Страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

12. (3) а) Вычислите значение выражения $tg(2arctg3)$.

б) Докажите, что для любого значения $a$ выполняется равенство $tg(2arctga)=\frac{2a}{1-a^2}$.

в) Пользуясь формулой, доказанной в пункте б), определите $tg(2arctg\sqrt{3-2\sqrt{2}})$.

а) Для вычисления значения выражения $tg(2arcctg3)$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.

Пусть $\alpha = arcctg3$. По определению арккотангенса, это означает, что $ctg\alpha = 3$ и $0 < \alpha < \pi$.

Найдем $tg\alpha$. Так как $ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}$, то $tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha} = \frac{1}{3}$.

Теперь подставим значение $tg\alpha$ в формулу двойного угла:

$tg(2arcctg3) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{9-1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) Требуется доказать равенство $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{1-a^2}$. Проверим это равенство, используя результат из пункта а), где $a=3$.

Левая часть: $tg(2arcctg3) = \frac{3}{4}$.

Правая часть: $\frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1-9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку $\frac{3}{4} \ne -\frac{3}{4}$, равенство, данное в условии, неверно. Вероятно, в нем допущена опечатка в знаменателе. Докажем правильное тождество: $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{a^2-1}$.

Пусть $\alpha = arcctg a$. Тогда, по определению, $ctg\alpha = a$. Отсюда следует, что $tg\alpha = \frac{1}{a}$ (при $a \ne 0$).

Используя формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}$, получаем:

$tg(2arcctg a) = \frac{2 \cdot \frac{1}{a}}{1 - (\frac{1}{a})^2} = \frac{\frac{2}{a}}{1 - \frac{1}{a^2}} = \frac{\frac{2}{a}}{\frac{a^2-1}{a^2}} = \frac{2}{a} \cdot \frac{a^2}{a^2-1} = \frac{2a}{a^2-1}$.

Это тождество справедливо для всех значений $a$, при которых выражение имеет смысл (то есть $a \ne \pm 1$).

Ответ: Равенство, данное в условии, неверно. Правильное равенство: $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{a^2-1}$.

в) В задании требуется использовать формулу, доказанную в пункте б). Так как мы установили, что в исходной формуле была опечатка, мы будем использовать исправленную и доказанную нами формулу: $tg(2arcctg a) = \frac{2a}{a^2-1}$.

В данном случае $a = \sqrt{3-2\sqrt{2}}$.

Упростим выражение для $a$. Заметим, что подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:

$3-2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2}-1)^2$.

Следовательно, $a = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = |\sqrt{2}-1|$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то $\sqrt{2}-1 > 0$, и $a = \sqrt{2}-1$.

Теперь подставим это значение $a$ в исправленную формулу:

$tg(2arcctg\sqrt{3-2\sqrt{2}}) = tg(2arcctg(\sqrt{2}-1)) = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)^2 - 1}$.

Вычислим знаменатель: $(\sqrt{2}-1)^2 - 1 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) - 1 = 3 - 2\sqrt{2} - 1 = 2 - 2\sqrt{2}$.

Подставим результат обратно в дробь:

$\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2 - 2\sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(1 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}-1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{-(\sqrt{2}-1)} = -1$.

Ответ: $-1$.

13. (3) Докажите, что при допустимых значениях переменной $x$ имеют место следующие тождества:

а) $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$;

б) $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$;

в) $\cos(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

a) $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$

Пусть $y = \arccos(x)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(y) = x$ и угол $y$ находится в промежутке $y \in [0, \pi]$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$.
Выразим из него $\sin^2(y)$: $\sin^2(y) = 1 - \cos^2(y)$.
Подставим $\cos(y) = x$: $\sin^2(y) = 1 - x^2$.
Отсюда $\sin(y) = \pm\sqrt{1-x^2}$.
Поскольку $y \in [0, \pi]$, синус в этом промежутке является неотрицательным, то есть $\sin(y) \ge 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак "плюс".
Таким образом, $\sin(y) = \sqrt{1-x^2}$.
Заменяя $y$ обратно на $\arccos(x)$, получаем: $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$.
Данное тождество справедливо для всех допустимых значений $x$, которые для функции $\arccos(x)$ и для корня $\sqrt{1-x^2}$ составляют промежуток $x \in [-1, 1]$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

