Страница 283, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

46.32. a) $y = -x^8 + 2x^4 + 1;$

б) $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}.$

а) $y = -x^8 + 2x^4 + 1$

Для нахождения наибольшего значения данной функции можно заметить, что она является биквадратной. Это позволяет упростить задачу с помощью замены переменной.

Пусть $t = x^4$. Поскольку $x^4$ не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

После замены функция примет вид: $f(t) = -t^2 + 2t + 1$.

Эта функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $t^2$ отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$:

$t_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.

Значение $t_0 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$, значит, оно является точкой максимума для функции $f(t)$ на ее области определения.

Теперь найдем наибольшее значение функции, подставив $t_0=1$ в $f(t)$:

$y_{max} = f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

Это значение достигается в точках $x$, для которых $x^4 = t_0 = 1$, то есть при $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: 2

б) $y = -x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3}$

Для нахождения наибольшего значения функции исследуем ее с помощью производной.

1. Найдем первую производную функции $y(x)$:

$y' = (-x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{2}{3})' = -4x^3 + \frac{4}{3} \cdot 3x^2 = -4x^3 + 4x^2$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \implies -4x^3 + 4x^2 = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$-4x^2(x - 1) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

3. Определим характер критических точек, исследовав знак производной на интервалах, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Знак производной $y' = -4x^2(x - 1)$ зависит от знака множителя $(x - 1)$, так как множитель $-4x^2$ всегда неположителен (равен нулю только в точке $x=0$).

Если $x < 1$ (и $x \ne 0$), то $(x-1) < 0$, и $y' = (-4x^2)(x-1)$ имеет знак $(-) \cdot (-) = (+)$. Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$.

Если $x > 1$, то $(x-1) > 0$, и $y' = (-4x^2)(x-1)$ имеет знак $(-) \cdot (+) = (-)$. Функция убывает на интервале $(1, +\infty)$.

При переходе через точку $x=1$ знак производной меняется с «+» на «?», следовательно, $x=1$ является точкой максимума. В точке $x=0$ знак производной не меняется, поэтому она не является точкой экстремума.

Старший член функции $-x^4$ показывает, что при $x \to \pm\infty$, $y \to -\infty$. Таким образом, найденный локальный максимум является глобальным (наибольшим) значением функции.

4. Вычислим наибольшее значение функции, подставив $x=1$ в ее исходное выражение:

$y_{max} = y(1) = -(1)^4 + \frac{4}{3}(1)^3 + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = -1 + \frac{4+2}{3} = -1 + \frac{6}{3} = -1 + 2 = 1$.

Ответ: 1

46.33. а) $y=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{x}$;

б) $y=\sqrt{-x}+\sqrt{5-x^2}$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{5 - x^2} + \sqrt{x}$, исследуем ее на области определения.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 5 - x^2 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства имеем $x^2 \le 5$, что означает $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$.

Учитывая второе неравенство $x \ge 0$, получаем общую область определения функции: $D(y) = [0; \sqrt{5}]$.

2. Производная функции.

Найдем производную функции $y$ по $x$ для поиска критических точек:

$y' = (\sqrt{5 - x^2} + \sqrt{x})' = \frac{(5 - x^2)'}{2\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{-2x}{2\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Критические точки.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки на интервале $(0, \sqrt{5})$:

$-\frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}}$

Поскольку на рассматриваемом интервале обе части уравнения положительны, мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{1}{4x} = \frac{x^2}{5 - x^2}$

$5 - x^2 = 4x \cdot x^2 \implies 4x^3 + x^2 - 5 = 0$.

Пробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-5). Подходит $x=1$:

$4(1)^3 + (1)^2 - 5 = 4 + 1 - 5 = 0$.

Разделив многочлен $4x^3 + x^2 - 5$ на $(x-1)$, получим $(x-1)(4x^2 + 5x + 5) = 0$.

Для квадратного трехчлена $4x^2 + 5x + 5$ дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 25 - 80 = -55 < 0$, поэтому других действительных корней нет.

Таким образом, единственная критическая точка в области определения — $x=1$.

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений.

Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\sqrt{5}$:

$y(0) = \sqrt{5 - 0^2} + \sqrt{0} = \sqrt{5}$.

$y(1) = \sqrt{5 - 1^2} + \sqrt{1} = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$.

$y(\sqrt{5}) = \sqrt{5 - (\sqrt{5})^2} + \sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt{5-5} + \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5}$.

Сравним полученные значения: $3 \approx 3$, $\sqrt{5} \approx 2.236$, $\sqrt[4]{5} \approx 1.495$.

Очевидно, что $3$ — наибольшее значение, а $\sqrt[4]{5}$ — наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$, наименьшее значение функции $y_{min} = \sqrt[4]{5}$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt{-x} + \sqrt{5 - x^2}$, исследуем ее на области определения.

1. Область определения функции (ОДЗ).

Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:

$\begin{cases} -x \ge 0 \\ 5 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le 0$. Из второго неравенства $x^2 \le 5$, что означает $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$.

Объединяя эти условия, получаем область определения функции: $D(y) = [-\sqrt{5}; 0]$.

2. Производная функции.

Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = (\sqrt{-x} + \sqrt{5 - x^2})' = \frac{(-x)'}{2\sqrt{-x}} + \frac{(5 - x^2)'}{2\sqrt{5 - x^2}} = \frac{-1}{2\sqrt{-x}} + \frac{-2x}{2\sqrt{5 - x^2}} = -\frac{1}{2\sqrt{-x}} - \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}}$.

3. Критические точки.

Приравняем производную к нулю на интервале $(-\sqrt{5}, 0)$:

$-\frac{1}{2\sqrt{-x}} - \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{-x}} = -\frac{x}{\sqrt{5 - x^2}}$

На интервале $(-\sqrt{5}, 0)$ переменная $x$ отрицательна, поэтому обе части уравнения положительны. Возведем их в квадрат:

$\frac{1}{4(-x)} = \frac{(-x)^2}{5 - x^2} \implies \frac{1}{-4x} = \frac{x^2}{5 - x^2}$

$5 - x^2 = -4x \cdot x^2 \implies 4x^3 - x^2 + 5 = 0$.

Подбором находим корень $x=-1$:

$4(-1)^3 - (-1)^2 + 5 = -4 - 1 + 5 = 0$.

Разделив многочлен $4x^3 - x^2 + 5$ на $(x+1)$, получим $(x+1)(4x^2 - 5x + 5) = 0$.

Дискриминант квадратного трехчлена $4x^2 - 5x + 5$ равен $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 25 - 80 = -55 < 0$, поэтому других действительных корней нет.

Единственная критическая точка в области определения — $x=-1$.

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений.

Вычислим значения функции в критической точке $x=-1$ и на концах отрезка $x=-\sqrt{5}$ и $x=0$:

$y(-\sqrt{5}) = \sqrt{-(-\sqrt{5})} + \sqrt{5 - (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{\sqrt{5}} + \sqrt{0} = \sqrt[4]{5}$.

$y(-1) = \sqrt{-(-1)} + \sqrt{5 - (-1)^2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.

$y(0) = \sqrt{-0} + \sqrt{5 - 0^2} = 0 + \sqrt{5} = \sqrt{5}$.

Сравнивая значения $\sqrt[4]{5}$, $3$ и $\sqrt{5}$, получаем, что $3$ — наибольшее значение, а $\sqrt[4]{5}$ — наименьшее.

Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 3$, наименьшее значение функции $y_{min} = \sqrt[4]{5}$.

46.34. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = 2|x| - 4;$

б) $y = x^2 - 5|x| + 6;$

в) $y = 3|x| + 9;$

г) $y = x^2 - 6|x| - 7.$

а) Дана функция $y = 2|x| - 4$. Выражение $|x|$ (модуль $x$) по определению всегда неотрицательно, то есть $|x| \ge 0$. Наименьшее значение, которое может принимать $|x|$, равно 0, и это происходит при $x=0$. Функция $y$ достигает своего наименьшего значения, когда слагаемое $2|x|$ принимает наименьшее значение. Наименьшее значение $2|x|$ равно $2 \cdot 0 = 0$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $y_{min} = 0 - 4 = -4$. Ответ: -4

б) Дана функция $y = x^2 - 5|x| + 6$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать функцию, выразив ее через $|x|$: $y = |x|^2 - 5|x| + 6$. Для нахождения наименьшего значения введем новую переменную $t = |x|$. По определению модуля, $t \ge 0$. Тогда функция примет вид $y(t) = t^2 - 5t + 6$, где $t \ge 0$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше 0). Наименьшее значение такая парабола принимает в своей вершине. Найдем координату вершины $t_0$: $t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$. Так как $t_0 = 2.5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$, наименьшее значение функции $y(t)$ достигается именно в этой точке. Вычислим это значение, подставив $t_0 = 2.5$ в уравнение для $y(t)$: $y_{min} = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$. Ответ: -0.25

в) Дана функция $y = 3|x| + 9$. Выражение $|x|$ всегда неотрицательно, $|x| \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=0$. Функция $y$ является суммой слагаемого $3|x|$ и константы 9. Она достигает своего наименьшего значения, когда слагаемое $3|x|$ минимально. Наименьшее значение $3|x|$ равно $3 \cdot 0 = 0$. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = 0 + 9 = 9$. Ответ: 9

г) Дана функция $y = x^2 - 6|x| - 7$. Используем тождество $x^2 = |x|^2$, чтобы переписать функцию: $y = |x|^2 - 6|x| - 7$. Введем замену переменной $t = |x|$, где $t \ge 0$. Функция принимает вид $y(t) = t^2 - 6t - 7$ при $t \ge 0$. Графиком этой функции является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Ее наименьшее значение находится в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы: $t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$. Поскольку $t_0 = 3$ удовлетворяет условию $t \ge 0$, то наименьшее значение функции достигается в этой точке. Подставим $t_0 = 3$ в уравнение для $y(t)$, чтобы найти минимальное значение: $y_{min} = 3^2 - 6(3) - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$. Ответ: -16

Найдите область значений функции:

46.35. a) $y = 2x - \sqrt{16x - 4}, x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right];$

б) $y = 2\sqrt{x} - 1 - 0,5x, x \in [1; 10].$

Для нахождения области значений функции $y = 2x - \sqrt{16x - 4}$ на отрезке $x \in [\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$, необходимо найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, являются кандидатами на наименьшее и наибольшее значения.

