Страница 299, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

49.11. У каждого из туристов есть или тугрики, или «еврики».

У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только «еврики», а у $31\%$ туристов есть обе валюты.

a) Сколько всего было туристов?

б) Сколько туристов имеют тугрики?

в) Сколько туристов имеют «еврики»?

г) Измените в условии задачи $31\%$ так, чтобы ответ в пункте а) стал наибольшим из всех возможных.

а) Пусть $X$ — общее количество туристов. Согласно условию задачи:

• 100 туристов имеют только тугрики.
• 38 туристов имеют только «еврики».
• 31% от общего числа туристов имеют обе валюты, что составляет $0.31X$.

Поскольку у каждого туриста есть хотя бы одна из валют, общее число туристов равно сумме этих трёх групп. Составим и решим уравнение:

$X = 100 + 38 + 0.31X$

$X - 0.31X = 138$

$0.69X = 138$

$X = \frac{138}{0.69} = \frac{13800}{69} = 200$

Таким образом, всего было 200 туристов.

Ответ: 200 туристов.

б) Число туристов, имеющих тугрики, — это сумма тех, у кого есть только тугрики, и тех, у кого есть обе валюты. Сначала вычислим количество туристов с обеими валютами:

$0.31 \times 200 = 62$ туриста.

Теперь найдём общее количество туристов с тугриками:

$100 (\text{только тугрики}) + 62 (\text{обе валюты}) = 162$ туриста.

Ответ: 162 туриста.

в) Число туристов, имеющих «еврики», — это сумма тех, у кого есть только «еврики», и тех, у кого есть обе валюты. Мы уже знаем, что обе валюты есть у 62 туристов.

Найдём общее количество туристов с «евриками»:

$38 (\text{только «еврики»}) + 62 (\text{обе валюты}) = 100$ туристов.

Ответ: 100 туристов.

г) Пусть новый процент равен $p$. Тогда уравнение для нахождения общего числа туристов $X$ будет выглядеть так:

$X = 100 + 38 + \frac{p}{100}X$

Выразим $X$ из этого уравнения:

$X - \frac{p}{100}X = 138$

$X \left(1 - \frac{p}{100}\right) = 138$

$X \left(\frac{100 - p}{100}\right) = 138$

$X = \frac{13800}{100 - p}$

Чтобы значение $X$ было наибольшим, знаменатель $(100 - p)$ должен быть наименьшим возможным положительным числом. Процент $p$ должен быть меньше 100, иначе знаменатель станет нулевым или отрицательным. Таким образом, $0 \le p < 100$, а $100 - p > 0$.

Так как число туристов $X$ должно быть целым, знаменатель $(100 - p)$ должен быть делителем числа 13800. Чтобы максимизировать $X$, нужно минимизировать знаменатель. Наименьший натуральный делитель любого числа — это 1.

Примем знаменатель равным 1:

$100 - p = 1$

$p = 99$

Следовательно, для получения наибольшего возможного числа туристов, процент нужно изменить на 99%. В этом случае общее количество туристов составит $X = \frac{13800}{1} = 13800$.

Ответ: 31% нужно изменить на 99%.

49.12. Каждый из 30 учеников умный или красивый. Красивых учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом выше 180 см.

а) Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см?

б) Каков ответ в пункте а), если известно, что все умные, но не красивые — ростом не выше 180 см?

в) Каков ответ в пункте а), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см?

г) Каков ответ в пункте а), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см?

Для решения задачи введем обозначения для множеств учеников:

• $N$ — общее число учеников, $N=30$.
• $У$ — множество умных учеников, $|У|=24$.
• $К$ — множество красивых учеников, $|К|=26$.
• $В$ — множество учеников ростом выше 180 см, $|В|=14$.