б) $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$

Пусть $y = \arccos(x)$. Тогда $\cos(y) = x$ и $y \in [0, \pi]$.
Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg}(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$.
Нам уже известны $\cos(y) = x$ и, из предыдущего пункта, $\sin(y) = \sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$.
Подставим эти выражения в формулу для тангенса:
$\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
Область допустимых значений для этого тождества определяется областью определения $\arccos(x)$, то есть $x \in [-1, 1]$, и условием, что знаменатель не равен нулю, $x \neq 0$. Также тангенс не определен для углов $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - целое число. В нашем случае $y \in [0, \pi]$, поэтому нужно исключить $y = \frac{\pi}{2}$. Условие $y = \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ эквивалентно $x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Таким образом, тождество справедливо при $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

в) $\cos(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Пусть $y = \operatorname{arctg}(x)$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg}(y) = x$ и угол $y$ находится в промежутке $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим косинус и тангенс: $1 + \operatorname{tg}^2(y) = \frac{1}{\cos^2(y)}$.
Выразим из него $\cos^2(y)$: $\cos^2(y) = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2(y)}$.
Подставим $\operatorname{tg}(y) = x$: $\cos^2(y) = \frac{1}{1+x^2}$.
Отсюда $\cos(y) = \pm\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
Поскольку $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, косинус в этом промежутке является положительным, то есть $\cos(y) > 0$. Следовательно, мы должны выбрать знак "плюс".
Таким образом, $\cos(y) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
Заменяя $y$ обратно на $\operatorname{arctg}(x)$, получаем: $\cos(\operatorname{arctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
Область допустимых значений для $\operatorname{arctg}(x)$ — это все действительные числа. Выражение в правой части $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ также определено для всех действительных $x$, так как подкоренное выражение $1+x^2$ всегда строго больше нуля.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

14. (4) Докажите равенство

$\text{tg}\left(2\text{arccos}\frac{5}{\sqrt{26}} - \text{arcsin}\frac{12}{13}\right) = -\frac{119}{120}$

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Обозначим $ \alpha = \arccos{\frac{5}{\sqrt{26}}} $ и $ \beta = \arcsin{\frac{12}{13}} $. Тогда выражение, стоящее под знаком тангенса, примет вид $ 2\alpha - \beta $. Нам нужно вычислить $ \tg(2\alpha - \beta) $.

Воспользуемся формулой тангенса разности углов: $ \tg(2\alpha - \beta) = \frac{\tg(2\alpha) - \tg(\beta)}{1 + \tg(2\alpha)\tg(\beta)} $. Для применения этой формулы нам необходимо найти значения $ \tg(\beta) $ и $ \tg(2\alpha) $.

Сначала найдем $ \tg(\alpha) $. Из определения арккосинуса имеем $ \cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}} $, причем $ \alpha \in [0, \pi] $. Поскольку значение косинуса положительно, угол $ \alpha $ находится в первой четверти, то есть $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, найдем $ \sin(\alpha) $:
$ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26} $.
Так как $ \alpha $ находится в первой четверти, $ \sin(\alpha) $ положителен, поэтому $ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}} $.
Теперь можем найти $ \tg(\alpha) $: $ \tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{1/\sqrt{26}}{5/\sqrt{26}} = \frac{1}{5} $.

Далее найдем $ \tg(\beta) $. Из определения арксинуса имеем $ \sin(\beta) = \frac{12}{13} $, причем $ \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку значение синуса положительно, угол $ \beta $ также находится в первой четверти, то есть $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $. Найдем $ \cos(\beta) $ из основного тригонометрического тождества:
$ \cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.
Так как $ \beta $ находится в первой четверти, $ \cos(\beta) $ положителен, поэтому $ \cos(\beta) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.
Теперь можем найти $ \tg(\beta) $: $ \tg(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} $.

Теперь вычислим $ \tg(2\alpha) $, используя формулу тангенса двойного угла: $ \tg(2\alpha) = \frac{2\tg(\alpha)}{1 - \tg^2(\alpha)} $.
$ \tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} $.

