Страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

2. Решением уравнения $4\cos2x + 3\sin2x - 5 = 0$ является:

A) $\{\operatorname{arctg}3\}$;

B) $\{\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$;

C) $\{\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$;

D) $\{\operatorname{arctg}3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}\}$.

Решение

Дано тригонометрическое уравнение: $4\cos{2x} + 3\sin{2x} - 5 = 0$

Для решения этого уравнения удобно использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Поскольку аргументы синуса и косинуса равны $2x$, мы можем выразить их через тангенс половинного угла, то есть через $\tan{x}$. Введем замену $t = \tan{x}$. Тогда формулы двойного угла для синуса и косинуса выглядят следующим образом:

$\sin{2x} = \frac{2\tan{x}}{1 + \tan^2{x}} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos{2x} = \frac{1 - \tan^2{x}}{1 + \tan^2{x}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $4\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) + 3\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) - 5 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $(1+t^2)$. Это преобразование является равносильным, так как $1+t^2 > 0$ при любом действительном значении $t$. $4(1-t^2) + 3(2t) - 5(1+t^2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить алгебраическое уравнение относительно $t$: $4 - 4t^2 + 6t - 5 - 5t^2 = 0$ $-9t^2 + 6t - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ для удобства: $9t^2 - 6t + 1 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности: $(3t)^2 - 2 \cdot (3t) \cdot 1 + 1^2 = (3t - 1)^2$

Таким образом, уравнение принимает вид: $(3t - 1)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень: $3t - 1 = 0$ $3t = 1$ $t = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$: $\tan{x} = t \implies \tan{x} = \frac{1}{3}$

Общее решение для простейшего тригонометрического уравнения $\tan{x} = a$ дается формулой $x = \arctan{a} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \Z$). В нашем случае: $x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi n, n \in \Z$

Сравнивая полученное множество решений с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с вариантом B.

Ответ: B) $\{\arctan{\frac{1}{3}} + \pi n, n \in \Z\}$.

3. Число корней уравнения $cosx = -0,7$ из промежутка $[-\pi; 2\pi]$ равно:

A) 1;

B) 2;

C) 3;

D) 4.

Для того чтобы определить количество корней уравнения $ \cos x = -0,7 $ на промежутке $ [-\pi; 2\pi] $, наиболее наглядно использовать графический метод. Мысленно или на чертеже представим график функции $ y = \cos x $ и прямую $ y = -0,7 $ и посчитаем количество их точек пересечения на указанном промежутке.

Разобьём весь промежуток $ [-\pi; 2\pi] $ на три участка, на каждом из которых функция косинуса является монотонной:

1. На промежутке $ [-\pi; 0] $

Функция $ y = \cos x $ монотонно возрастает от $ \cos(-\pi) = -1 $ до $ \cos(0) = 1 $. Поскольку значение $ -0,7 $ лежит внутри этого диапазона значений ($ -1 < -0,7 < 1 $), прямая $ y = -0,7 $ пересечёт график косинуса на этом участке ровно один раз.

2. На промежутке $ [0; \pi] $

Функция $ y = \cos x $ монотонно убывает от $ \cos(0) = 1 $ до $ \cos(\pi) = -1 $. Так как $ -1 < -0,7 < 1 $, на этом участке также будет ровно одно пересечение.

3. На промежутке $ [\pi; 2\pi] $

Функция $ y = \cos x $ снова монотонно возрастает от $ \cos(\pi) = -1 $ до $ \cos(2\pi) = 1 $. И здесь, по той же причине, будет ровно одно пересечение.

Точки $ x=0 $ и $ x=\pi $, являющиеся границами участков, не являются корнями уравнения, так как $ \cos(0) = 1 \ne -0,7 $ и $ \cos(\pi) = -1 \ne -0,7 $. Следовательно, мы не посчитали ни один корень дважды.

Суммируя количество корней на каждом из трёх участков, получаем общее число корней на промежутке $ [-\pi; 2\pi] $: $ 1 + 1 + 1 = 3 $.

Ответ: 3

4. Число целых решений неравенства $2\cos x > -\sqrt{3}$ из промежутка $[-\pi; \pi]$ равно:

A) 2;

B) 3;

C) 4;

D) 5.

Для решения задачи необходимо найти все целые числа $x$ из промежутка $[-\pi; \pi]$, которые удовлетворяют неравенству $2\cos x > -\sqrt{3}$.

1. Упростим неравенство.

Разделим обе части неравенства $2\cos x > -\sqrt{3}$ на 2, получим:

$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем решение тригонометрического неравенства на заданном промежутке.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi; \pi]$. Этими корнями являются $x = -\frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Неравенству $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi; \pi]$ удовлетворяют все значения $x$, для которых соответствующая точка на единичной окружности лежит правее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, решение неравенства на промежутке $[-\pi; \pi]$ есть интервал $x \in (-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

3. Найдем целые числа в полученном интервале.

