Страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Решите неравенства (1-3):

1. (2)

а) $cos x > 0;$

б) $cos 2x \ge 0;$

В) $cos \frac{x}{2} < 0;$

г) $cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 0;$

Д) $cos \left(\frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4}\right) \le 0.$

а) Решим неравенство $\cos x > 0$.
Косинус положителен в I и IV четвертях. На единичной окружности это соответствует углам в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $2\pi$, общее решение неравенства имеет вид:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\cos 2x \ge 0$.
Сделаем замену $t = 2x$. Неравенство примет вид $\cos t \ge 0$.
Косинус неотрицателен в I и IV четвертях, включая границы. Это соответствует углам в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
С учетом периодичности, решение для $t$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi n$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\cos \frac{x}{2} < 0$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\cos t < 0$.
Косинус отрицателен во II и III четвертях. Это соответствует углам в интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.
С учетом периодичности, решение для $t$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = \frac{x}{2}$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на 2:
$\pi + 4\pi n < x < 3\pi + 4\pi n$.
Ответ: $x \in (\pi + 4\pi n; 3\pi + 4\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 0$.
Сделаем замену $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\cos t \le 0$.
Косинус неположителен во II и III четвертях, включая границы. Это соответствует углам в промежутке $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.
С учетом периодичности, решение для $t$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:
$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $\cos(\frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4}) \le 0$.
Сделаем замену $t = \frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\cos t \le 0$.
Решение для $t$ такое же, как в предыдущем пункте:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{5x}{4} + \frac{5\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{5\pi}{4}$ из всех частей:
$\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5x}{4} \le \frac{3\pi}{2} - \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.
$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{5x}{4} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
Умножим все части на $\frac{4}{5}$:
$-\frac{3\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5} \le x \le \frac{\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}$.
Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}; \frac{\pi}{5} + \frac{8\pi n}{5}]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. (2) a) $\cos x > \frac{1}{2}$;

б) $2\cos 2x \ge -1$;

в) $2\cos 3x - 1 < 0$;

г) $2\cos \left(x+\frac{\pi}{7}\right)+1 \le 0$;

Д) $2\cos \left(\frac{3x}{7}+\frac{3\pi}{7}\right)\le 1$.

а) Исходное неравенство: $\cos x > \frac{1}{2}$.
Для решения этого тригонометрического неравенства сначала найдем значения $x$, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$. На единичной окружности это точки, соответствующие углам $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$.
Неравенство $\cos x > \frac{1}{2}$ выполняется для тех точек единичной окружности, абсцисса которых больше $\frac{1}{2}$. Это дуга, расположенная между точками $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$.
С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$) общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство: $2\cos 2x \ge -1$.
Разделим обе части неравенства на 2: $\cos 2x \ge -\frac{1}{2}$.
Введем новую переменную $t = 2x$. Неравенство примет вид: $\cos t \ge -\frac{1}{2}$.
Найдем значения $t$, для которых $\cos t = -\frac{1}{2}$. Это углы $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = -\frac{2\pi}{3}$ (или $t = \frac{4\pi}{3}$).
Неравенство $\cos t \ge -\frac{1}{2}$ выполняется для точек на единичной окружности с абсциссой большей или равной $-\frac{1}{2}$. Это дуга от $-\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{2\pi}{3}$.
С учетом периодичности, решение для $t$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим все части неравенства на 2:
$-\frac{\pi}{3} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left[-\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k\right], k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное неравенство: $2\cos 3x - 1 < 0$.
Перенесем 1 в правую часть и разделим на 2: $2\cos 3x < 1 \implies \cos 3x < \frac{1}{2}$.
Введем переменную $t = 3x$, получим $\cos t < \frac{1}{2}$.
Решения уравнения $\cos t = \frac{1}{2}$ это $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Неравенство $\cos t < \frac{1}{2}$ выполняется на дуге единичной окружности от $\frac{\pi}{3}$ до $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.
Следовательно, решение для $t$: $\frac{\pi}{3} +

3. (2)

а) $2 \cos x \ge \sqrt{3}$;

б) $\cos \frac{x}{2} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

В) $\cos \frac{2x}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

Г) $2 \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sqrt{3} \le 0$;

Д) $2 \cos \left(\frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}\right) \le \sqrt{3}$.

