Страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

6. (4) Докажите равенство $\operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\pi}{4}$.

Для доказательства данного равенства преобразуем все его члены к одной обратной тригонометрической функции, в данном случае к арктангенсу.

Обозначим левую часть равенства как $S$. То есть, $S = \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Наша задача — доказать, что $S = \frac{\pi}{4}$.

Рассмотрим второе слагаемое: $2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$. Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$.

По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Так как $\frac{1}{\sqrt{10}} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Найдем $\cos\alpha$ используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

Поскольку $\alpha$ находится в первой четверти, $\cos\alpha > 0$. Следовательно, $\cos\alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Теперь мы можем найти тангенс угла $\alpha$:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.

Это означает, что $\alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{3}$.

Таким образом, мы преобразовали второе слагаемое: $2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} = 2\operatorname{arctg}\frac{1}{3}$.

Теперь исходное выражение выглядит так:

$S = \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\operatorname{arctg}\frac{1}{3}$.

Воспользуемся формулой для удвоенного арктангенса: $2\operatorname{arctg}x = \operatorname{arctg}\frac{2x}{1-x^2}$ (эта формула верна при $|x| < 1$).

Для $x = \frac{1}{3}$, условие $|\frac{1}{3}| < 1$ выполняется. Применяем формулу:

$2\operatorname{arctg}\frac{1}{3} = \operatorname{arctg}\left(\frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8}\right) = \operatorname{arctg}\frac{18}{24} = \operatorname{arctg}\frac{3}{4}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $S$:

$S = \operatorname{arctg}\frac{1}{7} + \operatorname{arctg}\frac{3}{4}$.

Далее используем формулу сложения арктангенсов: $\operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}y = \operatorname{arctg}\frac{x+y}{1-xy}$ (эта формула верна при $xy < 1$).

Проверим условие: $x \cdot y = \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{28}$. Так как $\frac{3}{28} < 1$, формула применима.

$\operatorname{arctg}\frac{1}{7} + \operatorname{arctg}\frac{3}{4} = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{4+21}{28}}{1 - \frac{3}{28}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}\right) = \operatorname{arctg}(1)$.

Как известно, значение $\operatorname{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, мы показали, что $S = \frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\operatorname{arctg}\frac{1}{7} + 2\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\pi}{4}$ доказано.

Докажите равенство $\sin \left(2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}\right) + \operatorname{tg}\left(\frac{1}{2}\arcsin \frac{15}{17}\right) = \frac{7}{5}$.

Для доказательства данного равенства необходимо вычислить значение выражения в левой части и сравнить его с правой частью. Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Вычисление первого слагаемого $ \sin(2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}) $

Обозначим $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $. Из определения арктангенса следует, что $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2} $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Поскольку $ \frac{1}{2} > 0 $, то $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс: $ \sin(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \operatorname{tg}\alpha $:

$ \sin(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} $.

Таким образом, первое слагаемое равно $ \frac{4}{5} $.

Вычисление второго слагаемого $ \operatorname{tg}(\frac{1}{2}\arcsin\frac{15}{17}) $

Обозначим $ \beta = \arcsin\frac{15}{17} $. Из определения арксинуса следует, что $ \sin\beta = \frac{15}{17} $ и угол $ \beta $ находится в интервале $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку $ \frac{15}{17} > 0 $, то $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}] $.

Воспользуемся формулой тангенса половинного угла: $ \operatorname{tg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{1-\cos\beta}{\sin\beta} $.

Для применения этой формулы нам необходимо найти $ \cos\beta $. Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $. Так как $ \beta $ находится в первой четверти, $ \cos\beta $ будет положительным.

$ \cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{15}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \sqrt{\frac{289-225}{289}} = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} $.

Теперь можем вычислить тангенс половинного угла:

$ \operatorname{tg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{1 - \frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{\frac{17-8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{\frac{9}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.

Таким образом, второе слагаемое равно $ \frac{3}{5} $.

Проверка равенства

Сложим полученные значения двух слагаемых:

$ \sin(2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}) + \operatorname{tg}(\frac{1}{2}\arcsin\frac{15}{17}) = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} $.

Полученное значение левой части $ \frac{7}{5} $ совпадает со значением в правой части исходного равенства.

Ответ: Равенство доказано.

