Страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

2. В каких случаях используется: 1) правило суммы; 2) правило произведения?

3. Является ли способ перебора способом решения комбинаторных задач?

4. В каких случаях способ перебора использовать нецелесообразно, в каких — целесообразно?

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

Комбинаторная задача — это задача, в которой требуется подсчитать количество различных способов выполнения некоторого действия или составления некоторой комбинации объектов, удовлетворяющих определенным условиям.

Пример: Сколькими способами можно выбрать команду из 3 человек для участия в олимпиаде, если в классе 10 учеников?

Решение:Это задача на нахождение числа сочетаний, так как порядок выбора учеников не важен. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.В нашем случае $n=10$ (всего учеников), а $k=3$ (размер команды).Подставляем значения в формулу:$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.Таким образом, существует 120 способов составить команду.

Ответ: Примером комбинаторной задачи является подсчет количества способов выбора группы объектов из большего множества, например, сколькими способами можно выбрать 3 учеников из 10.

2. В каких случаях используется: 1) правило суммы; 2) правило произведения?

1) Правило суммы используется, когда необходимо выбрать один объект из нескольких взаимоисключающих наборов. Ключевым словом, указывающим на применение этого правила, является союз «ИЛИ». Если объект A можно выбрать $m$ способами, а объект B можно выбрать $n$ способами, и выборы A и B несовместимы (нельзя выбрать одновременно и A, и B), то выбрать «либо A, либо B» можно $m + n$ способами.

Пример: В магазине на полке стоит 7 разных романов и 5 разных сборников стихов. Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

Решение: Можно выбрать роман (7 способов) ИЛИ сборник стихов (5 способов). Выбор является взаимоисключающим. Общее число способов равно $7 + 5 = 12$.

2) Правило произведения используется, когда необходимо выполнить последовательность из нескольких независимых действий. Ключевым словом является союз «И». Если первое действие можно выполнить $m$ способами, и после каждого из этих способов второе действие можно выполнить $n$ способами, то всю последовательность из двух действий можно выполнить $m \times n$ способами.

Пример: У Маши есть 4 разные блузки и 3 разные юбки. Сколько различных комплектов одежды она может составить?

Решение: Чтобы составить комплект, нужно выбрать блузку (4 способа) И юбку (3 способа). Эти выборы независимы. Общее число комплектов равно $4 \times 3 = 12$.

Ответ: Правило суммы используется для подсчета способов выбора одного из взаимоисключающих вариантов (логическое «ИЛИ»), а правило произведения — для подсчета способов выполнения последовательности действий (логическое «И»).

3. Является ли способ перебора способом решения комбинаторных задач?

Да, безусловно. Способ прямого перебора всех возможных вариантов является одним из основных и наиболее интуитивно понятных методов решения комбинаторных задач. Он заключается в систематическом составлении списка всех возможных комбинаций, удовлетворяющих условиям задачи, и последующем их подсчете.

Этот метод особенно полезен для решения простых задач, а также для проверки правильности применения более сложных формул. Визуализировать процесс перебора часто помогает «дерево вариантов». Многие комбинаторные формулы (например, для перестановок и сочетаний) являются обобщениями, выведенными из анализа результатов, полученных методом перебора.

Ответ: Да, способ перебора является одним из фундаментальных методов решения комбинаторных задач.

4. В каких случаях способ перебора использовать нецелесообразно, в каких — целесообразно?

Целесообразно использовать способ перебора, когда общее количество возможных вариантов относительно невелико. В таких ситуациях этот метод имеет преимущества:

- Он нагляден и помогает понять структуру задачи.

- Он не требует знания сложных формул и является надежным способом найти правильный ответ.

- Его можно использовать для проверки результатов, полученных аналитически.

Пример: Сколькими способами можно составить расписание из двух разных уроков (математика и физика) на понедельник? Вариантов всего два: (1. Математика, 2. Физика) и (1. Физика, 2. Математика). Их легко перебрать и посчитать.

Нецелесообразно использовать способ перебора, когда количество вариантов очень велико. С ростом числа элементов количество комбинаций может расти чрезвычайно быстро (это явление называют «комбинаторным взрывом»), и полный перебор становится трудоемким или даже невозможным за разумное время, даже с помощью самых мощных компьютеров.

