Страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему в уравнении $\sin x - \cos y = \cos^2 x$ значение разности $\sin x - \cos y$ больше или равно нулю?

Рассмотрим данное уравнение: $sinx - cosy = cos^2x$.

Чтобы понять, почему левая часть этого уравнения ($sinx - cosy$) не может быть отрицательной, нужно проанализировать его правую часть, то есть выражение $cos^2x$.

1. Свойства функции косинус.

Для любого действительного числа $x$ значение функции $cos(x)$ всегда находится в диапазоне от -1 до 1 включительно. Это записывается в виде неравенства: $-1 \leq cos(x) \leq 1$.

2. Свойства операции возведения в квадрат.

Когда мы возводим в квадрат любое действительное число, результат всегда является неотрицательным (то есть большим или равным нулю). Например, если $cos(x) = -1$, то $cos^2x = (-1)^2 = 1$. Если $cos(x) = 0.5$, то $cos^2x = (0.5)^2 = 0.25$. Если $cos(x) = 0$, то $cos^2x = 0^2 = 0$.

Таким образом, для любого значения $x$ выражение $cos^2x$ всегда будет больше или равно нулю. Математически это записывается так: $cos^2x \geq 0$.

3. Заключение.

В исходном уравнении $sinx - cosy = cos^2x$ левая часть приравнена к правой. Поскольку мы установили, что правая часть ($cos^2x$) всегда неотрицательна, то и равная ей левая часть ($sinx - cosy$) также должна быть всегда неотрицательной.

Следовательно, из самого вида уравнения следует, что $sinx - cosy \geq 0$.

Ответ: Значение разности $sinx - cosy$ больше или равно нулю, потому что эта разность, согласно уравнению, равна выражению $cos^2x$. Квадрат любого действительного числа, включая $cos(x)$, не может быть отрицательным, поэтому $cos^2x \geq 0$, а значит и $sinx - cosy \geq 0$.

1. Какие преобразования тригонометрических выражений могут привести:

1) к приобретению посторонних корней;

2) к потере корней?

2. Приведите пример уравнения, где удобно заменить синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла.

1) к приобретению посторонних корней;

Приобретение посторонних корней при решении тригонометрических уравнений обычно является следствием неравносильных преобразований, которые приводят к уравнению, множество корней которого шире, чем у исходного. Основные типы таких преобразований:

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (чаще всего в квадрат). При таком преобразовании теряется информация о знаке исходных выражений. Например, уравнение $A=B$ после возведения в квадрат становится $A^2=B^2$, что равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ и $A=-B$. Второе уравнение и может дать посторонние корни.

Пример. Решить уравнение $\sin x + \cos x = 0$.

Возведем обе части в квадрат: $(\sin x + \cos x)^2 = 0^2 \implies \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$.

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получаем: $1 + \sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = -1$.

Решения этого уравнения: $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Однако, если мы решим исходное уравнение $\sin x = -\cos x$ делением на $\cos x \ne 0$, получим $\tan x = -1$, что дает корни $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. В данном случае посторонних корней не появилось.

Рассмотрим другой пример: $\sin x = \cos x$. Возведение в квадрат даст то же уравнение $\sin(2x)=1$, но решениями исходного уравнения являются $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. Таким образом, преобразование $\sin x = \cos x \implies \sin^2 x = \cos^2 x$ является неравносильным и приводит к появлению посторонних корней.

2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (например, при избавлении от знаменателя). Если множитель может обращаться в ноль, то его нули могут стать корнями нового уравнения, не будучи корнями исходного (особенно если в этих точках знаменатель исходного выражения тоже был равен нулю).

3. Применение формул, расширяющих область допустимых значений (ОДЗ). Например, замена $\tan x \cot x$ на 1 расширяет ОДЗ, так как выражение слева определено при $x \ne \frac{\pi k}{2}$, а 1 определена всегда.

Ответ: К приобретению посторонних корней могут привести такие преобразования, как возведение обеих частей уравнения в четную степень, освобождение от знаменателя путем умножения на выражение с переменной, а также применение формул, которые расширяют область допустимых значений исходного выражения.

2) к потере корней?

Потеря корней происходит при выполнении преобразований, которые сужают область допустимых значений или необоснованно отбрасывают некоторые случаи. Основные причины:

1. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную. Если это выражение может обращаться в ноль, то соответствующие значения переменной, которые могли быть корнями исходного уравнения, будут потеряны.

