Страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Пак, Ардакулы

Упражнение 3

Решим неравенство $tgx \le \sqrt{3}$. Для этого на оси тангенсов «отметьте» число $\sqrt{3}$ (приблизительно $\sqrt{3} \approx 1,73$) и все числа, меньшие, чем $\sqrt{3}$. Вообразите, что через центр окружности и каждую из отмеченных точек проведено по одной прямой. Закрасьте множество точек пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью. Как закрашенное множество связано с решением неравенства $tgx \le \sqrt{3}$? Попробуйте самостоятельно записать решения этого неравенства в виде промежутков.

Выполнение построения на тригонометрической окружности.
Для решения неравенства $\operatorname{tg}x \le \sqrt{3}$ используется тригонометрическая окружность и касательная к ней в точке $(1, 0)$, которая называется осью тангенсов. На этой оси отмечается точка, соответствующая значению $\sqrt{3}$, а также все точки, лежащие ниже нее, так как по условию $\operatorname{tg}x$ должен быть меньше или равен $\sqrt{3}$.
Далее, через центр окружности (начало координат) и каждую из отмеченных точек на оси тангенсов проводятся прямые. Эти прямые пересекают тригонометрическую окружность. Множество точек пересечения образует закрашенную дугу.
Верхняя граница этой дуги определяется прямой, проходящей через точку $\sqrt{3}$ на оси тангенсов. Эта прямая соответствует углу $x$, для которого $\operatorname{tg}x = \sqrt{3}$, то есть $x = \frac{\pi}{3}$. Нижняя граница дуги соответствует углу $x = -\frac{\pi}{2}$, для которого тангенс не определен (прямая, проходящая через центр окружности, становится параллельной оси тангенсов).
Таким образом, закрашенная дуга соответствует углам от $-\frac{\pi}{2}$ (не включая) до $\frac{\pi}{3}$ (включая).

Как закрашенное множество связано с решением неравенства $\operatorname{tg}x \le \sqrt{3}$?
Закрашенное множество точек на тригонометрической окружности — это геометрическое представление множества всех углов $x$, которые являются решением данного неравенства. По определению, значение $\operatorname{tg}x$ равно ординате точки пересечения продолжения радиус-вектора, проведенного к точке на окружности, с осью тангенсов. Следовательно, все углы, соответствующие закрашенной дуге, имеют тангенс, не превышающий $\sqrt{3}$.
Ответ: Закрашенное множество точек на окружности является графическим представлением множества всех решений неравенства.

Запись решения этого неравенства в виде промежутков.
Для того чтобы записать решение аналитически, рассмотрим один период функции $y=\operatorname{tg}x$, который равен $\pi$. Удобно взять интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
1. Находим значения $x$, для которых выполняется равенство $\operatorname{tg}x = \sqrt{3}$. Главное значение — $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
2. Функция $\operatorname{tg}x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ является строго возрастающей. Следовательно, неравенство $\operatorname{tg}x \le \sqrt{3}$ выполняется для всех $x$ от начала интервала до точки $x=\frac{\pi}{3}$.
3. Таким образом, на одном периоде решение имеет вид: $-\frac{\pi}{2} < x \le \frac{\pi}{3}$. Левая граница не включается, так как тангенс при $x = -\frac{\pi}{2}$ не определен. Правая граница включается, так как неравенство нестрогое.
4. Учитывая периодичность функции $\operatorname{tg}x$, общее решение получается добавлением к границам найденного интервала слагаемого $\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x \le \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.