По условию, каждый ученик является умным или красивым, это означает, что объединение множеств $У$ и $К$ включает всех учеников:

$|У \cup К| = 30$

Сначала найдем количество учеников, которые являются и умными, и красивыми, то есть размер пересечения множеств $У$ и $К$. Используем формулу включений-исключений:

$|У \cup К| = |У| + |К| - |У \cap К|$

$30 = 24 + 26 - |У \cap К|$

$30 = 50 - |У \cap К|$

$|У \cap К| = 50 - 30 = 20$

Итак, 20 учеников одновременно и умные, и красивые.

Также найдем количество учеников в других группах:

• Только умные (умные, но не красивые): $|У \setminus К| = |У| - |У \cap К| = 24 - 20 = 4$ ученика.
• Только красивые (красивые, но не умные): $|К \setminus У| = |К| - |У \cap К| = 26 - 20 = 6$ учеников.

Проверка: $20$ (и умные, и красивые) $+ 4$ (только умные) $+ 6$ (только красивые) $= 30$ учеников. Все сходится.

Нам нужно найти минимально возможное число учеников, обладающих всеми тремя свойствами, то есть минимальный размер пересечения $|У \cap К \cap В|$.

Мы знаем, что учеников, которые одновременно умные и красивые ($У \cap К$), — 20 человек. А учеников ростом выше 180 см ($В$) — 14 человек. Общее число учеников — 30.

Чтобы найти минимальное количество учеников, принадлежащих обоим этим множествам ($У \cap К$ и $В$), воспользуемся формулой для минимального пересечения:

$| (У \cap К) \cap В |_{min} = |У \cap К| + |В| - N = 20 + 14 - 30 = 4$

Это означает, что как минимум 4 ученика должны обладать всеми тремя характеристиками. Чтобы это проверить, можно рассуждать от противного. Предположим, что tall-студентов, которые не являются "умными и красивыми", максимальное количество. Группа "не умных и красивых" состоит из "только умных" (4) и "только красивых" (6), итого 10 человек. Из 14 высоких учеников максимум 10 могут быть из этой группы. Следовательно, оставшиеся $14 - 10 = 4$ высоких ученика обязаны быть из группы "умные и красивые".

Ответ: 4

Это новое условие означает, что 4 ученика из группы "только умные" ($У \setminus К$) не входят в группу высоких ($В$).

Всего высоких учеников 14. Они могут принадлежать к одной из трех непересекающихся групп: "только умные", "только красивые" или "и умные, и красивые".

По новому условию, высокие не могут быть в группе "только умные". Значит, 14 высоких учеников распределены между группами "только красивые" ($|К \setminus У|=6$) и "и умные, и красивые" ($|У \cap К|=20$).

Чтобы найти гарантированное (минимальное) число высоких в группе "и умные, и красивые", мы должны предположить, что максимальное возможное число высоких находится в группе "только красивые". В этой группе 6 человек, значит, максимум 6 из них могут быть высокими.

Тогда оставшиеся высокие ученики обязаны быть в группе "и умные, и красивые". Их число составит:

$14 - 6 = 8$

Следовательно, как минимум 8 учеников являются умными, красивыми и высокими.

Ответ: 8

Новое условие гласит, что все 6 учеников из группы "только красивые" ($К \setminus У$) являются высокими.

Всего высоких учеников 14. Из них 6 мы уже "разместили" в группе "только красивые".

Остается $14 - 6 = 8$ высоких учеников. Эти 8 человек должны быть распределены между оставшимися двумя группами: "только умные" ($|У \setminus К|=4$) и "и умные, и красивые" ($|У \cap К|=20$).

Чтобы найти минимальное число высоких в группе "и умные, и красивые", мы должны предположить, что максимальное их число находится в группе "только умные". В этой группе 4 человека, значит, максимум 4 из них могут быть высокими.

Тогда оставшиеся высокие ученики обязаны быть в группе "и умные, и красивые". Их число:

$8 - 4 = 4$

Таким образом, гарантированно 4 ученика являются умными, красивыми и высокими.

Ответ: 4

Это условие означает, что размер пересечения множеств умных и высоких равен 12: $|У \cap В| = 12$.

