Страница 294, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

48.14. Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).

а) Найти число всех возможных трезвучий.

б) Найти число всех возможных аккордов.

в) Найти число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль».

г) Найти число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты).

а) Найдите число всех возможных трезвучий.

Трезвучие — это упорядоченный набор из трех различных нот. Поскольку порядок нот важен, мы имеем дело с размещениями. Нам нужно выбрать и расположить 3 ноты из 7 имеющихся.Число всех возможных трезвучий находится по формуле числа размещений из $n$ элементов по $k$, где $n=7$ (общее число нот) и $k=3$ (число нот в трезвучии).

Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае:

$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

Таким образом, существует 210 возможных трезвучий.

Ответ: 210.

б) Найдите число всех возможных аккордов.

Аккорд — это неупорядоченный набор из трех различных нот, так как они нажимаются одновременно. Здесь порядок нот не имеет значения, поэтому мы используем сочетания. Нам нужно выбрать 3 ноты из 7.Число всех возможных аккордов находится по формуле числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n=7$ и $k=3$.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35$.

Таким образом, существует 35 возможных аккордов.

Ответ: 35.

в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль».

Если аккорд должен содержать ноту «соль», то одна из трех нот уже определена. Нам остается выбрать еще 2 ноты из оставшихся 6 нот (до, ре, ми, фа, ля, си). Так как это аккорд, порядок выбора этих двух нот не важен. Следовательно, мы ищем число сочетаний из 6 элементов по 2.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Таким образом, существует 15 аккордов, содержащих ноту «соль».

Ответ: 15.

г) Найдите число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты).

Эта задача касается трезвучий (упорядоченных наборов), с дополнительным ограничением. Соседними считаются ноты, идущие подряд в гамме: (до, ре), (ре, ми), (ми, фа), (фа, соль), (соль, ля), (ля, си).Мы найдем общее число трезвучий, а затем вычтем из него число "нежелательных" трезвучий, в которых есть хотя бы одна пара соседних нот.Общее число трезвучий (из пункта а) равно $A_7^3 = 210$.

Используем метод включений-исключений. Пусть $A$ — множество трезвучий, где первые две ноты соседние, и $B$ — множество трезвучий, где вторые две ноты соседние. Нам нужно найти количество трезвучий, не принадлежащих ни $A$, ни $B$. Это число равно $A_7^3 - |A \cup B| = A_7^3 - (|A| + |B| - |A \cap B|)$.

1. Найдем $|A|$ (первые две ноты соседние):Всего существует 6 пар соседних нот. Каждую пару можно взять в двух порядках (например, (до, ре) и (ре, до)). Итого $6 \times 2 = 12$ упорядоченных пар.После выбора первой пары нот, третью ноту можно выбрать из оставшихся $7 - 2 = 5$ нот.Следовательно, $|A| = 12 \times 5 = 60$.

2. Найдем $|B|$ (последние две ноты соседние):Логика аналогична. Выбираем упорядоченную пару соседних нот для второй и третьей позиции (12 способов). Первую ноту выбираем из оставшихся 5 нот.Следовательно, $|B| = 5 \times 12 = 60$.

3. Найдем $|A \cap B|$ (и первая, и вторая пара нот — соседние):Это означает, что все три ноты в трезвучии идут подряд в гамме. Например, (до, ре, ми) или (ми, ре, до).Существует 5 троек последовательных нот: (до,ре,ми), (ре,ми,фа), (ми,фа,соль), (фа,соль,ля), (соль,ля,си).Для каждой такой тройки есть только две упорядоченные последовательности, где все ноты соседствуют друг с другом: в возрастающем и убывающем порядке. Например, для {до, ре, ми} это (до, ре, ми) и (ми, ре, до).Следовательно, $|A \cap B| = 5 \times 2 = 10$.

4. Найдем число "нежелательных" трезвучий:$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 60 + 60 - 10 = 110$.

5. Теперь найдем число трезвучий, удовлетворяющих условию:$210 - 110 = 100$.

Ответ: 100.

048.15. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут:

а) выбрать каждый для себя по одному инструменту из 15 данных;

б) выбрать набор из пяти инструментов из имеющихся 12 инструментов;

в) сесть по одному за какие-то четыре из выбранных в пункте б) инструмента;

г) выгнать одного из участников квартета и потом сесть за какие-то три выбранных в пункте б) инструмента?