8. (5) Упростите следующие выражения:

a) $arcsin(cos0.3\pi)$, $arccos(sin0.2\pi)$, $arccos(sin1.8\pi)$; $arcsin(cos4)$;

б) $arcctg(tg1.8\pi)$, $arcctg(ctg1.8\pi)$, $arcctg(tg3)$, $arcctg(ctg7)$.

а)

Решение для $arcsin(cos(0.3\pi))$:
Используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arcsin(cos(0.3\pi)) = arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - 0.3\pi)) = arcsin(sin(0.5\pi - 0.3\pi)) = arcsin(sin(0.2\pi))$.
Область значений функции $arcsin(y)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Так как $0.2\pi$ принадлежит этому отрезку ($-\frac{\pi}{2} \le 0.2\pi \le \frac{\pi}{2}$), то по определению арксинуса $arcsin(sin(0.2\pi)) = 0.2\pi$.
Ответ: $0.2\pi$.

Решение для $arccos(sin(0.2\pi))$:
Используем формулу приведения $sin(\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arccos(sin(0.2\pi)) = arccos(cos(\frac{\pi}{2} - 0.2\pi)) = arccos(cos(0.3\pi))$.
Область значений функции $arccos(y)$ — это отрезок $[0, \pi]$.
Так как $0.3\pi$ принадлежит этому отрезку ($0 \le 0.3\pi \le \pi$), то по определению арккосинуса $arccos(cos(0.3\pi)) = 0.3\pi$.
Ответ: $0.3\pi$.

Решение для $arccos(sin(1.8\pi))$:
Используем периодичность синуса $sin(1.8\pi) = sin(1.8\pi - 2\pi) = sin(-0.2\pi) = -sin(0.2\pi)$.
Получаем $arccos(-sin(0.2\pi))$.
Используем свойство арккосинуса $arccos(-y) = \pi - arccos(y)$.
$\pi - arccos(sin(0.2\pi))$.
Из предыдущего примера мы знаем, что $arccos(sin(0.2\pi)) = 0.3\pi$.
Следовательно, выражение равно $\pi - 0.3\pi = 0.7\pi$.
Ответ: $0.7\pi$.

Решение для $arcsin(cos(4))$:
Используем формулу приведения $cos(\alpha) = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arcsin(cos(4)) = arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - 4))$.
Пусть $x = \frac{\pi}{2} - 4$. Область значений арксинуса — $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Оценим $x$: $x \approx 1.57 - 4 = -2.43$. Это значение не входит в область значений арксинуса.
Нам нужно найти такое число $y$, что $sin(y) = sin(x)$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Известно, что $sin(y) = sin(\alpha)$ если $y = \alpha + 2k\pi$ или $y = \pi - \alpha + 2k\pi$ для целого $k$.
Проверим второй случай: $y = \pi - (\frac{\pi}{2} - 4) + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 4 + 2k\pi$.
При $k=-1$, $y = \frac{\pi}{2} + 4 - 2\pi = 4 - \frac{3\pi}{2}$.
Оценим это значение: $4 - \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 4 - 4.712 = -0.712$.
Так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, то $-1.57 \le -0.712 \le 1.57$. Значение $4 - \frac{3\pi}{2}$ входит в область значений арксинуса.
Ответ: $4 - \frac{3\pi}{2}$.

б)

Решение для $arcctg(tg(1.8\pi))$:
Используем формулу приведения $tg(\alpha) = ctg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arcctg(tg(1.8\pi)) = arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 1.8\pi)) = arcctg(ctg(-1.3\pi))$.
Область значений арккотангенса — интервал $(0, \pi)$. Значение $-1.3\pi$ не входит в этот интервал.
Используем периодичность котангенса (период $T=\pi$): $ctg(-1.3\pi) = ctg(-1.3\pi + 2\pi) = ctg(0.7\pi)$.
Так как $0 < 0.7\pi < \pi$, то $arcctg(ctg(0.7\pi)) = 0.7\pi$.
Ответ: $0.7\pi$.

Решение для $arctg(ctg(1.8\pi))$:
Используем формулу приведения $ctg(\alpha) = tg(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$arctg(ctg(1.8\pi)) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - 1.8\pi)) = arctg(tg(-1.3\pi))$.
Область значений арктангенса — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $-1.3\pi$ не входит в этот интервал.
Используем периодичность тангенса (период $T=\pi$): $tg(-1.3\pi) = tg(-1.3\pi + \pi) = tg(-0.3\pi)$.
Так как $-\frac{\pi}{2} < -0.3\pi < \frac{\pi}{2}$, то $arctg(tg(-0.3\pi)) = -0.3\pi$.
Ответ: $-0.3\pi$.