Пример: Найти количество возможных последовательностей ходов для выигрыша в шахматах или число способов перетасовать колоду из 52 карт. Количество вариантов в последнем случае равно $52!$ (52 факториал), что примерно равно $8 \times 10^{67}$. Полный перебор таких вариантов невыполним. В таких задачах необходимо использовать общие комбинаторные принципы и формулы.

Ответ: Способ перебора целесообразен при малом числе вариантов, так как он прост и нагляден. Он нецелесообразен при большом числе вариантов из-за огромной трудоемкости, и в таких случаях следует применять комбинаторные формулы.

22.1. Сколькими способами можно приобрести 1 кг яблок и 1 кг груш, если в магазине имеется 4 различных сорта яблок и 3 различных сорта груш?

22.1. Для решения данной задачи применяется комбинаторное правило умножения, поскольку выбор сорта яблок и выбор сорта груш — это два независимых друг от друга действия.

Сначала определим количество способов выбрать 1 кг яблок. По условию, в магазине имеется 4 различных сорта яблок, следовательно, существует 4 способа сделать этот выбор.

Затем определим количество способов выбрать 1 кг груш. В магазине имеется 3 различных сорта груш, что дает нам 3 способа для выбора груш.

Чтобы найти общее количество способов приобрести и яблоки, и груши, нужно перемножить количество способов выбора для каждого вида фруктов.

Общее число способов $N$ вычисляется как произведение числа сортов яблок на число сортов груш:

$N = 4 \times 3 = 12$.

Таким образом, существует 12 различных способов совершить покупку.

Ответ: 12

22.2. Сколькими способами можно приобрести 1 кг конфет и 1 кг печенья, если в магазине имеется 8 различных сортов конфет и 10 различных сортов печенья?

22.2. Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Покупка состоит из двух независимых выборов: выбор сорта конфет и выбор сорта печенья.

Сначала определим, сколькими способами можно выбрать 1 кг конфет. В магазине представлено 8 различных сортов конфет, следовательно, существует 8 способов сделать этот выбор. Обозначим это количество как $N_1 = 8$.

Далее определим, сколькими способами можно выбрать 1 кг печенья. В магазине имеется 10 различных сортов печенья, значит, существует 10 способов сделать этот выбор. Обозначим это количество как $N_2 = 10$.

Согласно правилу умножения, общее количество способов совершить оба действия равно произведению количества способов для каждого из них. Таким образом, чтобы найти общее количество способов приобрести и конфеты, и печенье, необходимо перемножить количество вариантов выбора для каждого продукта.

Общее количество способов $N$ равно:

$N = N_1 \times N_2 = 8 \times 10 = 80$

Следовательно, существует 80 различных способов приобрести 1 кг конфет и 1 кг печенья.

Ответ: 80

22.3.12

12 студентов сдавали экзамены по математике и русскому языку. Из двух экзаменов 1 студент не сдал экзамен по математике, 3 — по русскому языку и 1 — по двум предметам. Сколько всего неуспевающих студентов?

Для решения этой задачи можно использовать принцип включений-исключений для множеств или простую логику.

Способ 1: Использование формулы включений-исключений

Обозначим множества:

• $M$ — множество студентов, не сдавших экзамен по математике.
• $R$ — множество студентов, не сдавших экзамен по русскому языку.

Из условия задачи нам даны мощности (количества элементов) этих множеств:

• Количество студентов, не сдавших математику: $|M| = 1$.
• Количество студентов, не сдавших русский язык: $|R| = 3$.
• Количество студентов, не сдавших оба предмета (то есть пересечение множеств): $|M \cap R| = 1$.

Нам нужно найти общее количество неуспевающих студентов, то есть студентов, которые не сдали хотя бы один экзамен. Это соответствует мощности объединения множеств $|M \cup R|$.

Формула включений-исключений для двух множеств выглядит так:

$|M \cup R| = |M| + |R| - |M \cap R|$

Подставим в нее наши значения:

$|M \cup R| = 1 + 3 - 1 = 3$

Таким образом, всего 3 неуспевающих студента.