Наконец, подставим найденные значения $ \tg(2\alpha) = \frac{5}{12} $ и $ \tg(\beta) = \frac{12}{5} $ в формулу для $ \tg(2\alpha - \beta) $:
$ \tg(2\alpha - \beta) = \frac{\tg(2\alpha) - \tg(\beta)}{1 + \tg(2\alpha)\tg(\beta)} = \frac{\frac{5}{12} - \frac{12}{5}}{1 + \frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5}} = \frac{\frac{25 - 144}{60}}{1 + 1} = \frac{-\frac{119}{60}}{2} = -\frac{119}{120} $.

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой части: $ \tg\left(2\arccos\frac{5}{\sqrt{26}} - \arcsin\frac{12}{13}\right) = -\frac{119}{120} $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

15. (4)
Докажите равенство $arccos(|cos(2arctg(\sqrt{2}-1))|)=\frac{\pi}{4}$.

15. (4)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Начнем с вычисления внутреннего выражения $ \cos(2\arctg(\sqrt{2}-1)) $.

Пусть $ \alpha = \arctg(\sqrt{2}-1) $. По определению арктангенса, это означает, что $ \tg(\alpha) = \sqrt{2}-1 $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла, выраженной через тангенс угла половинной дуги:$ \cos(2\alpha) = \frac{1-\tg^2(\alpha)}{1+\tg^2(\alpha)} $.

Сначала найдем значение $ \tg^2(\alpha) $:$ \tg^2(\alpha) = (\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} $.

Теперь подставим это значение в формулу для $ \cos(2\alpha) $:$ \cos(2\alpha) = \frac{1-(3-2\sqrt{2})}{1+(3-2\sqrt{2})} = \frac{1-3+2\sqrt{2}}{1+3-2\sqrt{2}} = \frac{-2+2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} $.

Вынесем общий множитель 2 из числителя и знаменателя, чтобы упростить выражение:$ \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(2-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ (2+\sqrt{2}) $:$ \frac{(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2-2-\sqrt{2}}{2^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, мы получили, что $ \cos(2\arctg(\sqrt{2}-1)) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь исходное выражение в левой части равенства принимает вид:$ \arccos\left(\cos(2\arctg(\sqrt{2}-1))\right) = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

По определению, $ \arccos(x) $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ x $. Угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, это $ \frac{\pi}{4} $.

Следовательно, $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.

Мы показали, что левая часть равенства равна $ \frac{\pi}{4} $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

16. (5) Упростите следующие выражения:

a)

$ \arcsin\left(\cos\frac{\pi}{7}\right)$, $ \arccos\left(\sin\left(-\frac{12\pi}{7}\right)\right)$, $ \arccos\left(\sin\left(\frac{15}{7}\pi\right)\right)$; $ \arcsin\left(\cos(-5)\right); $

б)

$ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{tg}\frac{3\pi}{5}\right)$, $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{27\pi}{8}\right)$, $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{tg}(-4)\right)$, $ \operatorname{arcctg}\left(\operatorname{ctg}(-6)\right). $

a)

Для выражения $arcsin(cos(\frac{\pi}{7}))$ воспользуемся формулой приведения $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$. Получаем $arcsin(sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})) = arcsin(sin(\frac{5\pi}{14}))$. Область значений функции $arcsin(y)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Так как $\frac{5\pi}{14}$ принадлежит этому отрезку, то $arcsin(sin(\frac{5\pi}{14})) = \frac{5\pi}{14}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{14}$.

Для выражения $arccos(sin(-\frac{12\pi}{7}))$ сначала упростим аргумент. Используя нечетность синуса $sin(-x) = -sin(x)$, имеем $arccos(-sin(\frac{12\pi}{7}))$. Далее, $sin(\frac{12\pi}{7}) = sin(2\pi - \frac{2\pi}{7}) = -sin(\frac{2\pi}{7})$. Таким образом, выражение преобразуется к $arccos(-(-sin(\frac{2\pi}{7}))) = arccos(sin(\frac{2\pi}{7}))$. Применим формулу $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$: $arccos(cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{3\pi}{14}))$. Область значений функции $arccos(y)$ — это отрезок $[0, \pi]$. Так как $\frac{3\pi}{14}$ принадлежит этому отрезку, то $arccos(cos(\frac{3\pi}{14})) = \frac{3\pi}{14}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{14}$.