Пример. Решить уравнение $2\sin x \cos x = \sqrt{3} \sin x$.

Неправильное решение: разделить обе части на $\sin x$. Получим $2\cos x = \sqrt{3} \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. При этом действии мы неявно предположили, что $\sin x \ne 0$. Но $\sin x = 0$ также дает решения исходного уравнения. Таким образом, мы потеряли серию корней $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Правильное решение: перенести все члены в одну часть и вынести общий множитель за скобки.

$2\sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \implies \sin x (2\cos x - \sqrt{3}) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности: $\sin x = 0$ или $2\cos x - \sqrt{3} = 0$.

Отсюда получаем полный набор корней: $x = \pi n$ и $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

2. Применение формул, сужающих ОДЗ. Самый известный пример — универсальная тригонометрическая подстановка, которая выражает $\sin x$ и $\cos x$ через $t = \tan(\frac{x}{2})$. Эта замена не определена для $x = \pi + 2\pi k$, так как в этих точках $\tan(\frac{x}{2})$ не существует. Если эти значения являются корнями исходного уравнения, они будут потеряны, и их нужно проверять отдельно.

Ответ: К потере корней может привести деление обеих частей уравнения на выражение с переменной, которое может быть равно нулю, а также применение формул, сужающих область допустимых значений (например, универсальная тригонометрическая подстановка без последующей проверки).

2. Приведите пример уравнения, где удобно заменить синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла.

Замена тригонометрических функций через тангенс половинного угла называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она особенно эффективна для решения уравнений вида $a\sin x + b\cos x = c$, где $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты. Эта подстановка сводит тригонометрическое уравнение к алгебраическому (часто квадратному) относительно новой переменной $t = \tan(\frac{x}{2})$.

Используются следующие формулы:

$\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Пример. Решить уравнение $\sin x + 7\cos x = 5$.

1. Выполним замену $t = \tan(\frac{x}{2})$. Уравнение примет вид:

$\frac{2t}{1+t^2} + 7\frac{1-t^2}{1+t^2} = 5$

2. Так как $1+t^2 > 0$ при любых действительных $t$, умножим обе части уравнения на $1+t^2$:

$2t + 7(1-t^2) = 5(1+t^2)$

$2t + 7 - 7t^2 = 5 + 5t^2$

$12t^2 - 2t - 2 = 0$

$6t^2 - t - 1 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{1-5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$; $t_2 = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

4. Вернемся к исходной переменной:

$\tan(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{3}$ или $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$.

Отсюда получаем две серии решений:

$\frac{x}{2} = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k \implies x = -2\arctan(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{2} = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n \implies x = 2\arctan(\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

5. Проверим, не были ли потеряны корни. Подстановка $t = \tan(\frac{x}{2})$ не определена при $x = \pi + 2\pi m$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$\sin(\pi) + 7\cos(\pi) = 0 + 7(-1) = -7$.

Поскольку $-7 \ne 5$, значения $x = \pi + 2\pi m$ не являются корнями уравнения, и потери корней не произошло.

Ответ: Примером уравнения, где удобна замена через тангенс половинного угла, является уравнение $a\sin x + b\cos x = c$, например, $\sin x + 7\cos x = 5$. Использование универсальной тригонометрической подстановки сводит его к простому алгебраическому уравнению.

20.1. Решите уравнение:

1) $\sin x + \sin 5x - 2\cos 2x = 0;$

2) $\cos 5x + \cos x + 2\cos 3x = 0;$

3) $\sin x - \sqrt{2} \sin 3x = -\sin 5x;$

4) $\cos x - \cos 3x - 2\sin 2x = 0.$

1) $sinx + sin5x - 2cos2x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы синусов: $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Применим эту формулу к первым двум слагаемым уравнения:

$sinx + sin5x = 2sin\frac{x+5x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2sin3xcos2x$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$2sin3xcos2x - 2cos2x = 0$.

Вынесем общий множитель $2cos2x$ за скобки:

$2cos2x(sin3x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $cos2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $sin3x - 1 = 0 \implies sin3x = 1$

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos5x + cosx + 2cos3x = 0$

Для решения этого уравнения применим формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Преобразуем сумму $cos5x + cosx$:

$cos5x + cosx = 2cos\frac{5x+x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2cos3xcos2x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$2cos3xcos2x + 2cos3x = 0$.

