Страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Приведите пример уравнения, у которого в его левой части два слагаемых, содержащих только $sinx$ или $cosx$, и каждое из них относительно $sinx$ и $cosx$ четвертой степени, а правая часть равна 0.

Согласно условию, необходимо составить уравнение, левая часть которого представляет собой сумму двух слагаемых, а правая часть равна нулю. Каждое из слагаемых должно содержать только функции $\sin(x)$ или $\cos(x)$ и быть четвертой степени относительно этих функций.

Уравнения такого вида, где все слагаемые имеют одинаковую степень относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$, называются однородными тригонометрическими уравнениями. Степень слагаемого определяется как сумма показателей степеней у сомножителей $\sin(x)$ и $\cos(x)$. В данном случае нам нужны слагаемые четвертой степени.

Общий вид такого слагаемого можно записать как $A \cdot \sin^k(x) \cos^{n}(x)$, где $k+n=4$ и $A$ — некоторый числовой коэффициент.

Составим уравнение, выбрав два слагаемых, удовлетворяющих этим условиям. Для простоты возьмем слагаемые, содержащие только синус и только косинус в четвертой степени.

1. Первое слагаемое: пусть это будет $\sin^4(x)$. Здесь степень синуса равна 4, степень косинуса равна 0, их сумма $4+0=4$.

2. Второе слагаемое: пусть это будет $\cos^4(x)$. Здесь степень синуса равна 0, степень косинуса равна 4, их сумма $0+4=4$.

Теперь объединим их в одно уравнение. Мы можем использовать любые ненулевые коэффициенты. Возьмем коэффициенты 1 и -1. Уравнение примет вид:

$\sin^4(x) - \cos^4(x) = 0$

Проверим это уравнение на соответствие всем требованиям:

• В левой части два слагаемых: $\sin^4(x)$ и $(-\cos^4(x))$.

• Каждое слагаемое содержит только $\sin(x)$ или $\cos(x)$.

• Степень каждого слагаемого относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$ равна 4.

• Правая часть равна 0.

Таким образом, данное уравнение полностью удовлетворяет условию задачи. Другим примером может служить уравнение $2\sin^2(x)\cos^2(x) + 3\cos^4(x) = 0$, так как степень первого слагаемого равна $2+2=4$, а второго — 4.

Ответ: $\sin^4(x) - \cos^4(x) = 0$.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему уравнение $a\sin^2x + b\cos^2x + d\sin x \cos x = 1$ не является однородным?

Как привести это уравнение к однородному уравнению второй степени?

Почему $\sin x$ и $\cos x$ одновременно не могут равняться нулю?

Почему уравнение $asin^2x + bcos^2x + dsinx cosx = 1$ не является однородным?

Однородным тригонометрическим уравнением называют уравнение, в котором все его члены имеют одинаковую степень относительно синуса и косинуса, а правая часть равна нулю.

Рассмотрим данное уравнение $asin^2x + bcos^2x + dsinx cosx = 1$.

Степенью члена $asin^2x$ является 2.

Степенью члена $bcos^2x$ является 2.

Степенью члена $dsinx cosx$ является $1+1=2$.

При этом в правой части уравнения находится константа 1, которую можно рассматривать как член нулевой степени ($1 \cdot (sin^2x+cos^2x)^0$). Поскольку в уравнении присутствуют члены разных степеней (второй и нулевой), оно не является однородным.

Ответ: Уравнение не является однородным, так как не все его члены имеют одинаковую степень. Члены в левой части имеют вторую степень, а член в правой части (константа 1) имеет нулевую степень.

Как привести это уравнение к однородному уравнению второй степени?

Чтобы сделать уравнение однородным, нужно добиться того, чтобы все его члены имели одинаковую степень. В данном случае мы хотим привести его к однородному уравнению второй степени. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$.

Заменим число 1 в правой части уравнения на выражение $sin^2x + cos^2x$:

$asin^2x + bcos^2x + dsinx cosx = sin^2x + cos^2x$

Теперь перенесем все члены из правой части в левую, чтобы справа остался ноль:

$asin^2x - sin^2x + bcos^2x - cos^2x + dsinx cosx = 0$

Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся за скобки $sin^2x$ и $cos^2x$:

$(a-1)sin^2x + dsinx cosx + (b-1)cos^2x = 0$

Теперь все члены полученного уравнения имеют вторую степень, а правая часть равна нулю. Таким образом, уравнение стало однородным второй степени.

Ответ: Для приведения уравнения к однородному второй степени необходимо заменить 1 в правой части на $sin^2x + cos^2x$ и перенести все члены в одну сторону, в результате чего получится уравнение $(a-1)sin^2x + dsinx cosx + (b-1)cos^2x = 0$.

Почему $sinx$ и $cosx$ одновременно не могут равняться нулю?

Синус и косинус одного и того же угла $x$ связаны фундаментальным соотношением, которое называется основным тригонометрическим тождеством: $sin^2x + cos^2x = 1$.

Допустим, что существует такой угол $x$, для которого $sinx$ и $cosx$ одновременно равны нулю, то есть $sinx=0$ и $cosx=0$.

Подставим эти гипотетические значения в основное тригонометрическое тождество:

$(0)^2 + (0)^2 = 1$

$0 + 0 = 1$

$0 = 1$

Полученное равенство $0 = 1$ является ложным. Это противоречие означает, что наше первоначальное допущение было неверным. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором синус и косинус могут одновременно быть равны нулю.

Ответ: $sinx$ и $cosx$ не могут одновременно равняться нулю, потому что это противоречит основному тригонометрическому тождеству $sin^2x + cos^2x = 1$.