Решение для $arcctg(tg(3))$:
$arcctg(tg(3)) = arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 3))$.
Область значений арккотангенса — $(0, \pi)$.
Аргумент котангенса $\frac{\pi}{2} - 3 \approx 1.57 - 3 = -1.43$ не принадлежит этому интервалу.
Используем периодичность котангенса: $ctg(\frac{\pi}{2} - 3) = ctg(\frac{\pi}{2} - 3 + \pi) = ctg(\frac{3\pi}{2} - 3)$.
Новый аргумент $\frac{3\pi}{2} - 3 \approx 4.71 - 3 = 1.71$.
Так как $0 < 1.71 < \pi \approx 3.14$, то значение $ \frac{3\pi}{2} - 3 $ находится в области значений арккотангенса.
Ответ: $\frac{3\pi}{2} - 3$.

Решение для $arctg(ctg(7))$:
$arctg(ctg(7)) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - 7))$.
Область значений арктангенса — $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Аргумент тангенса $\frac{\pi}{2} - 7 \approx 1.57 - 7 = -5.43$ не принадлежит этому интервалу.
Используем периодичность тангенса: $tg(\alpha) = tg(\alpha + k\pi)$.
При $k=1$: $\frac{\pi}{2} - 7 + \pi = \frac{3\pi}{2} - 7 \approx 4.71 - 7 = -2.29$, что не входит в $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
При $k=2$: $\frac{\pi}{2} - 7 + 2\pi = \frac{5\pi}{2} - 7 \approx 7.85 - 7 = 0.85$, что входит в $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$.
Следовательно, итоговое значение равно $\frac{5\pi}{2} - 7$.
Ответ: $\frac{5\pi}{2} - 7$.

9. (2) Вычислите значения следующих выражений:

a) $\cos\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$, $\sin\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$, $\text{tg}\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$, $\text{ctg}\left(\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\right)$;

б) $\sin\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$, $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$, $\text{tg}\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$, $\text{ctg}\left(\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$;

в) $\text{tg}(\text{arctg}(-2))$, $\cos(\text{arctg}(-2))$, $\sin(\text{arctg}(-2))$, $\text{tg}(\text{arctg}(-2))$.

а)

Пусть $\alpha = arccos(\frac{5}{13})$. По определению арккосинуса, $cos(\alpha) = \frac{5}{13}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$. Так как значение косинуса положительно, то угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этом промежутке синус неотрицателен.
1. $cos(arccos(\frac{5}{13}))$. По определению обратной тригонометрической функции, $cos(arccos(x)) = x$. Следовательно, $cos(arccos(\frac{5}{13})) = \frac{5}{13}$.
2. $sin(arccos(\frac{5}{13}))$. Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, находим $sin(\alpha)$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
3. $tg(arccos(\frac{5}{13}))$. Находим тангенс как отношение синуса к косинусу: $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$.
4. $ctg(arccos(\frac{5}{13}))$. Находим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $\frac{5}{13}$, $\frac{12}{13}$, $\frac{12}{5}$, $\frac{5}{12}$.

б)

Пусть $\beta = arcsin(-\frac{2}{3})$. По определению арксинуса, $sin(\beta) = -\frac{2}{3}$ и угол $\beta$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Так как значение синуса отрицательно, то угол $\beta$ принадлежит четвертой четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} \le \beta < 0$. В этом промежутке косинус неотрицателен.
1. $sin(arcsin(-\frac{2}{3}))$. По определению арксинуса, $sin(arcsin(x)) = x$. Следовательно, $sin(arcsin(-\frac{2}{3})) = -\frac{2}{3}$.
2. $cos(arcsin(-\frac{2}{3}))$. Из тождества $sin^2(\beta) + cos^2(\beta) = 1$ находим $cos(\beta)$. Так как $\beta$ в четвертой четверти, $cos(\beta) = \sqrt{1 - sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
3. $tg(arcsin(-\frac{2}{3})) = \frac{sin(\beta)}{cos(\beta)} = \frac{-2/3}{\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
4. $ctg(arcsin(-\frac{2}{3})) = \frac{cos(\beta)}{sin(\beta)} = \frac{\sqrt{5}/3}{-2/3} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$, $\frac{\sqrt{5}}{3}$, $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