Способ 2: Логические рассуждения

Мы ищем общее число студентов, у которых есть хотя бы одна неудовлетворительная оценка. Разделим всех неуспевающих студентов на группы:

1. Студенты, которые не сдали только математику.
2. Студенты, которые не сдали только русский язык.
3. Студенты, которые не сдали оба предмета.

Из условия известно, что 1 студент не сдал оба предмета.

Всего математику не сдал 1 студент. Поскольку мы уже знаем, что этот студент также не сдал и русский язык, то количество студентов, которые не сдали только математику, равно $1 - 1 = 0$.

Всего русский язык не сдали 3 студента. Из них 1 студент не сдал и математику. Следовательно, количество студентов, которые не сдали только русский язык, равно $3 - 1 = 2$.

Теперь сложим количество студентов во всех трех группах, чтобы найти общее число неуспевающих:

$0$ (только математика) + $2$ (только русский) + $1$ (оба предмета) = $3$ студента.

Оба способа дают одинаковый результат. Информация о том, что всего было 12 студентов, является избыточной для решения данной задачи.

Ответ: 3.

22.4. Составлено 7 букетов с тюльпанами, 9 — с нарциссами, 3 — с тюльпанами и нарциссами. Сколько всего букетов составлено?

22.4. Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для множеств. Пусть $T$ — это множество букетов, содержащих тюльпаны, а $N$ — множество букетов, содержащих нарциссы.

Согласно условию, нам известно:

- Количество букетов с тюльпанами (мощность множества $T$): $|T| = 7$.

- Количество букетов с нарциссами (мощность множества $N$): $|N| = 9$.

- Количество букетов, содержащих и тюльпаны, и нарциссы (мощность пересечения множеств $T$ и $N$): $|T \cap N| = 3$.

Общее количество уникальных букетов — это размер объединения множеств $T$ и $N$, который вычисляется по формуле:

$|T \cup N| = |T| + |N| - |T \cap N|$

Подставим известные значения в формулу:

$|T \cup N| = 7 + 9 - 3 = 13$

Таким образом, всего было составлено 13 букетов.

Проверка:

1. Букетов, состоящих только из тюльпанов: $7 - 3 = 4$.

2. Букетов, состоящих только из нарциссов: $9 - 3 = 6$.

3. Букетов смешанных (и тюльпаны, и нарциссы): $3$.

Общее количество: $4 + 6 + 3 = 13$.

Ответ: 13

22.5.12 школьников участвовали в соревнованиях по шашкам, 23 — по шахматам и 10 — по шахматам и шашкам. Сколько всего школьников участвовало в этих соревнованиях?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений. Нам нужно найти общее количество уникальных участников соревнований.

Пусть А — это множество школьников, участвовавших в соревнованиях по шашкам, а Б — множество школьников, участвовавших в соревнованиях по шахматам.

Из условия задачи нам известно:

Количество участников соревнований по шашкам: $|А| = 12$.

Количество участников соревнований по шахматам: $|Б| = 23$.

Количество участников, которые соревновались и в шашках, и в шахматах (пересечение множеств): $|А \cap Б| = 10$.

Если мы просто сложим количество участников по шашкам и шахматам ($12 + 23 = 35$), то мы дважды учтем тех 10 школьников, которые участвовали в обоих турнирах. Чтобы получить правильное общее количество участников, их нужно вычесть из полученной суммы один раз.

Общее количество участников (объединение множеств $|А \cup Б|$) вычисляется по формуле:

$|А \cup Б| = |А| + |Б| - |А \cap Б|$

Подставим в формулу данные из условия:

$|А \cup Б| = 12 + 23 - 10$

Выполним вычисления:

$|А \cup Б| = 35 - 10 = 25$

Таким образом, всего в соревнованиях участвовало 25 школьников.

Ответ: 25 школьников.

22.6. 42 студента приняли участие в олимпиаде по математике, 37 — по русскому языку, 19 — по двум предметам. Сколько всего студентов участвовало в олимпиадах по этим предметам?

22.6. Для того чтобы найти общее количество студентов, участвовавших в олимпиадах, нужно сложить количество участников олимпиады по математике и количество участников олимпиады по русскому языку, а затем вычесть из этой суммы количество студентов, которые участвовали в обеих олимпиадах, так как они были посчитаны дважды.

