Страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 2

Решением уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются две серии углов: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ - серия $P_k$; $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ - серия $Q_k$. Отметим на окружности точки $P_0$, $Q_0$ и $Q_1$.

Рассмотрим на окружности две дуги: $\overline{Q_0 P_0}$ и $\overline{P_0 Q_1}$. (Дуги отмечаются от первой точки ко второй против часовой стрелки!). Сравните косинус угла $x$ и число $\frac{1}{2}$, если $M_x$ попадает на дугу $\overline{Q_0 P_0}$: что больше? Сделайте такое же сравнение, если точка $M_x$ угла $x$ попадает на дугу $\overline{P_0 Q_1}$.

Рис. 5

Рассмотрим строгие неравенства $\cos x > a$ и соответствующие им нестрогие неравенства. Решением уравнения $\cos x = a$ являются две серии $x = \arccos a + 2\pi k$ и $x = -\arccos a + 2\pi k$. Отметим на окружности углы: $\arccos a$, $-\arccos a$ и $2\pi - \arccos a$. Заметим, что $-\arccos a < \arccos a < 2\pi - \arccos a$. Имеем две дуги: правая – $(-\arccos a; \arccos a)$ и левая – $(\arccos a; 2\pi - \arccos a)$. Точки на дуге справа имеют абсциссы, большие, чем $a$; точки на дуге слева имеют абсциссы меньшие, чем $a$ (рис. 5). Соответственно:

$\cos x > a \Leftrightarrow x \in (-\arccos a + 2\pi k; \arccos a + 2\pi k)$

$\cos x < a \Leftrightarrow x \in (\arccos a + 2\pi k; 2\pi - \arccos a + 2\pi k)$

$\cos x \ge a \Leftrightarrow x \in [-\arccos a + 2\pi k; \arccos a + 2\pi k]$

$\cos x \le a \Leftrightarrow x \in [\arccos a + 2\pi k; 2\pi - \arccos a + 2\pi k]$

«Экстремальные» неравенства, в которых $\cos x$ сравнивается с $+1$ или $-1$, решаются также с помощью тригонометрического круга. Круг – ваш друг. Например, дано неравенство $\cos x > 1$. Ищем точки на окружности, у которых абсцисса строго больше, чем 1. Ищем – и не находим. Следовательно, $\cos x > 1 \Leftrightarrow x \in \emptyset$.

Рассмотрим другой пример: $\cos x < 1$. Ищем точки на окружности, абсцисса которых меньше, чем 1. Понимаем, что такими точками являются все, кроме крайней правой. Углы, «попадающие» в крайнюю правую точку, описываются серией $x = 2\pi k$. Поэтому решением неравенства $\cos x < 1$ являются все числа, кроме $x = 2\pi k$, $\cos x < 1 \Leftrightarrow x \ne 2\pi k$.

Решим неравенство $\cos x \ge 1$. Ищем точки на окружности, абсциссы которых больше 1 или равны 1. Точек первого вида не существует и только одна точка имеет абсциссу 1. Все углы этой точки имеют вид $x = 2\pi k$. Итак, $\cos x \ge 1 \Leftrightarrow x = 2\pi k$.

Для решения задачи воспользуемся тригонометрической окружностью. Решением уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются две серии углов: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (обозначим точки как $P_k$) и $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (обозначим точки как $Q_k$), где $k$ — любое целое число.

Найдем точки, указанные в условии:

• Точка $P_0$ соответствует углу $x = \frac{\pi}{3}$ (при $k=0$).
• Точка $Q_0$ соответствует углу $x = -\frac{\pi}{3}$ (при $k=0$).
• Точка $Q_1$ соответствует углу $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ (при $k=1$).

На единичной окружности точки $Q_0$ и $Q_1$ совпадают. Координаты точек $P_0$ и $Q_0$ (а также $Q_1$) по оси абсцисс (косинусов) равны $\frac{1}{2}$.

Сравните косинус угла x и число 1/2, если M_x попадает на дугу Q₀P₀: что больше?

Дуга $\overset{\frown}{Q_0P_0}$ проходится против часовой стрелки от точки $Q_0$ (угол $-\frac{\pi}{3}$) до точки $P_0$ (угол $\frac{\pi}{3}$). Это правая дуга окружности, которая включает в себя, например, точку с углом $0$.

Косинус угла — это абсцисса (координата по оси $x$) соответствующей точки на единичной окружности. Для любой точки $M_x$, расположенной на дуге $\overset{\frown}{Q_0P_0}$ (то есть для углов $x$, удовлетворяющих условию $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$), её абсцисса будет больше, чем абсцисса граничных точек $P_0$ и $Q_0$. Абсцисса граничных точек равна $\frac{1}{2}$. Максимальное значение косинуса на этой дуге достигается при $x=0$ и равно $\cos(0) = 1$. Так как $1 > \frac{1}{2}$, то для всех точек внутри этой дуги их косинус будет больше $\frac{1}{2}$.

Ответ: если точка $M_x$ попадает на дугу $\overset{\frown}{Q_0P_0}$, то $\cos x > \frac{1}{2}$.

Сделайте такое же сравнение, если точка M_x угла x попадает на дугу P₀Q₁.

Дуга $\overset{\frown}{P_0Q_1}$ проходится против часовой стрелки от точки $P_0$ (угол $\frac{\pi}{3}$) до точки $Q_1$ (угол $\frac{5\pi}{3}$). Это левая, большая дуга окружности, которая проходит через верхнюю, левую и нижнюю части окружности.

Для любой точки $M_x$, расположенной на этой дуге (то есть для углов $x$, удовлетворяющих условию $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$), её абсцисса будет меньше, чем абсцисса граничных точек $P_0$ и $Q_1$, которая равна $\frac{1}{2}$. Например, для угла $x=\pi$, точка $M_\pi$ находится на этой дуге, и её косинус равен $\cos(\pi) = -1$. Так как $-1 < \frac{1}{2}$, то для всех точек внутри этой дуги их косинус будет меньше $\frac{1}{2}$.

Ответ: если точка $M_x$ попадает на дугу $\overset{\frown}{P_0Q_1}$, то $\cos x < \frac{1}{2}$.