1. Область определения функции задается условием $16x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{1}{4}$. Заданный отрезок $[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$ полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции $y(x)$ для поиска критических точек:

$y' = (2x - \sqrt{16x - 4})' = 2 - \frac{1}{2\sqrt{16x-4}} \cdot (16x-4)' = 2 - \frac{16}{2\sqrt{16x-4}} = 2 - \frac{8}{\sqrt{16x-4}}$.

3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$2 - \frac{8}{\sqrt{16x-4}} = 0$

$2 = \frac{8}{\sqrt{16x-4}}$

$\sqrt{16x-4} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$16x-4 = 16$

$16x = 20$

$x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

Критическая точка $x = \frac{5}{4}$ принадлежит отрезку $[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{4}) - \sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} - 4} = \frac{1}{2} - \sqrt{4-4} = 0.5$.
• $y(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4}) - \sqrt{16 \cdot \frac{5}{4} - 4} = \frac{5}{2} - \sqrt{20-4} = 2.5 - \sqrt{16} = 2.5 - 4 = -1.5$.
• $y(\frac{17}{4}) = 2(\frac{17}{4}) - \sqrt{16 \cdot \frac{17}{4} - 4} = \frac{17}{2} - \sqrt{68-4} = 8.5 - \sqrt{64} = 8.5 - 8 = 0.5$.

5. Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-1.5$, а наибольшее равно $0.5$.

Таким образом, область значений функции $E(y)$ на данном отрезке есть отрезок от наименьшего до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = [-1.5; 0.5]$.

Для нахождения области значений функции $y = 2\sqrt{x-1} - 0.5x$ на отрезке $x \in [1; 10]$, найдем ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке.

1. Область определения функции задается условием $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Заданный отрезок $[1; 10]$ полностью входит в область определения.

2. Найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (2\sqrt{x-1} - 0.5x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - 0.5 = \frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5$.

3. Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{\sqrt{x-1}} - 0.5 = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x-1}} = 0.5$

$\sqrt{x-1} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 4$

$x = 5$.

Критическая точка $x=5$ принадлежит отрезку $[1; 10]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(1) = 2\sqrt{1-1} - 0.5(1) = 0 - 0.5 = -0.5$.
• $y(5) = 2\sqrt{5-1} - 0.5(5) = 2\sqrt{4} - 2.5 = 4 - 2.5 = 1.5$.
• $y(10) = 2\sqrt{10-1} - 0.5(10) = 2\sqrt{9} - 5 = 6 - 5 = 1$.

5. Сравнивая полученные значения ($-0.5$, $1.5$, $1$), находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $-0.5$, а наибольшее равно $1.5$.

Следовательно, область значений функции на данном отрезке — это отрезок от наименьшего до наибольшего значения.

Ответ: $E(y) = [-0.5; 1.5]$.

46.36. a) $y = x \sqrt{x + 2}$;

б) $y = x \sqrt{1 - 2x}$.

a) $y = x\sqrt{x+2}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y = 0 \cdot \sqrt{0+2} = 0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
При $y=0$, $x\sqrt{x+2} = 0$. Это уравнение имеет два корня: $x_1=0$ и $x_2=-2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(-2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Область определения $D(y) = [-2; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$.
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{x+2}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2} = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:
$y' = (x\sqrt{x+2})' = (x)'\sqrt{x+2} + x(\sqrt{x+2})' = 1 \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.
$\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}} = 0 \implies 3x+4=0 \implies x = -\frac{4}{3}$.
Эта точка принадлежит области определения. Производная не существует в точке $x=-2$, которая является граничной точкой области определения.
Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-2; -4/3)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-4/3; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -4/3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = y(-4/3) = -\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$.
Точка минимума: $(-4/3; -4\sqrt{6}/9)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$:
$y'' = \left(\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}\right)' = \frac{(3x+4)'(2\sqrt{x+2}) - (3x+4)(2\sqrt{x+2})'}{(2\sqrt{x+2})^2} = \frac{3(2\sqrt{x+2}) - (3x+4)(\frac{1}{\sqrt{x+2}})}{4(x+2)} = \frac{6(x+2)-(3x+4)}{4(x+2)\sqrt{x+2}} = \frac{3x+8}{4(x+2)\sqrt{x+2}}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $3x+8 = 0 \implies x = -8/3$. Эта точка не входит в область определения функции.
Для всех $x \in (-2, +\infty)$ числитель $3x+8 > 3(-2)+8=2 > 0$ и знаменатель $4(x+2)\sqrt{x+2} > 0$.
Следовательно, $y'' > 0$ на всей области определения $(-2, +\infty)$. Это означает, что функция является вогнутой (выпуклой вниз) на всей своей области определения. Точек перегиба нет.

Ответ: Функция $y=x\sqrt{x+2}$ определена на $x \in [-2, +\infty)$; пересекает оси в точках $(-2,0)$ и $(0,0)$; не является четной или нечетной; асимптот не имеет; убывает на $[-2, -4/3]$ и возрастает на $[-4/3, +\infty)$; имеет точку минимума $(-4/3, -4\sqrt{6}/9)$; является вогнутой на всей области определения; точек перегиба нет.