Этот метод основан на принципе включений-исключений для двух множеств. Пусть $M$ – это множество студентов-участников олимпиады по математике, а $R$ – множество студентов-участников олимпиады по русскому языку.

По условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Количество студентов, участвовавших в олимпиаде по математике: $|M| = 42$.

• Количество студентов, участвовавших в олимпиаде по русскому языку: $|R| = 37$.

• Количество студентов, участвовавших в обеих олимпиадах (пересечение множеств): $|M \cap R| = 19$.

Общее количество уникальных студентов (объединение множеств $|M \cup R|$) вычисляется по формуле:

$|M \cup R| = |M| + |R| - |M \cap R|$

Подставим наши значения в формулу:

$|M \cup R| = 42 + 37 - 19$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сложим количество участников по каждому предмету:

$42 + 37 = 79$

2. Вычтем количество студентов, посчитанных дважды:

$79 - 19 = 60$

Таким образом, всего в олимпиадах по этим двум предметам участвовало 60 студентов.

Альтернативное решение по действиям:

1. Найдем, сколько студентов участвовало только в олимпиаде по математике:

$42 - 19 = 23$ студента.

2. Найдем, сколько студентов участвовало только в олимпиаде по русскому языку:

$37 - 19 = 18$ студентов.

3. Общее число участников равно сумме студентов, участвовавших только в одной олимпиаде, и студентов, участвовавших в обеих:

$23 (\text{только математика}) + 18 (\text{только русский}) + 19 (\text{оба предмета}) = 60$ студентов.

Ответ: 60 студентов.

22.7. Даны 9 простых и четных чисел. Из них 7 чисел являются простыми, одно простое — четное. Сколько четных чисел из этих 9?

Для решения этой задачи воспользуемся понятиями теории множеств. Пусть у нас есть два множества чисел из данного набора:

$P$ — множество простых чисел.

$E$ — множество четных чисел.

Проанализируем условия задачи:

1. «Даны 9 простых и четных чисел». Эта фраза означает, что каждое из 9 чисел является либо простым, либо четным, либо и тем, и другим. В терминах теории множеств это значит, что объединение множеств $P$ и $E$ содержит все 9 чисел. Математически это записывается как $|P \cup E| = 9$.

2. «Из них 7 чисел являются простыми». Это означает, что мощность множества простых чисел равна 7. То есть, $|P| = 7$.

3. «одно простое — четное». Это означает, что ровно одно число является одновременно и простым, и четным. Это число является элементом пересечения множеств $P$ и $E$. Следовательно, мощность пересечения множеств равна 1. То есть, $|P \cap E| = 1$.

Нам нужно найти, сколько всего четных чисел в этом наборе, то есть найти мощность множества $E$, которую мы обозначим как $|E|$.

Для этого воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:

$|P \cup E| = |P| + |E| - |P \cap E|$

Подставим известные значения в эту формулу:

$9 = 7 + |E| - 1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $|E|$:

$9 = 6 + |E|$

$|E| = 9 - 6$

$|E| = 3$

Таким образом, в данном наборе из 9 чисел ровно 3 являются четными.

Ответ: 3

22.8. Из 30 чисел, которые больше 10, 20 чисел являются простыми, 25 — нечетными. Сколько простых нечетных чисел из них?

По условию задачи дано 30 чисел, каждое из которых больше 10. Обозначим общее количество чисел $N = 30$.

Из этих 30 чисел:

• 20 чисел являются простыми. Обозначим их количество $N_p = 20$.
• 25 чисел являются нечетными. Обозначим их количество $N_o = 25$.

Обратимся к свойствам простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет только два делителя: единицу и само себя. Единственное четное простое число — это 2. Все остальные простые числа (например, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее) являются нечетными.

В условии сказано, что все рассматриваемые числа больше 10. Это означает, что любое простое число из данного набора также должно быть больше 10. Поскольку единственное четное простое число это 2, а все числа в нашем наборе больше 10, то ни одно из простых чисел в этом наборе не может быть четным.

