Страница 289, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

47.9. В урне лежат три неразличимых на ощупь шара, два белых и один чёрный. При вытаскивании чёрного шара его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят два раза подряд.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

б) В скольких случаях оба вытащенных шара будут чёрными?

в) В скольких случаях вытащенные шары будут разного цвета?

г) Нарисуйте дерево возможных вариантов для трёх вытаскиваний из двух чёрных и двух белых шаров.

В условии задачи описан следующий стохастический эксперимент.
Исходные условия для пунктов а), б), в): в урне находятся 2 белых (Б) и 1 чёрный (Ч) шар. Всего 3 шара.
Правила:

• Если вытаскивают чёрный шар (Ч), его возвращают в урну.
• Если вытаскивают белый шар (Б), его откладывают в сторону (не возвращают).

Операция (вытаскивание шара) производится два раза подряд.

Дерево вариантов показывает все возможные последовательности исходов. Для каждого шага укажем состояние урны (количество белых и чёрных шаров).

• Начало (в урне 2Б, 1Ч)
  • 1-й шаг: вытащен белый шар (Б). Вероятность этого события $P(Б_1) = \frac{2}{3}$.
    Поскольку белый шар не возвращается, в урне остаётся 1Б и 1Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). Вероятность: $P(Б_2|Б_1) = \frac{1}{2}$.
      Итоговая комбинация: (Б, Б).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). Вероятность: $P(Ч_2|Б_1) = \frac{1}{2}$.
      Итоговая комбинация: (Б, Ч).
  • 1-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). Вероятность этого события $P(Ч_1) = \frac{1}{3}$.
    Поскольку чёрный шар возвращается, в урне остаётся 2Б и 1Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). Вероятность: $P(Б_2|Ч_1) = \frac{2}{3}$.
      Итоговая комбинация: (Ч, Б).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). Вероятность: $P(Ч_2|Ч_1) = \frac{1}{3}$.
      Итоговая комбинация: (Ч, Ч).

Ответ: Дерево вариантов со всеми возможными исходами (Б, Б), (Б, Ч), (Ч, Б), (Ч, Ч) представлено выше.

Анализируя дерево вариантов из пункта а), мы находим только одну ветвь, которая приводит к исходу, где оба шара чёрные. Это происходит, когда на первом шаге вытаскивают чёрный шар и на втором шаге также вытаскивают чёрный шар.

Такой исход соответствует комбинации (Ч, Ч).

Ответ: В 1 случае.

Обратимся к дереву вариантов из пункта а). Нас интересуют исходы, в которых цвета шаров не совпадают. Таких исходов два:

1. Сначала вытащен белый шар, затем — чёрный. Комбинация: (Б, Ч).
2. Сначала вытащен чёрный шар, затем — белый. Комбинация: (Ч, Б).

Следовательно, существует два таких случая.

Ответ: В 2 случаях.

Для этого пункта меняются начальные условия: в урне 2 белых (Б) и 2 чёрных (Ч) шара (всего 4 шара). Правила остаются теми же. Необходимо построить дерево для трёх вытаскиваний.

• Начало (в урне 2Б, 2Ч)
  • 1-й шаг: вытащен белый шар (Б). В урне остаётся 1Б, 2Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). В урне остаётся 0Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). (Единственный возможный вариант).
        Итоговая комбинация: (Б, Б, Ч).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). В урне остаётся 1Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен белый шар (Б).
        Итоговая комбинация: (Б, Ч, Б).
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч).
        Итоговая комбинация: (Б, Ч, Ч).
  • 1-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). В урне остаётся 2Б, 2Ч.
    • 2-й шаг: вытащен белый шар (Б). В урне остаётся 1Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен белый шар (Б).
        Итоговая комбинация: (Ч, Б, Б).
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч).
        Итоговая комбинация: (Ч, Б, Ч).
    • 2-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч). В урне остаётся 2Б, 2Ч.
      • 3-й шаг: вытащен белый шар (Б).
        Итоговая комбинация: (Ч, Ч, Б).
      • 3-й шаг: вытащен чёрный шар (Ч).
        Итоговая комбинация: (Ч, Ч, Ч).

Ответ: Дерево вариантов для трёх вытаскиваний из урны с двумя белыми и двумя чёрными шарами представлено выше.

47.10. Из пяти одноклассниц $А$, $Б$, $В$, $Г$, $Д$ только $В$ и $Д$ дружат со всеми, $Б$ дружит, кроме $В$ и $Д$, только с $Г$, остальные не дружат между собой. Для проведения соревнования надо из этих одноклассниц выбрать капитана и его заместителя, которые дружат между собой.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора.

б) В скольких вариантах капитаном будет $А$?

в) В скольких вариантах выбора будет присутствовать $В$?

г) В скольких вариантах выбора $Г$ будет заместителем?

Для решения задачи сначала установим все дружеские связи между одноклассницами на основе данных условий. Будем считать, что дружба — это взаимное отношение: если А дружит с Б, то и Б дружит с А.

В группе пять одноклассниц: А, Б, В, Г, Д.

1. «только В и Д дружат со всеми». Это означает:

• В дружит с А, Б, Г, Д.
• Д дружит с А, Б, В, Г.

