Страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

1. (2) Решите уравнения:

а) $arccos x = \frac{2\pi}{3}$;

б) $2arcsin x = \pi$;

в) $3arctg x = 2\pi$;

г) $6arcctg 2x - \pi = 0$.

а) Дано уравнение: $\arccos x = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $\arccos x = y$, то $x = \cos y$. При этом область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $[0, \pi]$.

Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$. Следовательно, уравнение имеет решение.

Чтобы найти $x$, нужно вычислить косинус от правой части:

$x = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Используя таблицу значений тригонометрических функций или формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$x = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

б) Дано уравнение: $2\arcsin x = \pi$.

Сначала выразим $\arcsin x$, разделив обе части уравнения на 2:

$\arcsin x = \frac{\pi}{2}$

По определению арксинуса, если $\arcsin x = y$, то $x = \sin y$. Область значений функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит этому отрезку, поэтому решение существует.

Находим $x$:

$x = \sin(\frac{\pi}{2})$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

в) Дано уравнение: $3\operatorname{arctg} x = 2\pi$.

Выразим $\operatorname{arctg} x$, разделив обе части на 3:

$\operatorname{arctg} x = \frac{2\pi}{3}$

Область значений функции $y = \operatorname{arctg} x$ есть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сравним значение $\frac{2\pi}{3}$ с границами этого интервала. Заметим, что $\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} \approx 2.09$, а $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} \approx 1.57$.

Поскольку $\frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$, значение $\frac{2\pi}{3}$ не принадлежит области значений арктангенса.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) Дано уравнение: $6\operatorname{arcctg} 2x - \pi = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $\operatorname{arcctg} 2x$:

$6\operatorname{arcctg} 2x = \pi$

$\operatorname{arcctg} 2x = \frac{\pi}{6}$

По определению арккотангенса, если $\operatorname{arcctg} y = z$, то $y = \operatorname{ctg} z$. Область значений функции $z = \operatorname{arcctg} y$ есть интервал $(0, \pi)$.

Значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому интервалу, так как $0 < \frac{\pi}{6} < \pi$. Следовательно, уравнение имеет решение.

Применим определение к нашему уравнению:

$2x = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\sqrt{3}$.

$2x = \sqrt{3}$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Решите неравенства:

а) (2) $\arccos x > \frac{2\pi}{3}$, $\arccos x \le \frac{2\pi}{3}$;

б) (2) $2\arcsin x \le \pi$, $2\arcsin x \ge \pi$;

в) (3) $3\arctan x < 2\pi$, $3\arctan x > 2\pi$;

г) (3) $6\operatorname{arcctg} 2x - \pi \ge 0$, $6\operatorname{arcctg} 2x - \pi < 0$.

а)

Решим неравенство $arccos x > \frac{2\pi}{3}$.
Область определения функции $y=arccos x$ — отрезок $[-1, 1]$. Функция является монотонно убывающей. Применим к обеим частям неравенства функцию $cos$, изменив знак неравенства на противоположный: $cos(arccos x) < cos(\frac{2\pi}{3})$, что дает $x < -\frac{1}{2}$. Учитывая область определения, получаем итоговое решение: $-1 \le x < -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in [-1, -1/2)$.

Решим неравенство $arccos x \le \frac{2\pi}{3}$.
Аналогично, применяя убывающую функцию $cos$ и меняя знак неравенства, получаем: $cos(arccos x) \ge cos(\frac{2\pi}{3})$, что дает $x \ge -\frac{1}{2}$. Учитывая область определения ($x \le 1$), получаем итоговое решение: $-\frac{1}{2} \le x \le 1$.
Ответ: $x \in [-1/2, 1]$.

б)

Решим неравенство $2arcsin x \le \pi$.
Разделив на 2, получим $arcsin x \le \frac{\pi}{2}$. Область определения функции $y=arcsin x$ — отрезок $[-1, 1]$, а область значений — $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. По определению, любое значение $arcsin x$ не превышает $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, неравенство верно для всех $x$ из области определения.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

Решим неравенство $2arcsin x \ge \pi$.
Разделив на 2, получим $arcsin x \ge \frac{\pi}{2}$. Исходя из области значений $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, данное неравенство может выполняться только в случае равенства: $arcsin x = \frac{\pi}{2}$. Это равенство достигается при $x = sin(\frac{\pi}{2})$.
Ответ: $x=1$.

в)

Решим неравенство $3arctg x < 2\pi$.
Разделив на 3, получим $arctg x < \frac{2\pi}{3}$. Область определения функции $y = arctg x$ — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$, а любое значение $arctg x$ строго меньше $\frac{\pi}{2}$, неравенство верно для любого действительного $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решим неравенство $3arctg x > 2\pi$.
Разделив на 3, получим $arctg x > \frac{2\pi}{3}$. Так как область значений функции $y = arctg x$ есть $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, а $\frac{2\pi}{3}$ больше верхней границы этой области, то не существует таких $x$, для которых неравенство выполнялось бы.
Ответ: $x \in \emptyset$.