Вынесем общий множитель $2cos3x$ за скобки:

$2cos3x(cos2x + 1) = 0$.

Получаем совокупность двух уравнений:

1. $cos3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $cos2x + 1 = 0 \implies cos2x = -1$

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $n=1$ в первой серии получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi+2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, что соответствует значению второй серии при $k=0$. В общем виде, если $n = 1+3k$, то $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi (1+3k)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Таким образом, все решения второго уравнения содержатся в решениях первого. Следовательно, в ответ достаточно записать только первую серию корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $sinx - \sqrt{2} sin3x = -sin5x$

Перенесем слагаемое $-sin5x$ в левую часть уравнения:

$sinx + sin5x - \sqrt{2}sin3x = 0$.

Используем формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ для $sinx + sin5x$:

$sinx + sin5x = 2sin\frac{x+5x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2sin3xcos2x$.

Подставим результат в уравнение:

$2sin3xcos2x - \sqrt{2}sin3x = 0$.

Вынесем общий множитель $sin3x$ за скобки:

$sin3x(2cos2x - \sqrt{2}) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1. $sin3x = 0$

$3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2cos2x - \sqrt{2} = 0 \implies cos2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $cosx - cos3x - 2sin2x = 0$

Для решения применим формулу разности косинусов: $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Преобразуем разность $cosx - cos3x$:

$cosx - cos3x = -2sin\frac{x+3x}{2}sin\frac{x-3x}{2} = -2sin2xsin(-x)$.

Так как $sin(-x) = -sinx$, выражение упрощается до $2sin2xsinx$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2sin2xsinx - 2sin2x = 0$.

Вынесем общий множитель $2sin2x$ за скобки:

$2sin2x(sinx - 1) = 0$.

Получаем совокупность двух уравнений:

1. $sin2x = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $sinx - 1 = 0 \implies sinx = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, не является ли вторая серия решений частью первой. Первая серия $x = \frac{\pi n}{2}$ дает значения $...0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, ...$. Вторая серия $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ дает значения $...\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$. Эти значения получаются из первой серии при $n=1, 5, 9, ...$ (то есть при $n=4k+1$). Таким образом, вторая серия является подмножеством первой. Поэтому в ответ записываем только первую, более общую, серию корней.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

20.2. Решите уравнение:

1) $\cos(70^\circ + x)\cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2}$;

2) $\sin(40^\circ + x)\sin(x - 50^\circ) = 1$.

1) $cos(70^\circ + x)cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2}$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$cos(\alpha)cos(\beta) = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае пусть $\alpha = 70^\circ + x$ и $\beta = x - 20^\circ$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$cos(70^\circ + x)cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2}(cos((70^\circ + x) - (x - 20^\circ)) + cos((70^\circ + x) + (x - 20^\circ)))$

Упростим выражения в аргументах косинусов:

$\alpha - \beta = 70^\circ + x - x + 20^\circ = 90^\circ$

$\alpha + \beta = 70^\circ + x + x - 20^\circ = 2x + 50^\circ$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(90^\circ) + cos(2x + 50^\circ)) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$cos(90^\circ) + cos(2x + 50^\circ) = 1$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, уравнение принимает вид:

$0 + cos(2x + 50^\circ) = 1$

$cos(2x + 50^\circ) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$2x + 50^\circ = 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$2x = -50^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -25^\circ + 180^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -25^\circ + 180^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $sin(40^\circ + x)sin(x - 50^\circ) = 1$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае пусть $\alpha = 40^\circ + x$ и $\beta = x - 50^\circ$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$sin(40^\circ + x)sin(x - 50^\circ) = \frac{1}{2}(cos((40^\circ + x) - (x - 50^\circ)) - cos((40^\circ + x) + (x - 50^\circ)))$

Упростим выражения в аргументах косинусов:

$\alpha - \beta = 40^\circ + x - x + 50^\circ = 90^\circ$

$\alpha + \beta = 40^\circ + x + x - 50^\circ = 2x - 10^\circ$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(90^\circ) - cos(2x - 10^\circ)) = 1$

Умножим обе части уравнения на 2:

$cos(90^\circ) - cos(2x - 10^\circ) = 2$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, уравнение принимает вид:

$0 - cos(2x - 10^\circ) = 2$

$-cos(2x - 10^\circ) = 2$

$cos(2x - 10^\circ) = -2$

Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$. Так как число $-2$ не принадлежит этому отрезку ($-2 < -1$), данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.