Нам нужно найти гарантированное число учеников, которые являются умными, красивыми и высокими, то есть $|У \cap К \cap В|$. Это то же самое, что найти, сколько учеников из группы "умные и высокие" ($У \cap В$) также являются красивыми.

У нас есть группа из 12 учеников, которые умные и высокие. Сколько из них гарантированно красивые? Для этого найдем, сколько из них максимально могут быть *не красивыми*.

Ученики, которые не являются красивыми, — это группа "только умные" ($У \setminus К$). Мы знаем, что таких учеников всего 4.

Значит, из 12 умных и высоких учеников максимум 4 могут быть некрасивыми. Остальные обязаны быть красивыми.

Минимальное число красивых среди 12 умных и высоких составляет:

$12 - 4 = 8$

Следовательно, гарантированно 8 учеников являются умными, красивыми и высокими.

Ответ: 8

49.13. Экзамен пересдавали три ученика. Рассматриваются события: $A$ — экзамен сдал ровно один ученик; $B$ — хотя бы один ученик; $C$ — не менее двух учеников; $D$ — ровно два ученика. Опишите события:

a) $A + C$;

б) $A + D$;

в) $B + D$;

г) $A + B + C + D$.

Для решения задачи проанализируем каждое событие с точки зрения количества сдавших учеников. Всего учеников трое, поэтому число сдавших может быть 0, 1, 2 или 3.

• Событие $A$ (экзамен сдал ровно один ученик): количество сдавших равно 1.
• Событие $B$ (экзамен сдал хотя бы один ученик): количество сдавших равно 1, 2 или 3.
• Событие $C$ (экзамен сдали не менее двух учеников): количество сдавших равно 2 или 3.
• Событие $D$ (экзамен сдали ровно два ученика): количество сдавших равно 2.

Сумма событий (обозначается знаком "+") в теории вероятностей — это объединение событий (логическое "ИЛИ"). Событие $X + Y$ наступает, если наступает хотя бы одно из событий: $X$ или $Y$.

а) A + C

Событие $A + C$ означает, что произошло либо событие $A$ (сдал ровно один ученик), либо событие $C$ (сдали не менее двух, то есть двое или трое). Объединив эти исходы, получаем, что экзамен сдал один, или два, или три ученика. Это описание в точности совпадает с событием $B$.

С точки зрения множеств исходов, где $k$ — число сдавших:
$A = \{k=1\}$
$C = \{k=2, k=3\}$
Сумма событий $A+C$ соответствует объединению множеств: $A \cup C = \{k=1\} \cup \{k=2, k=3\} = \{k=1, 2, 3\}$, что соответствует событию $B$.

Ответ: Событие $A + C$ означает, что экзамен сдал хотя бы один ученик. Это событие эквивалентно событию $B$.

б) A + D

Событие $A + D$ означает, что произошло либо событие $A$ (сдал ровно один ученик), либо событие $D$ (сдали ровно два ученика).

Объединяя эти два непересекающихся исхода, получаем новое событие.

С точки зрения множеств исходов:
$A = \{k=1\}$
$D = \{k=2\}$
$A+D = A \cup D = \{k=1\} \cup \{k=2\} = \{k=1, 2\}$.

Ответ: Событие $A + D$ означает, что экзамен сдал либо один, либо два ученика.

в) B + D

Событие $B + D$ означает, что произошло либо событие $B$ (сдал хотя бы один ученик, то есть 1, 2 или 3), либо событие $D$ (сдали ровно два ученика).

Заметим, что событие $D$ является частным случаем (подмножеством) события $B$. Если произошло событие $D$ (сдали двое), это автоматически означает, что произошло и событие $B$ (сдал хотя бы один). Объединение множества с его подмножеством равно самому этому множеству.

Математически: $D \subset B$, поэтому $B \cup D = B$.
$B = \{k=1, 2, 3\}$
$D = \{k=2\}$
$B+D = \{k=1, 2, 3\} \cup \{k=2\} = \{k=1, 2, 3\}$, что соответствует событию $B$.