2. «Б дружит, кроме В и Д, только с Г». Это условие уточняет круг друзей Б. Мы уже знаем, что В и Д дружат с Б (из пункта 1). Фраза означает, что из оставшихся одноклассниц (А и Г) Б дружит только с Г. Таким образом, полный список друзей Б: В, Г, Д.

3. «остальные не дружат между собой». Эта фраза относится к парам, чьи отношения еще не определены. Единственная такая пара — это (А, Г). Следовательно, А и Г не дружат.

Сведем все дружеские связи в список:

• Друзья А: В, Д.
• Друзья Б: В, Г, Д.
• Друзья В: А, Б, Г, Д.
• Друзья Г: Б, В, Д.
• Друзья Д: А, Б, В, Г.

Теперь, зная все пары друзей, мы можем ответить на вопросы. Капитана и его заместителя нужно выбрать так, чтобы они дружили между собой. Это означает, что мы ищем все возможные упорядоченные пары друзей.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора.

Дерево вариантов представляет собой выбор капитана, а затем выбор его заместителя из числа его друзей. Список всех возможных пар «капитан — заместитель» выглядит так:

• Капитан А. Его друзья — В, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель В
  • Заместитель Д
• Капитан Б. Его друзья — В, Г, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель В
  • Заместитель Г
  • Заместитель Д
• Капитан В. Его друзья — А, Б, Г, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель А
  • Заместитель Б
  • Заместитель Г
  • Заместитель Д
• Капитан Г. Его друзья — Б, В, Д. Возможные заместители:
  • Заместитель Б
  • Заместитель В
  • Заместитель Д
• Капитан Д. Его друзья — А, Б, В, Г. Возможные заместители:
  • Заместитель А
  • Заместитель Б
  • Заместитель В
  • Заместитель Г

Общее число вариантов равно сумме всех «листьев» дерева: $2 + 3 + 4 + 3 + 4 = 16$.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше в виде списка.

б) В скольких вариантах капитаном будет А?

Чтобы А была капитаном, её заместитель должен быть её другом. Друзья А — это В и Д. Следовательно, есть два возможных варианта:

1. Капитан — А, заместитель — В.
2. Капитан — А, заместитель — Д.

Ответ: В 2 вариантах.

в) В скольких вариантах выбора будет присутствовать В?

В может присутствовать в паре либо как капитан, либо как заместитель.

1. В — капитан. Её друзья: А, Б, Г, Д. Значит, есть 4 варианта, где В является капитаном: (В, А), (В, Б), (В, Г), (В, Д).

2. В — заместитель. Капитаном может быть любой из её друзей. Друзья В: А, Б, Г, Д. Значит, есть 4 варианта, где В является заместителем: (А, В), (Б, В), (Г, В), (Д, В).

Общее количество вариантов, где присутствует В, равно сумме этих двух случаев: $4 + 4 = 8$.

Ответ: В 8 вариантах.

г) В скольких вариантах выбора Г будет заместителем?

Если Г — заместитель, то капитаном должен быть кто-то из её друзей. Друзья Г — это Б, В, Д. Таким образом, есть три возможных варианта:

1. Капитан — Б, заместитель — Г.
2. Капитан — В, заместитель — Г.
3. Капитан — Д, заместитель — Г.

Ответ: В 3 вариантах.

Вычислите:

47.11. a) $\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$

б) $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2}$

в) $\frac{17 \cdot 6! + 8!}{7! + 9!}$

г) $\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}$

а) Вычислим значение выражения $\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$.

Для упрощения вынесем за скобки в числителе и знаменателе факториалы с наименьшим основанием.

В числителе: $7! + 8! = 7! + 8 \cdot 7! = 7! \cdot (1 + 8) = 9 \cdot 7!$.

В знаменателе: $5! + 6! = 5! + 6 \cdot 5! = 5! \cdot (1 + 6) = 7 \cdot 5!$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{9 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} = \frac{9 \cdot (7 \cdot 6 \cdot 5!)}{7 \cdot 5!}$

Сократим общие множители $7$ и $5!$:

$\frac{9 \cdot \cancel{7} \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{7} \cdot \cancel{5!}} = 9 \cdot 6 = 54$.

Ответ: 54.

б) Вычислим значение выражения $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2}$.

В числителе и знаменателе дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель дроби: $(10!)^2 - (9!)^2 = (10! - 9!)(10! + 9!)$.
$10! - 9! = 10 \cdot 9! - 9! = 9!(10 - 1) = 9 \cdot 9!$
$10! + 9! = 10 \cdot 9! + 9! = 9!(10 + 1) = 11 \cdot 9!$
Таким образом, числитель равен $(9 \cdot 9!) \cdot (11 \cdot 9!) = 99 \cdot (9!)^2$.

