Страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Убедитесь с помощью единичной окружности, что формулы$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z$, $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$,$x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi}{4}, k \in Z$, описывают одни и те же решения(рис. 20.2).

Рис. 20.2

Для того чтобы убедиться, что данные формулы описывают одни и те же решения, мы проанализируем каждую из них и сопоставим с точками на единичной окружности, показанной на рисунке 20.2.

Анализ формул $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$ и $x = \pi + 2\pi n$

Первая формула $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$, описывает все углы, которые на единичной окружности соответствуют точке с координатами $(0, -1)$. Это самая нижняя точка окружности.

Вторая формула $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, описывает все углы, которые на единичной окружности соответствуют точке с координатами $(-1, 0)$. Это самая левая точка окружности.

Следовательно, эти две формулы вместе задают два множества решений, которые на единичной окружности представлены двумя точками, указанными на рисунке.

Анализ формулы $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi}{4}$

Теперь рассмотрим третью, объединенную, формулу. Чтобы понять, какие решения она описывает, разделим все целые числа $k$ на две группы: четные и нечетные.

1. Случай, когда $k$ — четное число.

Пусть $k = 2p$, где $p \in \mathbb{Z}$. Тогда показатель степени $k+1 = 2p+1$ будет нечетным числом, а значит $(-1)^{k+1} = (-1)^{2p+1} = -1$. Подставим эти выражения в формулу:

$x = (-1) \cdot \frac{\pi}{4} + \pi(2p) - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi p - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi p = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p$.

Полученная формула $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p$ полностью совпадает с первой из заданных формул (с точностью до обозначения целочисленного параметра). Она описывает нижнюю точку на единичной окружности.

2. Случай, когда $k$ — нечетное число.

Пусть $k = 2p + 1$, где $p \in \mathbb{Z}$. Тогда показатель степени $k+1 = 2p+2$ будет четным числом, а значит $(-1)^{k+1} = (-1)^{2p+2} = 1$. Подставим эти выражения в формулу:

$x = (1) \cdot \frac{\pi}{4} + \pi(2p+1) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi p + \pi - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi p$.

Полученная формула $x = \pi + 2\pi p$ полностью совпадает со второй из заданных формул. Она описывает левую точку на единичной окружности.

Вывод

Мы показали, что третья формула при четных значениях $k$ дает те же решения, что и первая формула, а при нечетных значениях $k$ — те же решения, что и вторая формула. Таким образом, множество решений, описываемое третьей формулой, является объединением множеств решений первых двух формул. Это означает, что все три формулы (первые две совместно и третья отдельно) описывают один и тот же набор решений, состоящий из двух точек на единичной окружности, как и показано на рисунке.

Ответ: Преобразование формулы $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi}{4}$ для четных $k$ (например, $k=2p$) приводит к виду $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p$, а для нечетных $k$ (например, $k=2p+1$) — к виду $x = \pi + 2\pi p$. Это доказывает, что данная формула объединяет два множества решений $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$ и $x = \pi + 2\pi n$, и все они описывают одни и те же решения.