а) Исходное неравенство: $2\cos x \ge \sqrt{3}$.
Разделим обе части на 2: $\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является множество значений $x$, для которых косинус больше или равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$.
С учетом периодичности функции косинуса (период $2\pi$), общее решение имеет вид:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство: $\cos\frac{x}{2} \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид: $\cos t \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на 2, чтобы выразить $x$:
$-\frac{5\pi}{3} + 4\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{3} + 4\pi n; \frac{5\pi}{3} + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное неравенство: $\cos\frac{2x}{3} < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{2x}{3}$. Неравенство примет вид: $\cos t < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < \frac{2x}{3} < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на $\frac{3}{2}$, чтобы выразить $x$:
$\frac{3}{2} \cdot (\frac{\pi}{6} + 2\pi n) < x < \frac{3}{2} \cdot (\frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$.
$\frac{3\pi}{12} + 3\pi n < x < \frac{33\pi}{12} + 3\pi n$.
$\frac{\pi}{4} + 3\pi n < x < \frac{11\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + 3\pi n; \frac{11\pi}{4} + 3\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное неравенство: $2\cos(x + \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3} \le 0$.
Преобразуем неравенство: $2\cos(x + \frac{\pi}{6}) \le -\sqrt{3}$, откуда $\cos(x + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = x + \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид: $\cos t \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
$\frac{4\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{6\pi}{6} + 2\pi n$.
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + 2\pi n; \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

д) Исходное неравенство: $2\cos(\frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}) \le \sqrt{3}$.
Преобразуем неравенство: $\cos(\frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6}$. Неравенство примет вид: $\cos t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.
На тригонометрической окружности этому условию соответствуют углы, лежащие в промежутке от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, решение для $t$: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{2x}{5} + \frac{7\pi}{6} \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.
Вычтем $\frac{7\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$\frac{\pi}{6} - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{2x}{5} \le \frac{11\pi}{6} - \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\frac{6\pi}{6} + 2\pi n \le \frac{2x}{5} \le \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$.
$-\pi + 2\pi n \le \frac{2x}{5} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Умножим все части неравенства на $\frac{5}{2}$:
$\frac{5}{2}(-\pi + 2\pi n) \le x \le \frac{5}{2}(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$.
$-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n \le x \le \frac{5\pi}{3} + 5\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{2} + 5\pi n; \frac{5\pi}{3} + 5\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

Решите неравенства:

4. (2) а) $cos x+1>0;$

б) $cos 2x \ge 1;$

В) $cos \frac{x}{3+2x} \le 1;$

г) $cos \left(x+\frac{\pi}{11}\right) \le -1;$

д) $cos \sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} \le 1.$

а) Исходное неравенство: $ \cos x + 1 > 0 $. Перенесем 1 в правую часть: $ \cos x > -1 $. Область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ выполняется неравенство $ \cos x \geq -1 $. Таким образом, чтобы выполнялось строгое неравенство $ \cos x > -1 $, нужно исключить те значения $ x $, при которых $ \cos x = -1 $. Решим уравнение $ \cos x = -1 $. Его решения: $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, кроме $ \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \neq \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное неравенство: $ \cos 2x \geq 1 $. Так как область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $, то $ \cos 2x $ не может быть больше 1. Следовательно, данное неравенство равносильно уравнению $ \cos 2x = 1 $. Решим это уравнение. Аргумент косинуса должен быть равен $ 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ 2x = 2\pi k $
Разделим обе части на 2:
$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное неравенство: $ \cos\frac{x}{3+2x} \leq 1 $. Область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $. Поэтому неравенство $ \cos t \leq 1 $ верно для любого значения аргумента $ t $, при котором функция определена. Следовательно, нам нужно найти область определения выражения $ \cos\frac{x}{3+2x} $. Функция определена, когда ее аргумент $ \frac{x}{3+2x} $ является действительным числом. Это дробно-рациональная функция, которая определена при всех $ x $, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. Найдем значение $ x $, при котором знаменатель равен нулю:
$ 3 + 2x = 0 $
$ 2x = -3 $
$ x = -\frac{3}{2} $
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x $, кроме $ x = -1.5 $.
Ответ: $ x \neq -\frac{3}{2} $.