а) В этой задаче 4 участника квартета должны выбрать по одному инструменту из 15 доступных. Так как важно, какой именно участник какой инструмент выберет (например, Мартышка со скрипкой — это не то же самое, что Осёл со скрипкой), мы имеем дело с размещениями. Порядок выбора важен.

Первый участник может выбрать любой из 15 инструментов. У второго участника останется выбор из 14 инструментов, у третьего — из 13, а у четвертого — из 12.

Общее число способов равно произведению этих возможностей, что соответствует формуле для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В нашем случае $n=15$ (инструменты) и $k=4$ (участники):

$A_{15}^4 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 32760$

Ответ: 32760.

б) Здесь необходимо выбрать набор из 5 инструментов из 12 имеющихся. Слово "набор" означает, что порядок выбора инструментов не имеет значения. Следовательно, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=12$ (всего инструментов) и $k=5$ (инструменты, которые нужно выбрать):

$C_{12}^5 = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 792$

Ответ: 792.

в) Теперь у нас есть 4 участника и 5 инструментов, выбранных в предыдущем пункте. Нужно рассадить участников за 4 из этих 5 инструментов. Снова важен порядок, так как каждый участник сядет за конкретный инструмент.

Это задача на размещение 4 участников по 5 "вакантным местам" (инструментам). Фактически, мы выбираем 4 инструмента из 5 и одновременно распределяем их между 4 участниками. Это число размещений из 5 по 4.

Используем формулу $A_n^k$, где $n=5$ (доступные инструменты) и $k=4$ (участники):

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$

Ответ: 120.

г) Эта задача решается в два шага:

1. Сначала нужно выгнать одного из 4 участников квартета. Количество способов сделать это равно 4 (можно выгнать Мартышку, Осла, Козла или Мишку). Это можно рассчитать как $C_4^1 = 4$.

2. После этого остаются 3 участника. Им нужно сесть за 3 из 5 инструментов, выбранных в пункте б). Как и в пункте в), это задача на размещения, так как важно, кто на каком инструменте будет играть. Нам нужно разместить 3 участников по 5 инструментам.

Число таких размещений из 5 по 3 вычисляется по формуле $A_n^k$:

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество способов для каждого шага (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$N = (\text{способы выгнать}) \cdot (\text{способы сесть}) = 4 \cdot A_5^3 = 4 \cdot 60 = 240$

Ответ: 240.

48.16. Из колоды в 36 карт выбирают одновременно 5 карт.
Найдите:

а) число всех возможных вариантов выбранных карт;

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза;

в) число вариантов, при которых все полученные карты — пики;

г) число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти.

а) число всех возможных вариантов выбранных карт;

Поскольку порядок выбора карт не имеет значения ("выбирают одновременно"), мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае необходимо выбрать $k=5$ карт из колоды в $n=36$ карт.
Число всех возможных вариантов равно числу сочетаний из 36 по 5:
$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
Сократим дробь:
$C_{36}^5 = (36 \div (4 \times 3)) \times (35 \div 5) \times 34 \times 33 \times (32 \div 2) = 3 \times 7 \times 34 \times 33 \times 16 = 376992$.
Ответ: 376992.

б) число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза;

В колоде из 36 карт содержится 4 туза. Чтобы в наборе из 5 карт было четыре туза, необходимо выбрать все 4 туза и еще одну любую карту из оставшихся.
Число способов выбрать 4 туза из 4 имеющихся равно $C_4^4 = 1$.
Пятую карту нужно выбрать из оставшихся $36 - 4 = 32$ карт (которые не являются тузами). Число способов сделать это равно $C_{32}^1 = 32$.
Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число таких вариантов равно произведению числа способов для каждого выбора:
$N = C_4^4 \times C_{32}^1 = 1 \times 32 = 32$.
Ответ: 32.

в) число вариантов, при которых все полученные карты — пики;

В колоде из 36 карт 4 масти. Каждая масть содержит $36 \div 4 = 9$ карт. Таким образом, в колоде 9 карт пиковой масти.
Нужно найти число способов выбрать 5 карт пиковой масти из 9 имеющихся. Это число сочетаний из 9 по 5:
$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
Выполним вычисления:
$C_9^5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 9 \times \frac{8}{4 \times 2} \times 7 \times \frac{6}{3} = 9 \times 1 \times 7 \times 2 = 126$.
Ответ: 126.

