Страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Используя рисунок 21. 2, решите неравенство $\cos x \ge \frac{1}{2}$ двумя способами: с помощью графика и с помощью единичной окружности.

с помощью графика

Для решения неравенства $cos(x) > \frac{1}{2}$ с помощью графика, построим в одной системе координат графики функций $y = cos(x)$ (косинусоиду) и $y = \frac{1}{2}$ (горизонтальную прямую).

Решением неравенства будут являться те значения $x$, для которых график функции $y = cos(x)$ расположен выше прямой $y = \frac{1}{2}$.

Сначала найдем точки пересечения этих графиков, решив уравнение $cos(x) = \frac{1}{2}$. Корни этого уравнения имеют вид $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то точки пересечения имеют абсциссы $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим основной период функции $y = cos(x)$. На интервале $(-\pi, \pi]$ точки пересечения — это $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. Из графика видно, что косинусоида находится выше прямой $y = \frac{1}{2}$ именно на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

Поскольку функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства получается добавлением $2\pi n$ к границам найденного интервала.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

с помощью единичной окружности

Для решения неравенства $cos(x) > \frac{1}{2}$ с помощью единичной окружности, вспомним, что косинус угла — это абсцисса (координата по оси x) точки на окружности.

Отметим на оси абсцисс точку $\frac{1}{2}$ и проведем через нее вертикальную прямую $x = \frac{1}{2}$. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках.

Неравенству $cos(x) > \frac{1}{2}$ соответствуют все точки на единичной окружности, абсциссы которых больше, чем $\frac{1}{2}$. Эти точки образуют дугу, расположенную правее прямой $x = \frac{1}{2}$.

Найдем углы, соответствующие крайним точкам этой дуги (точкам пересечения). Эти углы являются решениями уравнения $cos(x) = \frac{1}{2}$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ это углы $x_1 = \frac{\pi}{3}$ (в первой четверти) и $x_2 = -\frac{\pi}{3}$ (в четвертой четверти).

Все углы $x$, лежащие на дуге между $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$ (при движении против часовой стрелки), удовлетворяют исходному неравенству. Таким образом, на одном обороте решение — это интервал $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$.

Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, к концам найденного интервала необходимо добавить $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение неравенства имеет вид: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.