г)

Решим неравенство $6arcctg 2x - \pi \ge 0$.
Преобразуем его к виду $arcctg 2x \ge \frac{\pi}{6}$. Функция $y = arcctg(t)$ является монотонно убывающей. Применив к обеим частям функцию $ctg$ и изменив знак неравенства, получаем: $ctg(arcctg 2x) \le ctg(\frac{\pi}{6})$, откуда $2x \le \sqrt{3}$, и, следовательно, $x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{\sqrt{3}}{2}]$.

Решим неравенство $6arcctg 2x - \pi < 0$.
Преобразуем его к виду $arcctg 2x < \frac{\pi}{6}$. Аналогично, применяя убывающую функцию $ctg$ и меняя знак, получаем: $ctg(arcctg 2x) > ctg(\frac{\pi}{6})$, откуда $2x > \sqrt{3}$, и, следовательно, $x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $x \in (\frac{\sqrt{3}}{2}, +\infty)$.

3. a)(1) Решите уравнение $arccos\\left(x^2 - \\frac{5}{2}x + 2\\right) = \\frac{\\pi}{3}$;

б)(2) Решите неравенство $arccos\\left(x^2 - \\frac{5}{2}x + 2\\right) < \\frac{\\pi}{3}$;

в)(3) Решите неравенство $arccos\\left(x^2 - \\frac{5}{2}x + 2\\right) > \\frac{\\pi}{3}$.

а) (1) Решите уравнение $\arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) = \frac{\pi}{3}$

По определению арккосинуса, если $\arccos(y) = a$, то $y = \cos(a)$.
Применим это к нашему уравнению:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 2 = \cos(\frac{\pi}{3})$
Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 2 = \frac{1}{2}$
Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 2 - \frac{1}{2} = 0$
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2x^2 - 5x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$
$x_1 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
При решении уравнения с арккосинусом необходимо, чтобы его аргумент принадлежал отрезку $[-1, 1]$. В нашем случае аргумент равен $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, что удовлетворяет этому условию. Следовательно, найденные действительные корни являются решениями.
Ответ: $x=1, x=\frac{3}{2}$.

б) (2) Решите неравенство $\arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) < \frac{\pi}{3}$

Область значений функции арккосинус - это отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$0 \leq \arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) < \frac{\pi}{3}$
Функция $y = \arccos(t)$ является убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Поэтому при переходе от арккосинусов к их аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:
$\cos(0) \geq x^2 - \frac{5}{2}x + 2 > \cos(\frac{\pi}{3})$
Подставим значения косинусов: $\cos(0) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
$1 \geq x^2 - \frac{5}{2}x + 2 > \frac{1}{2}$
Это система из двух неравенств:
1) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 > \frac{1}{2}$
2) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \leq 1$
Решим первое неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} > 0$
$2x^2 - 5x + 3 > 0$
Корни соответствующего уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$ мы нашли в пункте а): $x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$.
Так как ветви параболы $y = 2x^2 - 5x + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 \leq 0$
$2x^2 - 5x + 2 \leq 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$, откуда $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 5x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [\frac{1}{2}, 2]$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:
$(-\infty, 1) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \cap [\frac{1}{2}, 2]$
Пересечение дает нам два интервала: $[\frac{1}{2}, 1)$ и $(\frac{3}{2}, 2]$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 1) \cup (\frac{3}{2}, 2]$.

в) (3) Решите неравенство $\arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) > \frac{\pi}{3}$

Область значений функции арккосинус - это отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, данное неравенство равносильно двойному неравенству:
$\frac{\pi}{3} < \arccos(x^2 - \frac{5}{2}x + 2) \leq \pi$
Функция $y = \arccos(t)$ является убывающей. Применяя функцию косинус к частям неравенства, мы меняем знаки на противоположные:
$\cos(\frac{\pi}{3}) > x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \geq \cos(\pi)$
Подставим значения косинусов: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\pi) = -1$.
$\frac{1}{2} > x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \geq -1$
Это система из двух неравенств:
1) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 < \frac{1}{2}$
2) $x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \geq -1$
Решим первое неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} < 0$
$2x^2 - 5x + 3 < 0$
Корни уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (1, \frac{3}{2})$.
Решим второе неравенство:
$x^2 - \frac{5}{2}x + 3 \geq 0$
$2x^2 - 5x + 6 \geq 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 - 48 = -23$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, парабола $y = 2x^2 - 5x + 6$ целиком лежит выше оси Ох, и неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$.
Пересечением решений $x \in (1, \frac{3}{2})$ и $x \in (-\infty, +\infty)$ является интервал $(1, \frac{3}{2})$.
Ответ: $x \in (1, \frac{3}{2})$.