / \quad \backslash \\ 8 \quad 5 \end{array}$

$\begin{array}{c} 2 \\ / \quad \backslash \\ 9 \quad 7 \end{array}$

$\begin{array}{c} 3 \\ / \quad \backslash \\ 6 \quad ? \end{array}$

$\begin{array}{c} ? \\ / \quad \backslash \\ 7 \quad 2 \end{array}$

а)

Проанализировав первые две фигуры, можно выявить следующую закономерность: число, расположенное в прямоугольнике, является суммой двух чисел, расположенных в кругах над и под ним.
Для первой фигуры: $4 + 3 = 7$.
Для второй фигуры: $5 + 4 = 9$.

Используя эту закономерность, найдем пропущенные числа.
В третьей фигуре, чтобы найти число в прямоугольнике, нужно сложить числа в кругах: $1 + 7 = 8$.
В четвертой фигуре, чтобы найти число в нижнем круге, нужно из числа в прямоугольнике вычесть число в верхнем круге: $6 - 2 = 4$.
Ответ: пропущенные числа — 8 и 4.

б)

В фигурах-треугольниках установлена следующая закономерность: сумма числа в верхней вершине и числа в правой нижней вершине равна числу в левой нижней вершине.
Для первой фигуры: $3 + 5 = 8$.
Для второй фигуры: $2 + 7 = 9$.

Применяя это правило, определим недостающие числа.
В третьей фигуре, чтобы найти число в правой нижней вершине, нужно из числа в левой нижней вершине вычесть число в верхней вершине: $6 - 3 = 3$.
В четвертой фигуре, чтобы найти число в верхней вершине, нужно из числа в левой нижней вершине вычесть число в правой нижней вершине: $7 - 2 = 5$.
Ответ: пропущенные числа — 3 и 5.

7. Имеется 10 одинаковых палочек. Составь из них 3 квадрата и 3 прямоугольника, которые не являются квадратами.

143 341

Имеется 10 одинаковых палочек. Составь из них 3 квадрата и 3 прямоугольника, которые не являются квадратами.

Для решения этой задачи нужно расположить палочки таким образом, чтобы они образовывали общие стороны для нескольких фигур. Если выкладывать фигуры отдельно, палочек не хватит (на 3 квадрата понадобилось бы $3 \times 4 = 12$ палочек). Решение состоит в том, чтобы выложить три квадрата в один ряд. В этом случае соседние квадраты будут иметь одну общую сторону (палочку).

Вот как выглядит эта фигура:

Давайте проверим, соответствует ли эта фигура условиям задачи.

1. Подсчет палочек. Фигура состоит из 3 палочек в верхнем ряду, 3 палочек в нижнем ряду и 4 вертикальных палочек. Общее количество палочек: $3 + 3 + 4 = 10$. Условие по количеству палочек выполнено.

2. Подсчет квадратов. В этой фигуре можно выделить 3 одинаковых квадрата, каждый со стороной в одну палочку. Это левый, центральный и правый квадраты. Условие по количеству квадратов выполнено.

3. Подсчет прямоугольников, которые не являются квадратами. В фигуре можно найти 3 таких прямоугольника:
- Прямоугольник, состоящий из первого и второго квадратов (размером 2 на 1 палочку).
- Прямоугольник, состоящий из второго и третьего квадратов (также размером 2 на 1 палочку).
- Большой прямоугольник, состоящий из всех трех квадратов (размером 3 на 1 палочку).
Условие по количеству прямоугольников также выполнено.

Таким образом, предложенная фигура полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Нужно составить из палочек фигуру, представляющую собой три квадрата, выстроенных в один ряд, как показано на рисунке выше.

5 Перерисуй в тетрадь и заполни таблицы сложения.

Первая таблица

Чтобы заполнить эту таблицу, нужно к каждому числу из левого столбца прибавить поочередно каждое число из верхней строки. Результат записывается в ячейку на пересечении соответствующей строки и столбца.

Выполним сложение для каждой строки:
Для первой строки (где слагаемое 2):
$2 + 1 = 3$
$2 + 3 = 5$
$2 + 5 = 7$
Для второй строки (где слагаемое 4):
$4 + 1 = 5$
$4 + 3 = 7$
$4 + 5 = 9$
Для третьей строки (где слагаемое 3):
$3 + 1 = 4$
$3 + 3 = 6$
$3 + 5 = 8$

Ответ:

Вторая таблица

В этой таблице нужно сначала найти недостающее слагаемое в верхней строке. Мы видим, что на пересечении строки с числом 7 и первого столбца стоит число 8. Это значит, что $7 + \text{неизвестное число} = 8$. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $8 - 7 = 1$. Значит, первое число в верхней строке — это 1.

Теперь, зная все слагаемые, заполняем остальные ячейки:
Для первой строки (слагаемое 7):
$7 + 1 = 8$
$7 + 0 = 7$
$7 + 2 = 9$
Для второй строки (слагаемое 5):
$5 + 1 = 6$
$5 + 0 = 5$
$5 + 2 = 7$
Для третьей строки (слагаемое 6):
$6 + 1 = 7$
$6 + 0 = 6$
$6 + 2 = 8$

Ответ:

Третья таблица

Здесь также нужно сначала найти все недостающие слагаемые в первом столбце и верхней строке, используя уже заполненные ячейки с суммами.