Теперь определим, какие целые числа содержатся в интервале $(-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$. Для этого оценим границы интервала, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$-\frac{5\pi}{6} \approx -\frac{5 \times 3.14159}{6} \approx -2.618$

$\frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \times 3.14159}{6} \approx 2.618$

Мы ищем целые числа $x$ такие, что $-2.618 < x < 2.618$.

Этому условию удовлетворяют следующие целые числа: -2, -1, 0, 1, 2.

4. Подсчитаем количество решений.

Всего получилось 5 целых решений.

Ответ: 5.

5. Корни уравнения $tg 3x + \sqrt{3} = 0$ равны:

A) $-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}, k \in Z;

B) $-\frac{\pi}{9}+\pi k, k \in Z;

C) $\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}, k \in Z;

D) $\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}, k \in Z.

Чтобы найти корни уравнения $tg 3x + \sqrt{3} = 0$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изолируем тригонометрическую функцию. Для этого перенесем $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$tg 3x = -\sqrt{3}$

2. Воспользуемся общей формулой для решения тригонометрических уравнений вида $tg(y) = a$. Общее решение записывается как $y = arctg(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном уравнении $y = 3x$ и $a = -\sqrt{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$3x = arctg(-\sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

3. Вычислим значение арктангенса. Известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, поэтому $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Арктангенс является нечетной функцией, что означает $arctg(-a) = -arctg(a)$.

Следовательно, $arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

4. Подставим найденное значение обратно в наше уравнение:

$3x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

5. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{-\frac{\pi}{3}}{3} + \frac{\pi k}{3}$

$x = -\frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Полученное решение полностью совпадает с вариантом ответа А).

А) $-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

6. Найдите корни уравнения $\sin^4 x - \cos^4 x = 1$:

A) $\pi k, k \in Z$;

B) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$;

C) $\frac{\pi}{4} + 0.5\pi k, k \in Z$;

D) $-\pi + 0.5\pi k, k \geq Z$.

Для решения уравнения $sin⁴x - cos⁴x = 1$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим левую часть уравнения в следующем виде:

$(sin²x)² - (cos²x)² = (sin²x - cos²x)(sin²x + cos²x) = 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin²x + cos²x = 1$. Уравнение упростится:

$(sin²x - cos²x) \cdot 1 = 1$

$sin²x - cos²x = 1$

Теперь используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos²x - sin²x$. Выражение в левой части нашего уравнения равно $-cos(2x)$:

$-(cos²x - sin²x) = 1$

$-cos(2x) = 1$

$cos(2x) = -1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, частный случай. Решение для аргумента $2x$ будет:

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Данный результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$

7. Неравенство $\cot 3x \ge -1$ верно на множестве:

A) $(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{3}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$;

B) $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$;

C) $(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$;

D) $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}; \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$.

Для решения тригонометрического неравенства $ctg(3x) \ge -1$ выполним следующие шаги:

1. Введение замены переменной.

Пусть $t = 3x$. Тогда исходное неравенство принимает вид:$ctg(t) \ge -1$.

2. Решение неравенства для новой переменной $t$.

Область определения функции котангенса $y = ctg(t)$ задается условием $t \ne \pi n$, где $n \in Z$.

Период функции котангенс равен $\pi$. Решим неравенство на одном из периодов, например, на интервале $(0, \pi)$.

На этом интервале функция $y = ctg(t)$ является монотонно убывающей.

Сначала найдем значение $t$, при котором выполняется равенство $ctg(t) = -1$.$t = arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Поскольку функция $ctg(t)$ убывает, неравенство $ctg(t) \ge -1$ будет выполняться для всех значений $t$, которые меньше или равны $\frac{3\pi}{4}$.

С учетом области определения на интервале $(0, \pi)$, получаем решение для $t$:$0 < t \le \frac{3\pi}{4}$.

Теперь обобщим это решение, добавив период $\pi k$, где $k \in Z$:$\pi k < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

3. Обратная замена.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 3x$ в полученное двойное неравенство:$\pi k < 3x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

4. Нахождение решения для $x$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:$\frac{\pi k}{3} < x \le \frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

Упростив выражение, получим:$\frac{\pi k}{3} < x \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

Таким образом, множество решений неравенства — это объединение интервалов вида $(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}]$, где $k \in Z$.

5. Выбор правильного варианта.

Сравнив полученное решение с предложенными вариантами, видим, что оно полностью совпадает с вариантом C).

Ответ: C) $(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$.

8. Решите уравнение $\arcsin2x=\frac{\pi}{3}$:

A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{4}$;

C) $\sqrt{3}$;

D) 1.