Ответ: Событие $B + D$ означает, что экзамен сдал хотя бы один ученик. Это событие эквивалентно событию $B$.

г) A + B + C + D

Событие $A + B + C + D$ означает, что произошло хотя бы одно из событий $A, B, C$ или $D$.

Как и в предыдущем пункте, заметим, что события $A$, $C$ и $D$ являются подмножествами события $B$:

• $A = \{k=1\} \subset B = \{k=1, 2, 3\}$
• $C = \{k=2, 3\} \subset B = \{k=1, 2, 3\}$
• $D = \{k=2\} \subset B = \{k=1, 2, 3\}$

Объединение события $B$ со всеми его подмножествами равно самому событию $B$.

$A \cup B \cup C \cup D = B$.

Ответ: Событие $A + B + C + D$ означает, что экзамен сдал хотя бы один ученик. Это событие эквивалентно событию $B$.

49.14. Опишите события, противоположные событиям из пунктов а) – г) предыдущей задачи.

Противоположным событием (дополнением) к некоторому событию $A$ называется событие $\bar{A}$, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие $A$. Для решения задачи нужно для каждого из событий, описанных в пунктах предыдущей задачи, сформулировать противоположное. Предполагается, что события предыдущей задачи относятся к эксперименту по случайному выбору одного шара из набора шаров, пронумерованных натуральными числами.

а) Исходное событие: «номер вынутого шара — четное число».
Противоположное событие заключается в том, что номер шара не является четным. Если число не четное, значит, оно нечетное.
Ответ: номер вынутого шара — нечетное число.

б) Исходное событие: «номер вынутого шара — число, кратное 3».
Противоположное событие означает, что номер шара не обладает свойством кратности трем, то есть при делении на 3 дает остаток, отличный от нуля.
Ответ: номер вынутого шара не кратен 3.

в) Исходное событие: «номер вынутого шара — простое число».
Противоположным будет событие, при котором номер шара не является простым числом. Натуральное число, не являющееся простым, является либо единицей (которая по определению не простое и не составное), либо составным числом.
Ответ: номер вынутого шара — составное число или 1.

г) Исходное событие: «номер вынутого шара — число, не делящееся нацело на 5».
Это событие само по себе является отрицанием. Противоположное событие к «не $P$» есть событие «$P$». В данном случае, противоположным к «число не делится на 5» будет событие «число делится на 5».
Ответ: номер вынутого шара делится нацело на 5.

49.15. Из чисел 0, 1, 2, ..., 9 выбирают одно. Рассматриваются события: $A$ — это чётное число; $B$ — это число больше 7; $C$ — это число кратно 3 и не равно 0; $D$ — это или 1, или 4, или 9. Опишите события:

а) $AB$;

б) $CD$;

в) $BC$;

г) $ABCD$.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, какие числа соответствуют каждому из событий A, B, C и D. Мы выбираем число из множества $? = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

• Событие A (выбрано чётное число): $A = \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
• Событие B (выбрано число больше 7): $B = \{8, 9\}$.
• Событие C (выбрано число, кратное 3 и не равное 0): $C = \{3, 6, 9\}$.
• Событие D (выбрано число 1, или 4, или 9): $D = \{1, 4, 9\}$.

Запись вида AB означает произведение (пересечение) событий A и B, то есть событие, состоящее в том, что происходят оба события A и B одновременно. Нам нужно найти множество чисел, удовлетворяющих условиям пересекаемых событий.

а) AB

Событие AB заключается в том, что выбранное число является чётным (событие A) и одновременно больше 7 (событие B). Для этого найдем пересечение множеств A и B.

$A \cap B = \{0, 2, 4, 6, 8\} \cap \{8, 9\} = \{8\}$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 8.

Ответ: выбрано число 8.

б) CD

Событие CD заключается в том, что выбранное число кратно 3 и не равно 0 (событие C) и одновременно является одним из чисел 1, 4 или 9 (событие D). Найдем пересечение множеств C и D.