г) Исходное неравенство: $ \cos\left(x+\frac{\pi}{11}\right) \leq -1 $. Так как область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $, то $ \cos\left(x+\frac{\pi}{11}\right) $ не может быть меньше -1. Следовательно, данное неравенство равносильно уравнению $ \cos\left(x+\frac{\pi}{11}\right) = -1 $. Решим это уравнение. Аргумент косинуса должен быть равен $ \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x+\frac{\pi}{11} = \pi + 2\pi k $
Выразим $ x $:
$ x = \pi - \frac{\pi}{11} + 2\pi k $
$ x = \frac{11\pi - \pi}{11} + 2\pi k $
$ x = \frac{10\pi}{11} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{10\pi}{11} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) Исходное неравенство: $ \cos\sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} \leq 1 $. Область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $. Поэтому неравенство $ \cos t \leq 1 $ верно для любого значения аргумента $ t $, при котором функция определена. Следовательно, нам нужно найти область определения выражения $ \cos\sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} $. Функция определена, когда ее аргумент $ \sqrt{\frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5}} $ является действительным числом. Это возможно, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:
$ \frac{4x}{5}+\frac{4\pi}{5} \geq 0 $
Умножим обе части на $ \frac{5}{4} $:
$ x + \pi \geq 0 $
$ x \geq -\pi $
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x \geq -\pi $.
Ответ: $ x \in [-\pi; +\infty) $.

5. (2)

a) $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $cos \frac{x}{7} \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

В) $2cos \frac{3x}{2} < \sqrt{2}$;

г) $2cos \left(x + \frac{\pi}{5}\right) + \sqrt{2} \leq 0$;

д) $\sqrt{2} - 2cos \left(x + \frac{5\pi}{6}\right) \geq 0$.

а)

Решим неравенство $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На единичной окружности значения косинуса, большие $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге, расположенной правее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Концами этой дуги являются точки, соответствующие углам $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, решение для одного оборота: $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства имеет вид:

$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $\cos \frac{x}{7} \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: $t = \frac{x}{7}$. Неравенство примет вид $\cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, большие или равные $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \frac{x}{7} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на 7:

$-\frac{21\pi}{4} + 14\pi k \le x \le \frac{21\pi}{4} + 14\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{21\pi}{4} + 14\pi k; \frac{21\pi}{4} + 14\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $2\cos\frac{3x}{2} < \sqrt{2}$.

Разделим обе части на 2: $\cos\frac{3x}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: $t = \frac{3x}{2}$. Неравенство примет вид $\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $\frac{\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Следовательно, $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{3x}{2} < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(\frac{\pi}{4} + 2\pi k) < x < \frac{2}{3}(\frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$.

$\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}; \frac{7\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $2\cos(x+\frac{\pi}{5})+\sqrt{2} \le 0$.

Преобразуем неравенство:

$2\cos(x+\frac{\pi}{5}) \le -\sqrt{2}$

$\cos(x+\frac{\pi}{5}) \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену переменной: $t = x+\frac{\pi}{5}$. Неравенство примет вид $\cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие или равные $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $\frac{3\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Следовательно, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{5} \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей неравенства:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k$.

$\frac{15\pi - 4\pi}{20} + 2\pi k \le x \le \frac{25\pi - 4\pi}{20} + 2\pi k$.

$\frac{11\pi}{20} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi}{20} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{11\pi}{20} + 2\pi k; \frac{21\pi}{20} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $\sqrt{2} - 2\cos(x + \frac{5\pi}{6}) \ge 0$.

Преобразуем неравенство:

$\sqrt{2} \ge 2\cos(x + \frac{5\pi}{6})$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \ge \cos(x + \frac{5\pi}{6})$ или $\cos(x + \frac{5\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: $t = x + \frac{5\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\cos t \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решениями уравнения $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ являются $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие или равные $\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствуют дуге от $\frac{\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Следовательно, $\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x + \frac{5\pi}{6} \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{5\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

$\frac{3\pi - 10\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi - 10\pi}{12} + 2\pi k$.

$-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k \le x \le \frac{11\pi}{12} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k; \frac{11\pi}{12} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.