Следовательно, все 20 простых чисел из данного набора являются нечетными. Таким образом, количество простых нечетных чисел равно 20.

Информация о том, что всего в наборе 25 нечетных чисел, является дополнительной и служит для проверки согласованности данных. Мы можем составить полную картину:

• Простые нечетные числа: 20.
• Простые четные числа: 0 (так как все они больше 10).
• Непростые (составные) нечетные числа: $25 - 20 = 5$.
• Непростые (составные) четные числа: $30 - (20 + 5) = 5$.

Ответ: 20

22.9. Из 17 прямоугольников, ромбов и квадратов 10 являются ромбами, 9 прямоугольниками. Сколько всего квадратов?

Для решения этой задачи используем основные понятия теории множеств. Пусть $P$ — это множество всех прямоугольников, а $R$ — это множество всех ромбов. Общее количество фигур, которое включает в себя прямоугольники, ромбы и квадраты, составляет 17.

Ключевым моментом является то, что квадрат — это частный случай как прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами), так и ромба (ромб с прямыми углами). Это означает, что множество квадратов является пересечением множества прямоугольников и множества ромбов. Математически это записывается как $K = P \cap R$, где $K$ — множество квадратов.

Общее число фигур (17) представляет собой объединение множества прямоугольников и множества ромбов, поскольку любая из перечисленных фигур принадлежит хотя бы одному из этих двух множеств. Таким образом, мощность объединения множеств $P$ и $R$ равна 17: $|P \cup R| = 17$.

По условию задачи нам даны мощности множеств $P$ и $R$:

Число прямоугольников: $|P| = 9$.

Число ромбов: $|R| = 10$.

Чтобы найти количество квадратов, то есть $|P \cap R|$, воспользуемся формулой включений-исключений для двух множеств:

$|P \cup R| = |P| + |R| - |P \cap R|$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$17 = 9 + 10 - |P \cap R|$

Сложим числа в правой части уравнения:

$17 = 19 - |P \cap R|$

Теперь выразим из уравнения искомое значение $|P \cap R|$ (количество квадратов):

$|P \cap R| = 19 - 17$

$|P \cap R| = 2$

Следовательно, количество квадратов равно 2.

Ответ: 2

22.10. Число дождливых дней 15, ветреных — 10, холодных — 6, дождливых и ветреных — 3, ветреных и холодных — 2, дождливых и холодных — 4, ветреных, дождливых и холодных — 2. Найдите число неблагоприятных дней.

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для трех множеств. Неблагоприятным днем считается день, который был хотя бы одним из следующих: дождливым, ветреным или холодным. Нам нужно найти общее число таких дней.

Обозначим множества:

$Д$ — множество дождливых дней, по условию $|Д| = 15$.

$В$ — множество ветреных дней, по условию $|В| = 10$.

$Х$ — множество холодных дней, по условию $|Х| = 6$.

Также известны количества дней, обладающих несколькими характеристиками одновременно (мощности пересечений множеств):

Число дождливых и ветреных дней: $|Д \cap В| = 3$.

Число ветреных и холодных дней: $|В \cap Х| = 2$.

Число дождливых и холодных дней: $|Д \cap Х| = 4$.

Число дождливых, ветреных и холодных дней: $|Д \cap В \cap Х| = 2$.

Чтобы найти общее число неблагоприятных дней, необходимо вычислить мощность объединения этих трех множеств, то есть $|Д \cup В \cup Х|$. Формула включений-исключений для трех множеств гласит:

$|Д \cup В \cup Х| = |Д| + |В| + |Х| - (|Д \cap В| + |Д \cap Х| + |В \cap Х|) + |Д \cap В \cap Х|$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в эту формулу:

$|Д \cup В \cup Х| = 15 + 10 + 6 - (3 + 4 + 2) + 2$

Проведем вычисления поэтапно:

Сумма мощностей отдельных множеств: $15 + 10 + 6 = 31$.

Сумма мощностей попарных пересечений: $3 + 4 + 2 = 9$.

Подставляем эти значения обратно в формулу:

$|Д \cup В \cup Х| = 31 - 9 + 2 = 22 + 2 = 24$.

Следовательно, общее число неблагоприятных дней составляет 24.

Ответ: 24.