$C \cap D = \{3, 6, 9\} \cap \{1, 4, 9\} = \{9\}$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 9.

Ответ: выбрано число 9.

в) BC

Событие BC заключается в том, что выбранное число больше 7 (событие B) и одновременно кратно 3 и не равно 0 (событие C). Найдем пересечение множеств B и C.

$B \cap C = \{8, 9\} \cap \{3, 6, 9\} = \{9\}$.

Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям, — это 9.

Ответ: выбрано число 9.

г) ABCD

Событие ABCD заключается в том, что выбранное число удовлетворяет всем четырем условиям одновременно. Это значит, что нам нужно найти пересечение всех четырех множеств: $A \cap B \cap C \cap D$.

Мы можем найти это пересечение последовательно. Из пункта а) мы знаем, что $A \cap B = \{8\}$. Теперь найдем пересечение этого результата с множеством C:

$(A \cap B) \cap C = \{8\} \cap \{3, 6, 9\} = \emptyset$.

Поскольку пересечение множеств A, B и C является пустым множеством ($\emptyset$), это означает, что нет ни одного числа, которое бы удовлетворяло первым трем условиям одновременно. Следовательно, пересечение всех четырех множеств также будет пустым.

Событие ABCD является невозможным событием.

Ответ: невозможное событие (ни одно число не удовлетворяет всем условиям).

49.16. Опишите события, противоположные событиям $A$, $B$, $C$, $D$ из предыдущей задачи.

Для решения данной задачи необходимо знать условия предыдущей задачи (49.15). В ней рассматривается случайный эксперимент по броску двух игральных костей. Противоположным событию $X$ (обозначается как $\bar{X}$) называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие $X$.

В предыдущей задаче были определены следующие события:

Событие A: сумма выпавших очков равна 7.

Событие B: сумма выпавших очков больше 9.

Событие C: сумма выпавших очков меньше 4.

Событие D: сумма выпавших очков равна 1.

Опишем события, противоположные данным.

A

Событие A заключается в том, что сумма выпавших очков равна 7. Противоположное событие, $\bar{A}$, заключается в том, что сумма выпавших очков не равна 7. Учитывая, что при броске двух костей возможные суммы очков — это целые числа от 2 до 12, событие $\bar{A}$ означает, что сумма очков равна 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 или 12.

Ответ: Противоположное событие $\bar{A}$: сумма выпавших очков не равна 7.

B

Событие B заключается в том, что сумма выпавших очков больше 9 (то есть 10, 11 или 12). Противоположное событие, $\bar{B}$, наступает, когда это условие не выполняется. Условие "не больше 9" означает "меньше или равно 9". Таким образом, событие $\bar{B}$ заключается в том, что сумма выпавших очков меньше или равна 9.

Ответ: Противоположное событие $\bar{B}$: сумма выпавших очков не больше 9 (то есть меньше или равна 9).

C

Событие C заключается в том, что сумма выпавших очков меньше 4 (то есть 2 или 3). Противоположное событие, $\bar{C}$, наступает, когда это условие не выполняется. Условие "не меньше 4" означает "больше или равно 4". Таким образом, событие $\bar{C}$ заключается в том, что сумма выпавших очков больше или равна 4.

Ответ: Противоположное событие $\bar{C}$: сумма выпавших очков не меньше 4 (то есть больше или равна 4).

D

Событие D заключается в том, что сумма выпавших очков равна 1. При броске двух игральных костей минимальное количество очков на каждой кости равно 1, поэтому минимальная возможная сумма равна $1 + 1 = 2$. Это означает, что событие D (сумма равна 1) является невозможным событием, так как оно не может произойти ни при каком исходе эксперимента. Противоположным событием для невозможного является достоверное событие — то, которое происходит всегда. В данном эксперименте это означает, что сумма очков всегда будет не равна 1.

Ответ: Противоположное событие $\bar{D}$: сумма выпавших очков не равна 1. Это достоверное событие.