Для решения уравнения $arcsin(2x) = \frac{\pi}{3}$ воспользуемся определением арксинуса. Если $arcsin(y) = a$, то это эквивалентно $y = sin(a)$, при условии, что $a$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

В данном уравнении $a = \frac{\pi}{3}$. Это значение удовлетворяет условию, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, мы можем переписать исходное уравнение, применив функцию синуса к обеим частям:

$sin(arcsin(2x)) = sin(\frac{\pi}{3})$

$2x = sin(\frac{\pi}{3})$

Из тригонометрии известно, что значение синуса угла $\frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$) является табличным значением:

$sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем это значение в наше уравнение:

$2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Проверим, входит ли полученное решение в область определения функции арксинус. Аргумент арксинуса, $2x$, должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Подставим наш результат: $2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, что действительно находится в интервале $[-1, 1]$. Следовательно, решение корректно.

Среди предложенных вариантов ответа наш результат соответствует варианту B.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

9. Неравенство $\arccos(x-2) < \frac{\pi}{4}$ верно на множестве:

A) (-1,5; $-2 + \frac{\sqrt{2}}{4}$);

B) [-1,5; $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$; 3];

C) [1; $\sqrt{2}$);

D) ($2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$; 3].

Для решения неравенства $arccos(x - 2) < \frac{\pi}{4}$ необходимо сначала найти его область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство.

Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент функции арккосинус, $x - 2$, должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-1 \le x - 2 \le 1$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы выразить $x$:

$-1 + 2 \le x \le 1 + 2$

$1 \le x \le 3$

Таким образом, ОДЗ для данного неравенства — это множество $x \in [1; 3]$.

Решение неравенства

Рассмотрим неравенство $arccos(x - 2) < \frac{\pi}{4}$.

Область значений функции $y = arccos(t)$ — это отрезок $[0; \pi]$. Следовательно, значение $arccos(x - 2)$ всегда неотрицательно. Мы можем записать исходное неравенство в виде двойного неравенства:

$0 \le arccos(x - 2) < \frac{\pi}{4}$

Функция $y = cos(t)$ является убывающей на отрезке $[0; \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства. При применении убывающей функции знаки неравенства меняются на противоположные:

$cos(0) \ge cos(arccos(x - 2)) > cos(\frac{\pi}{4})$

Используя тождество $cos(arccos(a)) = a$ и значение $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$1 \ge x - 2 > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Снова прибавим 2 ко всем частям, чтобы найти $x$:

$1 + 2 \ge x > 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$3 \ge x > 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это соответствует интервалу $x \in (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 3]$.

Окончательное решение

Полученное множество $x \in (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 3]$ полностью входит в найденную ранее ОДЗ $x \in [1; 3]$, так как $1 < 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} < 3$. Следовательно, это и есть окончательное решение неравенства.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $(2+\frac{\sqrt{2}}{2}; 3]$.

10. Неравенство $|\sin x| \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ верно на множестве:

A) $[\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, $k \in Z$;

B) $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in Z$;

C) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, $k \in Z$;

D) $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in Z$.

Для решения неравенства $|\sin x| \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ необходимо раскрыть модуль. Неравенство с модулем равносильно следующему двойному неравенству:

$$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение этого неравенства можно найти с помощью единичной окружности. Мы ищем углы $x$, для которых ордината (значение синуса) точки на окружности находится в диапазоне от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\frac{\sqrt{2}}{2}$ включительно.Это соответствует двум дугам на единичной окружности: от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$ и от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$.Учитывая периодичность функции синус, общее решение можно записать в виде объединения двух семейств интервалов:$x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n] \cup [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.Эти два семейства интервалов можно объединить в одну формулу, заметив, что они повторяются с периодом $\pi$:$x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.Теперь проанализируем предложенные варианты ответов.

A) $[\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим интервал при $k=0$: $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = \frac{\pi}{2}$. Подставим в исходное неравенство: $|\sin(\frac{\pi}{2})| = |1| = 1$. Проверяем условие: $1 \le \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это неравенство неверно. Данное множество является решением неравенства $|\sin x| \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: неверно.

B) $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$

Мы знаем, что $x = -\frac{\pi}{4}$ является решением, так как $|\sin(-\frac{\pi}{4})| = |-\frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и выполняется условие $\le \frac{\sqrt{2}}{2}$. Однако, значение $x = -\frac{\pi}{4}$ не принадлежит множеству, предложенному в этом варианте, так как $-\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{6}$. Кроме того, период решения равен $\pi$, а не $2\pi$.

Ответ: неверно.

C) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$

Это множество в точности совпадает с решением, полученным нами ранее.При четных $k$ (например, $k=2n$) получаем интервалы $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$.При нечетных $k$ (например, $k=2n+1$) получаем интервалы $[-\frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi, \frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi] = [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n]$.Объединение этих интервалов представляет собой полное решение исходного неравенства.

Ответ: верно.

D) $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$

Этот вариант является подмножеством варианта А. Как мы уже показали для варианта А, на этом интервале (за исключением его границ) выполняется неравенство $|\sin x| > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Например, при $x = \frac{\pi}{2}$ (при $k=0$), $|\sin x| = 1$, что больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: неверно.