в)

Пусть $\gamma = arctg(-2)$. По определению арктангенса, $tg(\gamma) = -2$ и угол $\gamma$ находится в промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как значение тангенса отрицательно, то угол $\gamma$ принадлежит четвертой четверти, то есть $-\frac{\pi}{2} < \gamma < 0$. В этом промежутке косинус положителен, а синус отрицателен.
1. $tg(arctg(-2))$. По определению арктангенса, $tg(arctg(x)) = x$. Следовательно, $tg(arctg(-2)) = -2$.
2. $cos(arctg(-2))$. Используем тождество $1 + tg^2(\gamma) = \frac{1}{cos^2(\gamma)}$. Отсюда $cos^2(\gamma) = \frac{1}{1+tg^2(\gamma)} = \frac{1}{1+(-2)^2} = \frac{1}{5}$. Так как $\gamma$ в четвертой четверти, $cos(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
3. $sin(arctg(-2))$. Найдем синус по формуле $sin(\gamma) = tg(\gamma) \cdot cos(\gamma) = -2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
4. $tg(arctg(-2))$. Это выражение идентично первому, поэтому его значение также равно $-2$.
Ответ: $-2$, $\frac{\sqrt{5}}{5}$, $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $-2$.

10. (3) Вычислите значения следующих выражений:

а)

$\cos(\frac{\pi}{6} + \arcsin(-\frac{2}{3}))$, $\cos(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos\frac{5}{13})$,

$\cos(\operatorname{arctg}(-2)+\operatorname{arcctg}5)$;

б)

$\sin(\frac{\pi}{3} - \arccos\frac{5}{13})$, $\sin(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos\frac{5}{13})$,

$\sin(\arccos\frac{3}{4}+\operatorname{arctg}(-2))$;

в)

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4} + \operatorname{arcctg}5)$, $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}5-\operatorname{arctg}3)$, $\operatorname{ctg}(\operatorname{arctg}(-2)+\arcsin\frac{1}{3})$.

а)

1. Вычислим значение выражения $cos(\frac{\pi}{6} + \arcsin(-\frac{2}{3}))$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\beta = \arcsin(-\frac{2}{3})$. Тогда $sin(\beta) = -\frac{2}{3}$.
Так как область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, а $sin(\beta) < 0$, то $\beta$ находится в IV четверти, где $cos(\beta) \ge 0$.
Найдем $cos(\beta)$ из основного тригонометрического тождества: $cos^2(\beta) = 1 - sin^2(\beta) = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Следовательно, $cos(\beta) = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Известно, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\frac{\pi}{6} + \arcsin(-\frac{2}{3})) = cos(\frac{\pi}{6})cos(\beta) - sin(\frac{\pi}{6})sin(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{15}}{6} + \frac{2}{6} = \frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

2. Вычислим значение выражения $cos(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos(\frac{5}{13}))$.
Воспользуемся формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$ и $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$.
Из предыдущего вычисления мы знаем, что $sin(\alpha) = -\frac{2}{3}$ и $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Для $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$ имеем $cos(\beta) = \frac{5}{13}$.
Так как область значений арккосинуса $[0, \pi]$, а $cos(\beta) > 0$, то $\beta$ находится в I четверти, где $sin(\beta) \ge 0$.
$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$.
Следовательно, $sin(\beta) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{5}{13} + (-\frac{2}{3}) \cdot \frac{12}{13} = \frac{5\sqrt{5}}{39} - \frac{24}{39} = \frac{5\sqrt{5}-24}{39}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{5}-24}{39}$.

3. Вычислим значение выражения $cos(\arctg(-2) + \arcctg(5))$.
Воспользуемся формулой косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arctg(-2)$ и $\beta = \arcctg(5)$.
Для $\alpha = \arctg(-2)$ имеем $tg(\alpha) = -2$. Так как $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\alpha$ в IV четверти ($cos(\alpha)>0, sin(\alpha)<0$).
Из $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$ находим $cos^2(\alpha) = \frac{1}{1+(-2)^2} = \frac{1}{5}$, значит $cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$sin(\alpha) = tg(\alpha)cos(\alpha) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Для $\beta = \arcctg(5)$ имеем $ctg(\beta) = 5$. Так как $\beta \in (0, \pi)$, то $\beta$ в I четверти ($cos(\beta)>0, sin(\beta)>0$).
Из $1 + ctg^2(\beta) = \frac{1}{sin^2(\beta)}$ находим $sin^2(\beta) = \frac{1}{1+5^2} = \frac{1}{26}$, значит $sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
$cos(\beta) = ctg(\beta)sin(\beta) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} - (-\frac{2}{\sqrt{5}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{130}} + \frac{2}{\sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}} = \frac{7\sqrt{130}}{130}$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{130}}{130}$.