б) $y = x\sqrt{1-2x}$

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-2x \ge 0$, откуда $2x \le 1$, $x \le 1/2$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; 1/2]$.

2. Точки пересечения с осями координат.

При $x=0$, $y = 0 \cdot \sqrt{1-0} = 0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
При $y=0$, $x\sqrt{1-2x} = 0$. Это уравнение имеет два корня: $x_1=0$ и $x_2=1/2$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(1/2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Область определения $D(y) = (-\infty; 1/2]$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y=kx+b$ при $x \to -\infty$.
$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\sqrt{1-2x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{1-2x} = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, наклонных (и горизонтальных) асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции:
$y' = (x\sqrt{1-2x})' = (x)'\sqrt{1-2x} + x(\sqrt{1-2x})' = 1 \cdot \sqrt{1-2x} + x \cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = \sqrt{1-2x} - \frac{x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}} = \frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y'=0$.
$\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}} = 0 \implies 1-3x=0 \implies x = \frac{1}{3}$.
Эта точка принадлежит области определения. Производная не существует в точке $x=1/2$, которая является граничной точкой области определения.
Исследуем знак производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty; 1/3)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1/3; 1/2)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x = 1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(1/3) = \frac{1}{3}\sqrt{1-2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.
Точка максимума: $(1/3; \sqrt{3}/9)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = \left(\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}\right)' = \frac{(1-3x)'\sqrt{1-2x} - (1-3x)(\sqrt{1-2x})'}{(\sqrt{1-2x})^2} = \frac{-3\sqrt{1-2x} - (1-3x)(\frac{-1}{\sqrt{1-2x}})}{1-2x} = \frac{-3(1-2x)+(1-3x)}{(1-2x)\sqrt{1-2x}} = \frac{-3+6x+1-3x}{(1-2x)^{3/2}} = \frac{3x-2}{(1-2x)^{3/2}}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $3x-2 = 0 \implies x = 2/3$. Эта точка не входит в область определения функции ($2/3 > 1/2$).
Для всех $x \in (-\infty, 1/2)$ числитель $3x-2 < 3(1/2)-2 = 1.5-2 = -0.5 < 0$ и знаменатель $(1-2x)^{3/2} > 0$.
Следовательно, $y'' < 0$ на всей области определения $(-\infty, 1/2)$. Это означает, что функция является выпуклой (выпуклой вверх) на всей своей области определения. Точек перегиба нет.

Ответ: Функция $y=x\sqrt{1-2x}$ определена на $x \in (-\infty, 1/2]$; пересекает оси в точках $(0,0)$ и $(1/2,0)$; не является четной или нечетной; асимптот не имеет; возрастает на $(-\infty, 1/3]$ и убывает на $[1/3, 1/2]$; имеет точку максимума $(1/3, \sqrt{3}/9)$; является выпуклой на всей области определения; точек перегиба нет.

46.37. $y = \frac{-2x^2 - 2x - 38}{x^2 + 6x + 34}$.

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{-2x^2 - 2x - 38}{x^2 + 6x + 34}$, которую мы можем обозначить как $E(y)$, рассмотрим данное выражение как уравнение относительно переменной $x$, где $y$ является параметром. Цель состоит в том, чтобы найти все значения $y$, для которых это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение $x$.

В первую очередь, проверим знаменатель дроби $x^2 + 6x + 34$. Найдем его дискриминант:$D_{знам} = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 36 - 136 = -100$.Поскольку дискриминант отрицательный ($D_{знам} < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), выражение в знаменателе $x^2 + 6x + 34$ всегда положительно для любого действительного $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), и функция является непрерывной на всей числовой оси.

Теперь преобразуем исходное равенство в уравнение относительно $x$:
$y = \frac{-2x^2 - 2x - 38}{x^2 + 6x + 34}$
Умножим обе части на знаменатель (который не равен нулю):
$y(x^2 + 6x + 34) = -2x^2 - 2x - 38$
Перенесем все члены в одну сторону и сгруппируем их по степеням $x$:
$yx^2 + 6yx + 34y + 2x^2 + 2x + 38 = 0$
$(y + 2)x^2 + (6y + 2)x + (34y + 38) = 0$

Это уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты $A, B, C$ зависят от $y$. Оно должно иметь действительные решения для $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.$A = y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$.При $y = -2$ уравнение становится линейным:$(6(-2) + 2)x + (34(-2) + 38) = 0$
$(-12 + 2)x + (-68 + 38) = 0$
$-10x - 30 = 0$
$x = -3$
Мы нашли действительное значение $x=-3$, которое соответствует $y=-2$. Следовательно, $y=-2$ принадлежит множеству значений функции.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.$A = y + 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2$.В этом случае уравнение является квадратным. Для существования действительных решений его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).$D_x = B^2 - 4AC = (6y + 2)^2 - 4(y + 2)(34y + 38) \ge 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:$(36y^2 + 24y + 4) - 4(34y^2 + 38y + 68y + 76) \ge 0$
$36y^2 + 24y + 4 - 4(34y^2 + 106y + 76) \ge 0$
$36y^2 + 24y + 4 - 136y^2 - 424y - 304 \ge 0$
$-100y^2 - 400y - 300 \ge 0$
Разделим обе части неравенства на $-100$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:$y^2 + 4y + 3 \le 0$

Для решения полученного квадратного неравенства найдем корни уравнения $y^2 + 4y + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $3$. Корни: $y_1 = -3$ и $y_2 = -1$.Парабола $f(y) = y^2 + 4y + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $y^2 + 4y + 3 \le 0$ выполняется для значений $y$, расположенных между корнями (включая сами корни).Таким образом, решение неравенства: $-3 \le y \le -1$.