г) число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти.

Данное условие означает, что все 5 карт могут быть либо пиками, либо трефами, либо бубнами, либо червами.
Число вариантов, при которых все 5 карт — пики, мы нашли в предыдущем пункте: $C_9^5 = 126$.
Поскольку в каждой из четырех мастей по 9 карт, число способов выбрать 5 карт одной масти будет одинаковым для любой масти.
Так как эти события (5 карт одной масти) несовместны, по правилу суммы общее число вариантов равно сумме вариантов для каждой масти, или, что то же самое, произведению числа мастей на число вариантов для одной масти:
$N = 4 \times C_9^5 = 4 \times 126 = 504$.
Ответ: 504.

48.17. По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трёх певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц.

а) Сколько существует различных вариантов состава хора?

б) То же, но если известно, что певцы A и Б ни за что не будут петь вместе.

в) То же, но если известно, что певец A будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица B.

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придётся выступать одной певице.

а) Для формирования состава хора необходимо выбрать 5 певцов из 10 имеющихся и 3 певицы из 8 имеющихся. Поскольку порядок выбора не важен, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 5 певцов из 10: $C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.

Число способов выбрать 3 певицы из 8: $C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

Общее число различных вариантов состава хора равно произведению числа способов выбора певцов и певиц, так как эти выборы являются независимыми событиями. Общее число вариантов: $N = C_{10}^5 \times C_8^3 = 252 \times 56 = 14112$.
Ответ: 14112

б) Условие, что певцы А и Б не будут петь вместе, означает, что в хоре может быть либо только А, либо только Б, либо ни одного из них. Проще всего решить эту задачу, найдя общее число вариантов (рассчитанное в пункте а) и вычтя из него количество вариантов, при которых А и Б поют вместе.

Найдем количество вариантов, когда А и Б поют вместе. Если оба певца А и Б включены в хор, то нам остается выбрать еще $5 - 2 = 3$ певца из оставшихся $10 - 2 = 8$ певцов. Число способов сделать это: $C_8^3 = 56$. Число способов выбрать 3 певицы из 8 остается прежним: $C_8^3 = 56$.

Число вариантов, когда А и Б поют вместе: $N_{АиБ} = C_8^3 \times C_8^3 = 56 \times 56 = 3136$.

Теперь вычтем это число из общего числа вариантов, чтобы найти количество составов, где А и Б не поют вместе: $N = 14112 - 3136 = 10976$.
Ответ: 10976

в) Условие "певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В" разбивает задачу на два непересекающихся случая:

1. Певец А и певица В оба участвуют в хоре. В этом случае нам нужно добрать $5 - 1 = 4$ певца из оставшихся $10 - 1 = 9$ певцов, и $3 - 1 = 2$ певицы из оставшихся $8 - 1 = 7$ певиц. Число вариантов для этого случая: $N_1 = C_9^4 \times C_7^2 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2} = 126 \times 21 = 2646$.

2. Ни певец А, ни певица В не участвуют в хоре. В этом случае нам нужно выбрать 5 певцов из оставшихся 9, и 3 певицы из оставшихся 7. Число вариантов для этого случая: $N_2 = C_9^5 \times C_7^3 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 126 \times 35 = 4410$.

Общее число вариантов равно сумме вариантов для этих двух случаев: $N = N_1 + N_2 = 2646 + 4410 = 7056$.
Ответ: 7056

г) По условию, 6 певцов сорвали голос, следовательно, для отбора доступно $10 - 6 = 4$ певца. По программе в хоре должно быть 5 певцов, но так как в наличии только 4, то все они должны быть включены в состав.

Фраза "вместо недостающего певца придётся выступать одной певице" означает, что состав хора изменится. Вместо одного недостающего певца в хор войдет одна дополнительная певица. Таким образом, новый состав хора будет включать 4 певца и $3 + 1 = 4$ певицы.

Число способов выбрать 4 певца из 4 доступных: $C_4^4 = 1$.

Число способов выбрать 4 певицы из 8 доступных: $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.

Общее число вариантов состава хора в этом случае: $N = C_4^4 \times C_8^4 = 1 \times 70 = 70$.
Ответ: 70