б)

1. Вычислим значение выражения $sin(\frac{\pi}{3} - \arccos(\frac{5}{13}))$.
Воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$.
Имеем $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, $cos(\beta) = \frac{5}{13}$ и $sin(\beta) = \frac{12}{13}$ (из пункта а).
Подставляем значения в формулу:
$sin(\frac{\pi}{3} - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} - \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{13} = \frac{5\sqrt{3}}{26} - \frac{12}{26} = \frac{5\sqrt{3}-12}{26}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}-12}{26}$.

2. Вычислим значение выражения $sin(\arcsin(-\frac{2}{3}) - \arccos(\frac{5}{13}))$.
Воспользуемся формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arcsin(-\frac{2}{3})$ и $\beta = \arccos(\frac{5}{13})$.
Из пункта а) мы знаем: $sin(\alpha) = -\frac{2}{3}$, $cos(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $cos(\beta) = \frac{5}{13}$, $sin(\beta) = \frac{12}{13}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{2}{3}) \cdot \frac{5}{13} - \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{10}{39} - \frac{12\sqrt{5}}{39} = -\frac{10+12\sqrt{5}}{39}$.

Ответ: $-\frac{10+12\sqrt{5}}{39}$.

3. Вычислим значение выражения $sin(\arccos(\frac{3}{4}) + \arctg(-2))$.
Воспользуемся формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$.
Пусть $\alpha = \arccos(\frac{3}{4})$ и $\beta = \arctg(-2)$.
Для $\alpha = \arccos(\frac{3}{4})$ имеем $cos(\alpha) = \frac{3}{4}$. $\alpha$ в I четверти, $sin(\alpha) > 0$.
$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$, следовательно $sin(\alpha) = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
Для $\beta = \arctg(-2)$ из пункта а) мы знаем: $cos(\beta) = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $sin(\beta) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{3}{4} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{5}}) = \frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{5}} - \frac{6}{4\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-6}{4\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}-6)\sqrt{5}}{20} = \frac{\sqrt{35}-6\sqrt{5}}{20}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{35}-6\sqrt{5}}{20}$.

в)

1. Вычислим значение выражения $ctg(\frac{\pi}{4} + \arcctg(5))$.
Воспользуемся формулой котангенса суммы: $ctg(\alpha + \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta)-1}{ctg(\alpha)+ctg(\beta)}$.
Пусть $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \arcctg(5)$.
Имеем $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $ctg(\beta) = ctg(\arcctg(5)) = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$ctg(\frac{\pi}{4} + \arcctg(5)) = \frac{1 \cdot 5 - 1}{1+5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2. Вычислим значение выражения $ctg(\arcctg(5) - \arctg(3))$.
Воспользуемся формулой котангенса разности: $ctg(\alpha - \beta) = \frac{ctg(\alpha)ctg(\beta)+1}{ctg(\beta)-ctg(\alpha)}$.
Пусть $\alpha = \arcctg(5)$ и $\beta = \arctg(3)$.
Имеем $ctg(\alpha) = 5$. Для $\beta = \arctg(3)$ имеем $tg(\beta)=3$, откуда $ctg(\beta) = \frac{1}{tg(\beta)} = \frac{1}{3}$.
Подставляем значения в формулу:
$ctg(\arcctg(5) - \arctg(3)) = \frac{5 \cdot \frac{1}{3} + 1}{\frac{1}{3} - 5} = \frac{\frac{5}{3}+\frac{3}{3}}{\frac{1-15}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{14}{3}} = -\frac{8}{14} = -\frac{4}{7}$.

Ответ: $-\frac{4}{7}$.