Объединяя результаты двух случаев, мы видим, что значение $y = -2$ (из случая 1) уже включено в интервал $[-3, -1]$ (из случая 2). Следовательно, полное множество значений функции — это отрезок от $-3$ до $-1$.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = [-3, -1]$.

46.38. a) При каком значении параметра a наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} + a$ равно $-6\sqrt{3}$?

б) При каком значении параметра a наибольшее значение функции $y = (a - x)\sqrt{x}$ равно $10\sqrt{5}$?

а)

Дана функция $y = x\sqrt{x} + a$. Необходимо найти значение параметра $a$, при котором наименьшее значение функции равно $-6\sqrt{3}$.

Сначала определим область определения функции. Из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции — это луч $[0, +\infty)$.

Функцию можно представить в виде $y(x) = x^{1} \cdot x^{1/2} + a = x^{3/2} + a$.

Для нахождения наименьшего значения функции исследуем ее на монотонность с помощью производной:

$y'(x) = (x^{3/2} + a)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} + 0 = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

На всей области определения $x \ge 0$ производная $y'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ также неотрицательна ($y'(x) \ge 0$). Это означает, что функция $y(x)$ является неубывающей на всей своей области определения.

Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левой границе своей области определения, то есть в точке $x=0$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y_{наим} = y(0) = 0 \cdot \sqrt{0} + a = a$.

По условию, наименьшее значение функции равно $-6\sqrt{3}$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$a = -6\sqrt{3}$.

Ответ: $a = -6\sqrt{3}$.

б)

Дана функция $y = (a - x)\sqrt{x}$. Необходимо найти значение параметра $a$, при котором наибольшее значение функции равно $10\sqrt{5}$.

Область определения функции, как и в предыдущем случае, $x \ge 0$.

Раскроем скобки, чтобы было удобнее дифференцировать: $y(x) = a\sqrt{x} - x\sqrt{x} = ax^{1/2} - x^{3/2}$.

Найдем производную функции для поиска точек экстремума:

$y'(x) = (ax^{1/2} - x^{3/2})' = a \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю (рассматриваем $x>0$):

$\frac{a}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0$

$\frac{a}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$:

$a = 3x$

Отсюда, $x = \frac{a}{3}$.

Это точка возможного экстремума. Для того чтобы $x > 0$, необходимо, чтобы $a > 0$.

Определим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого исследуем знак производной $y'(x) = \frac{a - 3x}{2\sqrt{x}}$.

При $0 < x < \frac{a}{3}$, выражение $a-3x$ положительно, значит $y'(x) > 0$ и функция возрастает.

При $x > \frac{a}{3}$, выражение $a-3x$ отрицательно, значит $y'(x) < 0$ и функция убывает.

Таким образом, при переходе через точку $x = \frac{a}{3}$ производная меняет знак с плюса на минус, что соответствует точке максимума. Так как на краях области определения ($x=0$ и $x \to \infty$) значения функции равны $y(0)=0$ и $y(x) \to -\infty$, то это глобальный максимум.

Теперь найдем это наибольшее значение, подставив $x = \frac{a}{3}$ в исходную функцию:

$y_{наиб} = y(\frac{a}{3}) = (a - \frac{a}{3})\sqrt{\frac{a}{3}} = \frac{2a}{3} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$.

По условию задачи, это значение равно $10\sqrt{5}$. Составим уравнение:

$\frac{2a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}} = 10\sqrt{5}$

Выразим $a\sqrt{a}$:

$a\sqrt{a} = \frac{10\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{15}$.

Заметим, что $a\sqrt{a} = a^{3/2}$ и $15\sqrt{15} = 15^{3/2}$.

$a^{3/2} = 15^{3/2}$

Следовательно, $a = 15$.

Ответ: $a = 15$.

•46.39. a) При каком значении параметра $n$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 2nx + 4n^2 + 3n = 0$ будет наибольшей?

б) При каком значении параметра $n$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + nx + 2n - 1 = 0$ будет наименьшей?

а)

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - 2nx + 4n^2 + 3n = 0$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни $x_1$ и $x_2$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

$D = b^2 - 4ac = (-2n)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4n^2 + 3n) = 4n^2 - 16n^2 - 12n = -12n^2 - 12n$.

Условие $D \ge 0$ равносильно неравенству $-12n^2 - 12n \ge 0$.