Знаменатель дроби: $(8!)^2 - (7!)^2 = (8! - 7!)(8! + 7!)$.
$8! - 7! = 8 \cdot 7! - 7! = 7!(8 - 1) = 7 \cdot 7!$
$8! + 7! = 8 \cdot 7! + 7! = 7!(8 + 1) = 9 \cdot 7!$
Таким образом, знаменатель равен $(7 \cdot 7!) \cdot (9 \cdot 7!) = 63 \cdot (7!)^2$.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$\frac{7}{11} \cdot \frac{99 \cdot (9!)^2}{63 \cdot (7!)^2}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{7}{11} \cdot \frac{99}{63} = \frac{7}{11} \cdot \frac{11 \cdot 9}{7 \cdot 9} = 1$.

Теперь выражение сводится к $\frac{(9!)^2}{(7!)^2} = \left(\frac{9!}{7!}\right)^2$.

Вычислим значение в скобках: $\frac{9!}{7!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72$.

Возведем результат в квадрат: $72^2 = 5184$.

Ответ: 5184.

в) Вычислим значение выражения $\frac{17 \cdot 6! + 8!}{7! + 9!}$.

Вынесем за скобки общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе: $17 \cdot 6! + 8! = 17 \cdot 6! + 8 \cdot 7 \cdot 6! = 6!(17 + 8 \cdot 7) = 6!(17 + 56) = 73 \cdot 6!$.

В знаменателе: $7! + 9! = 7! + 9 \cdot 8 \cdot 7! = 7!(1 + 9 \cdot 8) = 7!(1 + 72) = 73 \cdot 7!$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{73 \cdot 6!}{73 \cdot 7!}$

Сократим общий множитель $73$:

$\frac{6!}{7!} = \frac{6!}{7 \cdot 6!} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Вычислим значение выражения $\frac{(7!)^2 \cdot (6!)^2}{4! \cdot 5! \cdot 8! \cdot 9!}$.

Перегруппируем множители для удобства сокращения:

$\frac{(7!)^2}{4! \cdot 8!} \cdot \frac{(6!)^2}{5! \cdot 9!} = \left(\frac{7! \cdot 7!}{4! \cdot 8!}\right) \cdot \left(\frac{6! \cdot 6!}{5! \cdot 9!}\right)$

Упростим каждую из двух дробей по отдельности.

Первая дробь: $\frac{7! \cdot 7!}{4! \cdot 8!} = \frac{7! \cdot 7!}{4! \cdot 8 \cdot 7!} = \frac{7!}{4! \cdot 8} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 8} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{8} = \frac{210}{8} = \frac{105}{4}$.

Вторая дробь: $\frac{6! \cdot 6!}{5! \cdot 9!} = \frac{6! \cdot 6!}{5! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!} = \frac{6!}{5! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{6}{504} = \frac{1}{84}$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{105}{4} \cdot \frac{1}{84} = \frac{105}{4 \cdot 84} = \frac{105}{336}$.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для $105$ ($3 \cdot 5 \cdot 7$) и $336$ ($16 \cdot 21 = 16 \cdot 3 \cdot 7$) равен $3 \cdot 7 = 21$.

$\frac{105 \div 21}{336 \div 21} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.

47.12. a) $\frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!};$

б) $\frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!}.$

а) $ \frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!} $

Для решения этого выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Наибольший знаменатель в данном выражении — $6!$, поэтому он и будет общим знаменателем.

Вспомним определение факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Используя это, мы можем выразить меньшие факториалы через больший:
$5! = \frac{6!}{6}$
$4! = \frac{5!}{5} = \frac{6!/6}{5} = \frac{6!}{30}$

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю $6!$:

Первый член: $ \frac{1}{4!} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 6}{4! \cdot 5 \cdot 6} = \frac{30}{6!} $.

Второй член: $ \frac{10}{5!} = \frac{10 \cdot 6}{5! \cdot 6} = \frac{60}{6!} $.

Третий член уже имеет нужный знаменатель: $ \frac{630}{6!} $.

Теперь сложим все дроби:

$ \frac{30}{6!} + \frac{60}{6!} + \frac{630}{6!} = \frac{30 + 60 + 630}{6!} = \frac{720}{6!} $.

Вычислим значение $6!$: $6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Подставим это значение в наше выражение:

$ \frac{720}{720} = 1 $.

Ответ: $1$

б) $ \frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!} $

Как и в предыдущем примере, приведем все дроби к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет $7!$.

Выразим меньшие факториалы через $7!$:

$6! = \frac{7!}{7}$
$5! = \frac{6!}{6} = \frac{7!/7}{6} = \frac{7!}{42}$

Приведем каждую дробь к знаменателю $7!$:

Первый член: $ \frac{1}{6!} = \frac{1 \cdot 7}{6! \cdot 7} = \frac{7}{7!} $.

Второй член: $ \frac{1}{5!} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 7}{5! \cdot 6 \cdot 7} = \frac{42}{7!} $.

Третий член уже имеет нужный знаменатель: $ \frac{49}{7!} $.

Теперь выполним арифметические операции:

$ \frac{7}{7!} + \frac{42}{7!} - \frac{49}{7!} = \frac{7 + 42 - 49}{7!} = \frac{49 - 49}{7!} = \frac{0}{7!} $.

Любая дробь с нулем в числителе (и ненулевым знаменателем) равна нулю.

$ \frac{0}{7!} = 0 $.

Ответ: $0$