1. Найдем последнее слагаемое в верхней строке. На пересечении строки с числом 5 и этого столбца стоит сумма 7. Значит, $5 + \text{неизвестное число} = 7$. Находим неизвестное: $7 - 5 = 2$.
2. Найдем второе слагаемое в левом столбце. На пересечении этой строки и столбца с числом 3 стоит сумма 6. Значит, $\text{неизвестное число} + 3 = 6$. Находим неизвестное: $6 - 3 = 3$.
3. Найдем третье слагаемое в левом столбце. На пересечении этой строки и столбца с числом 4 стоит сумма 8. Значит, $\text{неизвестное число} + 4 = 8$. Находим неизвестное: $8 - 4 = 4$.

Теперь, когда все слагаемые известны (верхняя строка: 4, 3, 2; левый столбец: 5, 3, 4), заполняем всю таблицу:
Для первой строки (слагаемое 5):
$5 + 4 = 9$
$5 + 3 = 8$
$5 + 2 = 7$
Для второй строки (слагаемое 3):
$3 + 4 = 7$
$3 + 3 = 6$
$3 + 2 = 5$
Для третьей строки (слагаемое 4):
$4 + 4 = 8$
$4 + 3 = 7$
$4 + 2 = 6$

Ответ:

6. В автобусе ехало 7 человек. На остановке вышло 2 человека и вошло 2. Сколько человек стало в автобусе?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить арифметические действия, соответствующие событиям.

1. Вначале в автобусе было 7 человек.

2. На остановке вышло 2 человека, значит, количество людей уменьшилось. Выполним вычитание:
$7 - 2 = 5$ (человек)

3. Затем вошло 2 человека, то есть количество людей увеличилось. Выполним сложение:
$5 + 2 = 7$ (человек)

Можно также решить задачу одним выражением, так как из автобуса вышло столько же людей, сколько и вошло ($2-2=0$), то количество человек не изменилось:
$7 - 2 + 2 = 7$ (человек)

Ответ: 7 человек.

7. Что общего в примерах? Как можно быстрее их решить? Сделай вывод.

$8 - 3 + 3$ $9 - 7 + 7$ $2 + 5 - 5$ $6 + a - a$

$5 + 4 - 4$ $4 + 2 - 2$ $3 - 1 + 1$ $7 - \sigma + \sigma$

Что общего в примерах?

Общее во всех примерах то, что в каждом из них к числу сначала прибавляют, а затем вычитают одно и то же число, или наоборот — сначала вычитают, а потом прибавляют. То есть выполняются два взаимно обратных действия с одним и тем же числом или переменной.

Как можно быстрее их решить?

Чтобы решить эти примеры быстрее, нужно заметить, что прибавление и вычитание одного и того же числа в итоге не меняют исходное значение, так как эти действия взаимно уничтожают друг друга. Например, $ -3 + 3 = 0 $. Поэтому эти операции можно мысленно сократить, и ответом будет первое число в выражении. Ниже приведены решения всех примеров этим способом.

8 - 3 + 3

Сначала вычитаем 3, а потом прибавляем 3. Эти действия компенсируют друг друга. Результат равен исходному числу 8. Ответ: 8

9 - 7 + 7

Вычитание 7 и сложение 7 являются взаимно обратными действиями. Результат равен 9. Ответ: 9

2 + 5 - 5

Сложение и вычитание числа 5 взаимно уничтожаются. Результат равен 2. Ответ: 2

6 + a - a

К числу 6 прибавляется, а затем вычитается переменная $a$. Результат равен 6, так как $a - a = 0$. Ответ: 6

5 + 4 - 4

Складываем и вычитаем одно и то же число 4, поэтому результат равен 5. Ответ: 5

4 + 2 - 2

Прибавление 2 и вычитание 2 не изменяют число 4. Ответ: 4

3 - 1 + 1

Вычитаем и прибавляем 1, результат остается равным 3. Ответ: 3

7 - б + б

Вычитание и сложение переменной $б$ не меняют число 7, так как $-б + б = 0$. Ответ: 7

Сделай вывод.

Если к числу прибавить, а затем отнять то же самое число (или наоборот), то результат будет равен исходному числу. Это свойство взаимно обратных операций. В общем виде его можно записать с помощью формул: $a + b - b = a$ и $a - b + b = a$.

8 Нарисуй на клетчатой бумаге квадрат со стороной 2 см. Раскрась его, как показано на рисунке. Вырежи части квадрата и сложи фигуры.

а) б) в) г) д)

Исходная задача состоит в том, чтобы собрать пять различных фигур из четырёх одинаковых частей, на которые разрезан квадрат. Квадрат имеет сторону $2$ см. Он разрезан на четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами (короткими сторонами) $1$ см и $2$ см.