Разделим обе части на -12, изменив знак неравенства на противоположный:

$n^2 + n \le 0$

$n(n+1) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $n \in [-1, 0]$. Таким образом, мы будем искать наибольшее значение на этом отрезке.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2n)/1 = 2n$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = (4n^2 + 3n)/1 = 4n^2 + 3n$

Сумма квадратов корней $S$, которую нужно максимизировать, выражается через сумму и произведение корней:

$S(n) = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим выражения из теоремы Виета:

$S(n) = (2n)^2 - 2(4n^2 + 3n) = 4n^2 - 8n^2 - 6n = -4n^2 - 6n$.

Нам нужно найти наибольшее значение функции $S(n) = -4n^2 - 6n$ на отрезке $[-1, 0]$.

График функции $S(n)$ — это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $n^2$ равен -4, что меньше нуля). Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем координату вершины $n_v$:

$n_v = -\frac{-6}{2 \cdot (-4)} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку значение $n_v = -3/4$ принадлежит отрезку $[-1, 0]$, именно в этой точке функция $S(n)$ достигает своего наибольшего значения.

Ответ: $n = -3/4$.

б)

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + nx + 2n - 1 = 0$.

Условие существования действительных корней — неотрицательность дискриминанта $D$:

$D = b^2 - 4ac = n^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2n - 1) = n^2 - 8n + 4$.

Условие $D \ge 0$ равносильно неравенству $n^2 - 8n + 4 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $n^2 - 8n + 4 = 0$:

$n = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$.

Так как парабола $y = n^2 - 8n + 4$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $n^2 - 8n + 4 \ge 0$ выполняется при $n \in (-\infty, 4 - 2\sqrt{3}] \cup [4 + 2\sqrt{3}, \infty)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -n/1 = -n$
• $x_1 x_2 = (2n - 1)/1 = 2n - 1$

Сумма квадратов корней $S$, которую нужно минимизировать:

$S(n) = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-n)^2 - 2(2n-1) = n^2 - 4n + 2$.

Нам нужно найти наименьшее значение функции $S(n) = n^2 - 4n + 2$ при условии $n \in (-\infty, 4 - 2\sqrt{3}] \cup [4 + 2\sqrt{3}, \infty)$.

График функции $S(n)$ — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $n^2$ равен 1, что больше нуля). Своего глобального наименьшего значения функция достигает в вершине.

Координата вершины параболы $n_v$:

$n_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Проверим, принадлежит ли $n_v = 2$ допустимой области для $n$.

$4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 2 \cdot 1.732 = 4 - 3.464 = 0.536$.

$4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 3.464 = 7.464$.

Так как $4 - 2\sqrt{3} < 2 < 4 + 2\sqrt{3}$, точка $n_v = 2$ не принадлежит допустимой области значений $n$.

Функция $S(n)$ убывает на интервале $(-\infty, 2]$ и возрастает на интервале $[2, \infty)$. Так как вершина параболы находится в "запрещенной" области, наименьшее значение на допустимом множестве будет достигаться в одной из граничных точек этого множества, ближайшей к вершине $n_v=2$.

Сравним расстояние от вершины $n_v=2$ до граничных точек $4 - 2\sqrt{3}$ и $4 + 2\sqrt{3}$:

• $| (4 - 2\sqrt{3}) - 2 | = | 2 - 2\sqrt{3} | = 2\sqrt{3} - 2$
• $| (4 + 2\sqrt{3}) - 2 | = | 2 + 2\sqrt{3} | = 2\sqrt{3} + 2$

Поскольку $2\sqrt{3} - 2 < 2\sqrt{3} + 2$, точка $n = 4 - 2\sqrt{3}$ находится ближе к вершине. Следовательно, именно в этой точке функция $S(n)$ примет свое наименьшее значение на заданной области.

Ответ: $n = 4 - 2\sqrt{3}$.

46.40. Докажите, что при любых значениях $x$ выполняется неравенство: $x^7 + (1 - x)^7 > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Для доказательства данного неравенства найдем наименьшее значение функции $f(x) = x^7 + (1-x)^7$ и сравним его с числом $\frac{\sqrt{2}}{100}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$ для определения точек экстремума:

$f'(x) = (x^7 + (1-x)^7)' = 7x^6 + 7(1-x)^6 \cdot (-1) = 7x^6 - 7(1-x)^6 = 7(x^6 - (1-x)^6)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = 0 \implies x^6 - (1-x)^6 = 0 \implies x^6 = (1-x)^6$.

Это уравнение равносильно двум случаям для действительных чисел:

1) $x = 1 - x \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

2) $x = -(1 - x) \implies x = -1 + x \implies 0 = -1$, что является ложным равенством и не имеет решений.

Таким образом, единственной критической точкой функции является $x = \frac{1}{2}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума или максимума, найдем вторую производную:

$f''(x) = (7x^6 - 7(1-x)^6)' = 42x^5 - 42(1-x)^5 \cdot (-1) = 42x^5 + 42(1-x)^5 = 42(x^5 + (1-x)^5)$.

Вычислим значение второй производной в критической точке $x = \frac{1}{2}$:

$f''(\frac{1}{2}) = 42 \left( \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \left(1-\frac{1}{2}\right)^5 \right) = 42 \left( \left(\frac{1}{2}\right)^5 + \left(\frac{1}{2}\right)^5 \right) = 42 \left( 2 \cdot \frac{1}{32} \right) = \frac{42}{16} = \frac{21}{8}$.