Для выражения $arccos(sin(\frac{15\pi}{7}))$ используем периодичность синуса: $sin(\frac{15\pi}{7}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = sin(\frac{\pi}{7})$. Получаем $arccos(sin(\frac{\pi}{7}))$. По формуле приведения $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$ имеем $arccos(cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})) = arccos(cos(\frac{5\pi}{14}))$. Так как $0 \le \frac{5\pi}{14} \le \pi$, то итоговое значение равно $\frac{5\pi}{14}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{14}$.

Для выражения $arcsin(cos(-5))$ используем четность косинуса $cos(-5) = cos(5)$, получая $arcsin(cos(5))$. Воспользуемся тождеством $arcsin(y) + arccos(y) = \frac{\pi}{2}$, откуда $arcsin(cos(5)) = \frac{\pi}{2} - arccos(cos(5))$. Найдем $arccos(cos(5))$. Область значений арккосинуса $[0, \pi]$. Число 5 не принадлежит этому отрезку. Используем свойство $cos(x) = cos(2\pi - x)$. Аргумент $2\pi - 5$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $ \pi \approx 3.14 $ и $2\pi \approx 6.28$. Следовательно, $arccos(cos(5)) = 2\pi - 5$. Подставляя это значение, получаем: $\frac{\pi}{2} - (2\pi - 5) = \frac{\pi}{2} - 2\pi + 5 = 5 - \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $5 - \frac{3\pi}{2}$.

б)

Для выражения $arcctg(tg(\frac{3\pi}{5}))$ применим формулу $tg(x) = ctg(\frac{\pi}{2} - x)$: $arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5})) = arcctg(ctg(-\frac{\pi}{10}))$. Область значений арккотангенса $(0, \pi)$. Аргумент $-\frac{\pi}{10}$ не входит в этот промежуток. Используем периодичность котангенса $ctg(x+\pi)=ctg(x)$: $ctg(-\frac{\pi}{10}) = ctg(-\frac{\pi}{10}+\pi) = ctg(\frac{9\pi}{10})$. Теперь $arcctg(ctg(\frac{9\pi}{10})) = \frac{9\pi}{10}$, так как $\frac{9\pi}{10} \in (0, \pi)$.
Ответ: $\frac{9\pi}{10}$.

Для выражения $arctg(ctg(\frac{27\pi}{8}))$ упростим аргумент котангенса, используя его периодичность с периодом $\pi$: $ctg(\frac{27\pi}{8}) = ctg(3\pi + \frac{3\pi}{8}) = ctg(\frac{3\pi}{8})$. Получаем $arctg(ctg(\frac{3\pi}{8}))$. По формуле $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$ имеем $arctg(tg(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8})) = arctg(tg(\frac{\pi}{8}))$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как $\frac{\pi}{8}$ принадлежит этому интервалу, то $arctg(tg(\frac{\pi}{8})) = \frac{\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{\pi}{8}$.

Для выражения $arcctg(tg(-4))$ воспользуемся тождеством $arcctg(y) + arctg(y) = \frac{\pi}{2}$: $arcctg(tg(-4)) = \frac{\pi}{2} - arctg(tg(-4))$. Найдем $arctg(tg(-4))$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Аргумент $-4$ не принадлежит этому интервалу. Используя периодичность тангенса $tg(x+k\pi) = tg(x)$, найдем такое целое $k$, чтобы $-4+k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это условие выполняется при $k=1$. Тогда $arctg(tg(-4)) = arctg(tg(-4+\pi)) = \pi-4$. Подставляем обратно: $\frac{\pi}{2} - (\pi-4) = 4 - \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $4 - \frac{\pi}{2}$.

Для выражения $arctg(ctg(-6))$ используем формулу $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$: $arctg(ctg(-6)) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - (-6))) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} + 6))$. Область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Аргумент $\frac{\pi}{2}+6$ не входит в этот интервал. Используя периодичность тангенса $tg(x+k\pi)=tg(x)$, найдем такое целое $k$, чтобы $\frac{\pi}{2}+6+k\pi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Решая неравенство, получаем $k=-2$. Таким образом, искомый угол равен $\frac{\pi}{2} + 6 - 2\pi = 6 - \frac{3\pi}{2}$.
Ответ: $6 - \frac{3\pi}{2}$.