а)

Чтобы сложить эту фигуру, похожую на стрелку, нужно выполнить следующие шаги:
1. Возьмите два треугольника и поставьте их "вниз головой". Расположите их так, чтобы их короткие катеты ($1$ см) лежали на одной горизонтальной линии, были направлены друг к другу и соприкасались вершинами прямых углов. Длинные катеты ($2$ см) при этом будут направлены вертикально вниз. Эта конструкция образует основание фигуры.
2. Над этими двумя треугольниками образуется V-образный "вырез", стороны которого — это гипотенузы двух нижних треугольников.
3. Возьмите оставшиеся два треугольника и вложите их в этот V-образный вырез. Они должны соприкасаться своими гипотенузами с гипотенузами нижних фигур, а между собой — вершинами углов, лежащих между длинным катетом и гипотенузой. Эти два верхних треугольника образуют "остриё" стрелки.

Ответ: Фигура "а" собрана.

б)

Эта фигура напоминает домик или широкую букву "М". Для её сборки:
1. Возьмите один треугольник и расположите его в левом верхнем углу будущей фигуры так, чтобы его прямой угол стал левым верхним углом фигуры. Короткий катет ($1$ см) направьте горизонтально вправо, а длинный катет ($2$ см) — вертикально вниз.
2. Возьмите второй треугольник и разместите его симметрично в правом верхнем углу. Его прямой угол станет правым верхним углом фигуры. Короткий катет ($1$ см) направьте влево, а длинный ($2$ см) — вниз.
3. Между двумя верхними треугольниками образовался промежуток. Возьмите оставшиеся два треугольника и соедините их между собой по всей длине длинных катетов ($2$ см). У вас получится большой равнобедренный треугольник с основанием $2$ см и высотой $2$ см.
4. Переверните этот большой равнобедренный треугольник вершиной вниз и вставьте его в промежуток между двумя верхними частями. Его основание (состоящее из двух коротких катетов по $1$ см) идеально заполнит пространство между верхними частями, образуя ровный верхний край фигуры.

Ответ: Фигура "б" собрана.

в)

Фигура в виде буквы "Т" является классической головоломкой. Собрать её из данных частей можно следующим образом:
1. Вертикальная "ножка" буквы Т и центральная часть её "перекладины" собираются из двух треугольников. Возьмите один треугольник и положите его так, чтобы его длинный катет ($2$ см) был направлен вертикально вверх. К этому катету приложите длинный катет второго треугольника так, чтобы их короткие катеты смотрели в противоположные стороны. У вас получится равнобедренный треугольник, который является "скелетом" буквы Т.
2. Оставшиеся два треугольника образуют "руки" или края перекладины. Приложите третий треугольник к верхней левой стороне (гипотенузе) центральной фигуры. Его нужно расположить так, чтобы его короткий катет продолжил верхнюю линию перекладины.
3. Четвёртый треугольник приложите симметрично к правой стороне центральной фигуры. В результате получится правильная буква "Т".

Ответ: Фигура "в" собрана.

г)

Сборка ромба — одна из самых простых задач:
1. Возьмите два треугольника и соедините их по всей длине их длинных катетов ($2$ см). В результате получится большой равнобедренный треугольник с основанием $2$ см (сложено из двух коротких катетов по $1$ см) и высотой $2$ см.
2. Возьмите оставшиеся два треугольника и сделайте из них точно такой же большой равнобедренный треугольник.
3. Теперь соедините два получившихся больших треугольника их основаниями. В результате вы получите ромб, стороны которого равны гипотенузе исходных треугольников, а диагонали равны $2$ см и $4$ см.

Ответ: Фигура "г" собрана.

д)

Эта фигура, похожая на ёлку, состоит из двух частей: треугольника сверху и трапеции снизу.
1. Сначала соберём нижнюю часть — трапецию. Возьмите два треугольника и поставьте их на их длинные катеты ($2$ см). Придвиньте их друг к другу так, чтобы они соприкасались вершинами, где сходятся короткий катет и гипотенуза. В результате получится трапеция, у которой нижнее основание равно $4$ см (два длинных катета), верхнее основание — $2$ см (два коротких катета), а высота — $1$ см.
2. Теперь соберём верхнюю часть — треугольник. Возьмите оставшиеся два треугольника и соедините их по всей длине их длинных катетов ($2$ см), которые будут играть роль оси симметрии. Получится равнобедренный треугольник с основанием $2$ см и высотой $2$ см.
3. Поставьте получившийся треугольник на верхнее основание трапеции. Так как основание треугольника ($2$ см) равно верхнему основанию трапеции ($2$ см), они идеально состыкуются.

Ответ: Фигура "д" собрана.

9. Год назад Ире было 5 лет. Сколько лет ей будет через 3 года?

804 814 824

3 33 333 3333

$\Delta O O \nabla O O \Delta O O O \nabla O O O O$

Для того чтобы решить задачу, нужно выполнить два шага.

1. Сначала определим, сколько лет Ире в настоящий момент. По условию, год назад ей было 5 лет. Значит, сейчас ее возраст:
$5 + 1 = 6$ лет.

2. Теперь, зная ее текущий возраст, можем вычислить, сколько лет ей будет через 3 года. Для этого к ее нынешнему возрасту прибавим 3 года:
$6 + 3 = 9$ лет.

Ответ: 9 лет.