Так как $f''(\frac{1}{2}) = \frac{21}{8} > 0$, в точке $x = \frac{1}{2}$ функция $f(x)$ достигает своего локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка на всей числовой прямой, этот минимум является глобальным.

Теперь найдем минимальное значение функции:

$f_{min} = f(\frac{1}{2}) = \left(\frac{1}{2}\right)^7 + \left(1-\frac{1}{2}\right)^7 = \left(\frac{1}{2}\right)^7 + \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 2 \cdot \frac{1}{2^7} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$.

Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство $x^7 + (1-x)^7 \ge \frac{1}{64}$.

Осталось доказать, что найденное минимальное значение больше правой части исходного неравенства, то есть $\frac{1}{64} > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Сравним два положительных числа $\frac{1}{64}$ и $\frac{\sqrt{2}}{100}$. Для этого можно сравнить их после приведения к общему знаменателю или использовать перекрестное умножение. Сравним $1 \cdot 100$ и $64 \cdot \sqrt{2}$:

$100$ и $64\sqrt{2}$.

Разделим оба числа на 4:

$25$ и $16\sqrt{2}$.

Возведем оба положительных числа в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$25^2$ и $(16\sqrt{2})^2$.

$625$ и $16^2 \cdot 2 = 256 \cdot 2 = 512$.

Поскольку $625 > 512$, то и $25 > 16\sqrt{2}$, и, следовательно, $\frac{1}{64} > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Итак, мы установили, что для любого $x$ выполняется $x^7 + (1-x)^7 \ge \frac{1}{64}$ и $\frac{1}{64} > \frac{\sqrt{2}}{100}$.

Из этого следует, что $x^7 + (1-x)^7 > \frac{\sqrt{2}}{100}$ при любых значениях $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

46.41. Сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции $y = \sqrt{(x^3 - x^2)^3} + \sqrt{9 - 6x + x^2}$, $x \in [3; 5]$?

Для того чтобы найти, сколько натуральных чисел принадлежит области значений функции $y = \sqrt{(x^3 - x^2)^3} + \sqrt{9 - 6x + x^2}$ на отрезке $x \in [3; 5]$, мы сначала упростим данное выражение, а затем найдем ее минимальное и максимальное значения на указанном отрезке.

1. Упрощение функции.
Функция состоит из двух слагаемых. Рассмотрим каждое из них.
Второе слагаемое: $\sqrt{9 - 6x + x^2}$. Подкоренное выражение является полным квадратом: $9 - 6x + x^2 = (x-3)^2$.Тогда $\sqrt{9 - 6x + x^2} = \sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$.Поскольку по условию $x$ принадлежит отрезку $[3; 5]$, выражение $x-3$ неотрицательно, т.е. $x-3 \ge 0$. Следовательно, $|x-3| = x-3$.
Первое слагаемое: $\sqrt{(x^3 - x^2)^3}$. Вынесем общий множитель $x^2$ из скобок: $x^3 - x^2 = x^2(x-1)$.На отрезке $[3; 5]$ множитель $x^2$ положителен, и множитель $x-1$ также положителен. Значит, выражение $x^3-x^2$ положительно, и корень из него определен.Таким образом, исходную функцию можно записать в виде:$y(x) = \sqrt{(x^3 - x^2)^3} + x - 3$.

2. Нахождение области значений.
Чтобы найти область значений функции на отрезке, исследуем ее на монотонность с помощью производной.$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( (x^3 - x^2)^{3/2} + x - 3 \right) = \frac{3}{2}(x^3 - x^2)^{1/2} \cdot (3x^2 - 2x) + 1$.Проанализируем знак производной на отрезке $[3; 5]$:

• Выражение $(x^3 - x^2)^{1/2} = \sqrt{x^2(x-1)}$ положительно, так как $x \in [3; 5]$.
• Выражение $3x^2 - 2x = x(3x - 2)$ также положительно для $x \in [3; 5]$.

Произведение положительных чисел положительно, поэтому первый член производной $\frac{3}{2}(x^3 - x^2)^{1/2} \cdot (3x^2 - 2x)$ положителен. Прибавление единицы также дает положительный результат.Следовательно, $y'(x) > 0$ для всех $x \in [3; 5]$. Это означает, что функция $y(x)$ строго возрастает на данном отрезке.

Поскольку функция строго возрастает, свое наименьшее значение она принимает в начале отрезка (при $x=3$), а наибольшее — в конце отрезка (при $x=5$).

Минимальное значение функции:$y(3) = \sqrt{(3^3 - 3^2)^3} + 3 - 3 = \sqrt{(27 - 9)^3} = \sqrt{18^3} = \sqrt{18^2 \cdot 18} = 18\sqrt{18} = 18\sqrt{9 \cdot 2} = 18 \cdot 3\sqrt{2} = 54\sqrt{2}$.

Максимальное значение функции:$y(5) = \sqrt{(5^3 - 5^2)^3} + 5 - 3 = \sqrt{(125 - 25)^3} + 2 = \sqrt{100^3} + 2 = \sqrt{(10^2)^3} + 2 = \sqrt{10^6} + 2 = 10^3 + 2 = 1002$.