3. Вычислим значение выражения $ctg(\arctg(-2) + \arcsin(\frac{1}{3}))$.
Воспользуемся формулой $ctg(\alpha+\beta) = \frac{cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)}{sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)}$.
Пусть $\alpha = \arctg(-2)$ и $\beta = \arcsin(\frac{1}{3})$.
Для $\alpha = \arctg(-2)$, как было найдено ранее, $sin(\alpha) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Для $\beta = \arcsin(\frac{1}{3})$ имеем $sin(\beta) = \frac{1}{3}$. $\beta$ находится в I четверти, $cos(\beta) > 0$.
$cos^2(\beta) = 1 - sin^2(\beta) = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$, следовательно $cos(\beta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Вычислим числитель и знаменатель дроби для котангенса:
$cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} - (-\frac{2}{\sqrt{5}}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} + \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}+2}{3\sqrt{5}}$.
$sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) = (-\frac{2}{\sqrt{5}}) \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} + \frac{1}{3\sqrt{5}} = \frac{1-4\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}$.
Тогда $ctg(\alpha+\beta) = \frac{(2\sqrt{2}+2)/(3\sqrt{5})}{(1-4\sqrt{2})/(3\sqrt{5})} = \frac{2\sqrt{2}+2}{1-4\sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(1+4\sqrt{2})$:
$\frac{(2\sqrt{2}+2)(1+4\sqrt{2})}{(1-4\sqrt{2})(1+4\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}+16+2+8\sqrt{2}}{1 - (4\sqrt{2})^2} = \frac{18+10\sqrt{2}}{1-32} = \frac{18+10\sqrt{2}}{-31} = -\frac{18+10\sqrt{2}}{31}$.

Ответ: $-\frac{18+10\sqrt{2}}{31}$.

11. (3) а) Вычислите значение выражения $\cos\left(2\arcsin\frac{1}{3}\right)$.

б) Докажите, что если $|a| \le 1$, то $\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

в) Пользуясь формулой, доказанной в пункте б), определите $\cos\left(2\arcsin\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}\right)$.

а)

Для вычисления значения выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$.

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin(\alpha) = \frac{1}{3}$.

Подставим это значение в формулу:

$\cos(2\arcsin\frac{1}{3}) = 1 - 2\sin^2(\arcsin\frac{1}{3}) = 1 - 2 \cdot (\sin(\arcsin\frac{1}{3}))^2$.

Так как $\sin(\arcsin x) = x$, получаем:

$1 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9-2}{9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

б)

Требуется доказать, что если $|a| \le 1$, то $\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

Пусть $\alpha = \arcsin a$. Условие $|a| \le 1$ — это область определения функции арксинус, поэтому такое $\alpha$ существует и принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

По определению арксинуса, $\sin(\alpha) = \sin(\arcsin a) = a$.

Используем тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$.

Подставим $\alpha = \arcsin a$ и, соответственно, $\sin(\alpha) = a$ в эту формулу:

$\cos(2\arcsin a) = 1 - 2(\sin(\arcsin a))^2 = 1 - 2a^2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

в)

Для нахождения значения выражения $\cos(2\arcsin\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}})$ воспользуемся формулой, доказанной в пункте б): $\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

В данном случае, $a = \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}}$.

Сначала убедимся, что $|a| \le 1$. Для этого достаточно проверить, что $a^2 \le 1$.

$a^2 = (\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}})^2 = \frac{4}{5+\sqrt{7}}$.

Поскольку $\sqrt{7} > 0$, то $5+\sqrt{7} > 5 > 4$. Значит, знаменатель больше числителя, и $a^2 < 1$. Следовательно, $|a| < 1$, и мы можем применить формулу.

Применяем формулу:

$\cos(2\arcsin\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}}) = 1 - 2 \cdot (\frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{7}}})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{5+\sqrt{7}} = 1 - \frac{8}{5+\sqrt{7}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{8}{5+\sqrt{7}} = \frac{5+\sqrt{7}-8}{5+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}-3}{5+\sqrt{7}}$.

Чтобы упростить результат, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $5-\sqrt{7}$:

$\frac{\sqrt{7}-3}{5+\sqrt{7}} \cdot \frac{5-\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7}-3)(5-\sqrt{7})}{(5+\sqrt{7})(5-\sqrt{7})} = \frac{5\sqrt{7} - (\sqrt{7})^2 - 15 + 3\sqrt{7}}{5^2 - (\sqrt{7})^2}$.

$\frac{5\sqrt{7} - 7 - 15 + 3\sqrt{7}}{25 - 7} = \frac{8\sqrt{7} - 22}{18}$.

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(4\sqrt{7} - 11)}{18} = \frac{4\sqrt{7} - 11}{9}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{7} - 11}{9}$.