17. (4) Решите систему уравнений

$\begin{cases} x = y + 6, \\ y = \frac{4x^2 - x^4}{x^2 - 4}. \end{cases}$

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x = y + 6, \\ y = \frac{4x^2 - x^4}{x^2 - 4}\end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для второго уравнения. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x^2 - 4 \ne 0$
$(x - 2)(x + 2) \ne 0$
Следовательно, $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Упростим второе уравнение. В числителе вынесем за скобки $-x^2$:
$y = \frac{-x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$
При условии $x^2 - 4 \ne 0$ (согласно ОДЗ), можно сократить дробь на $(x^2 - 4)$:
$y = -x^2$

Теперь исходная система равносильна следующей системе с учетом ОДЗ:
$\begin{cases} x = y + 6, \\ y = -x^2\end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x = (-x^2) + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Корни уравнения:
$x_1 = -3$
$x_2 = 2$

Проверим найденные значения $x$ на соответствие ОДЗ ($x \ne 2$ и $x \ne -2$).
Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, $x = 2$ является посторонним корнем, и его необходимо исключить.

Таким образом, у системы есть только одно решение по $x$: $x = -3$.
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -3$ в уравнение $y = -x^2$:
$y = -(-3)^2 = -9$

Решением системы является пара чисел $(-3; -9)$.
Ответ: $(-3; -9)$.

18. (3) Три числа, сумма которых равна 65, составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 25, второе оставить без изменения, а к третьему прибавить 5, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть три исходных числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1, b_2, b_3$. Их можно представить как $b_1$, $b_1q$ и $b_1q^2$, где $q$ — знаменатель прогрессии. По первому условию, сумма этих чисел равна 65, следовательно:
$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 65$, или $b_1(1 + q + q^2) = 65$ (1).

После изменений, указанных в условии, получаются новые числа: $a_1 = b_1 - 25$, $a_2 = b_1q$ и $a_3 = b_1q^2 + 5$. Эти числа составляют арифметическую прогрессию. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, $2a_2 = a_1 + a_3$, получаем:
$2(b_1q) = (b_1 - 25) + (b_1q^2 + 5)$.
Упростим это уравнение: $2b_1q = b_1 + b_1q^2 - 20$, что можно преобразовать к виду $b_1(q^2 - 2q + 1) = 20$, или $b_1(q - 1)^2 = 20$ (2).

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 65 \\ b_1(q - 1)^2 = 20 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $b_1$ (при этом $q \neq 1$): $b_1 = \frac{20}{(q - 1)^2}$. Подставим это выражение в первое уравнение: $\frac{20}{(q - 1)^2}(1 + q + q^2) = 65$.

Решим полученное уравнение относительно $q$. Разделим обе части на 5: $4(1 + q + q^2) = 13(q - 1)^2$. Раскрыв скобки, получим: $4 + 4q + 4q^2 = 13(q^2 - 2q + 1)$, или $4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13$. После приведения подобных слагаемых, приходим к квадратному уравнению: $9q^2 - 30q + 9 = 0$. Разделив его на 3, получаем: $3q^2 - 10q + 3 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$. Корни равны:
$q_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$q_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $b_1$ и сами числа для каждого из найденных $q$.

В случае, когда $q = 3$, из уравнения (2) получаем $b_1 = \frac{20}{(3 - 1)^2} = \frac{20}{4} = 5$. Исходные числа: $b_1 = 5$, $b_2 = 5 \cdot 3 = 15$, $b_3 = 5 \cdot 3^2 = 45$.

В случае, когда $q = \frac{1}{3}$, получаем $b_1 = \frac{20}{(\frac{1}{3} - 1)^2} = \frac{20}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{20}{\frac{4}{9}} = 45$. Исходные числа: $b_1 = 45$, $b_2 = 45 \cdot \frac{1}{3} = 15$, $b_3 = 45 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 5$.

Оба случая приводят к одному и тому же набору чисел: 5, 15, 45. Проверим, удовлетворяют ли они всем условиям. Сумма $5+15+45 = 65$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем 3. Новые числа $5-25=-20$, $15$, $45+5=50$ образуют арифметическую прогрессию, так как $15 - (-20) = 35$ и $50 - 15 = 35$. Все условия выполнены.

Ответ: 5, 15, 45.