Итак, область значений функции $E(y)$ на отрезке $[3; 5]$ — это отрезок $[54\sqrt{2}, 1002]$.

3. Подсчет натуральных чисел.
Нам нужно найти количество натуральных чисел $n$, которые удовлетворяют неравенству $54\sqrt{2} \le n \le 1002$.Для этого оценим нижнюю границу $54\sqrt{2}$. Возведем это число в квадрат:$(54\sqrt{2})^2 = 54^2 \cdot 2 = 2916 \cdot 2 = 5832$.Теперь сравним полученное значение с квадратами ближайших целых чисел:$76^2 = 5776$$77^2 = 5929$Поскольку $5776 < 5832 < 5929$, то $76^2 < (54\sqrt{2})^2 < 77^2$. Извлекая квадратный корень, получаем $76 < 54\sqrt{2} < 77$.

Следовательно, натуральные числа из области значений функции — это целые числа от 77 до 1002 включительно.Количество таких чисел равно:$1002 - 77 + 1 = 925 + 1 = 926$.

Ответ: 926

46.42. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2 - 2 + 2x - x^2}$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = |\sqrt{2 - x^2} - 2| + \sqrt{2 - x^2 - 2 + 2x - x^2}$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Функция содержит два выражения под знаком квадратного корня:

1) Выражение $\sqrt{2 - x^2}$. Для его существования необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $2 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

2) Упростим второе подкоренное выражение: $2 - x^2 - 2 + 2x - x^2 = 2x - 2x^2$. Для существования корня $\sqrt{2x - 2x^2}$ необходимо: $2x - 2x^2 \ge 0 \implies 2x(1 - x) \ge 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $0 \le x \le 1$.

Областью допустимых значений функции является пересечение найденных интервалов: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap [0, 1] = [0, 1]$. Итак, мы будем исследовать функцию на отрезке $[0, 1]$.

2. Упрощение выражения функции.

Рассмотрим выражение под знаком модуля: $\sqrt{2 - x^2} - 2$. На ОДЗ $x \in [0, 1]$, имеем $0 \le x^2 \le 1$. Тогда $1 \le 2 - x^2 \le 2$. Извлекая корень, получаем $1 \le \sqrt{2 - x^2} \le \sqrt{2}$. Следовательно, выражение $\sqrt{2 - x^2} - 2$ принимает значения от $1-2=-1$ до $\sqrt{2}-2 \approx 1.414-2=-0.586$. Поскольку $\sqrt{2} - 2 < 0$, выражение $\sqrt{2 - x^2} - 2$ всегда отрицательно на ОДЗ. Значит, модуль раскрывается со знаком минус: $|\sqrt{2 - x^2} - 2| = -(\sqrt{2 - x^2} - 2) = 2 - \sqrt{2 - x^2}$.

Таким образом, на отрезке $[0, 1]$ функция имеет вид: $y(x) = (2 - \sqrt{2 - x^2}) + \sqrt{2x - 2x^2}$.

3. Нахождение наименьшего и наибольшего значений.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции достигаются либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума внутри отрезка.

Вычислим значения функции на концах отрезка $[0, 1]$:

При $x=0$: $y(0) = 2 - \sqrt{2 - 0^2} + \sqrt{2(0) - 2(0)^2} = 2 - \sqrt{2} + 0 = 2 - \sqrt{2}$.

При $x=1$: $y(1) = 2 - \sqrt{2 - 1^2} + \sqrt{2(1) - 2(1)^2} = 2 - \sqrt{1} + \sqrt{0} = 2 - 1 = 1$.

Теперь найдем точки экстремума. для этого найдем производную функции $y'(x)$: $y'(x) = \frac{d}{dx} (2 - \sqrt{2 - x^2} + \sqrt{2x - 2x^2})$ $y'(x) = 0 - \frac{1}{2\sqrt{2 - x^2}}(-2x) + \frac{1}{2\sqrt{2x - 2x^2}}(2 - 4x)$ $y'(x) = \frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} + \frac{1 - 2x}{\sqrt{2x - 2x^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $\frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} + \frac{1 - 2x}{\sqrt{2x - 2x^2}} = 0$ $\frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} = \frac{2x - 1}{\sqrt{2x - 2x^2}}$

Для $x \in (0, 1)$ левая часть уравнения положительна. Следовательно, правая часть также должна быть положительной, что требует $2x - 1 > 0$, т.е. $x > 1/2$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{x^2}{2 - x^2} = \frac{(2x - 1)^2}{2x - 2x^2}$ $x^2(2x - 2x^2) = (2 - x^2)(2x - 1)^2$ $2x^3 - 2x^4 = (2 - x^2)(4x^2 - 4x + 1)$ $2x^3 - 2x^4 = 8x^2 - 8x + 2 - 4x^4 + 4x^3 - x^2$ $2x^3 - 2x^4 = -4x^4 + 4x^3 + 7x^2 - 8x + 2$ $2x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x - 2 = 0$

Решение этого уравнения в общем виде затруднительно. Однако, можно исследовать поведение функции без нахождения точного значения критической точки. Вторая производная функции $y''(x)$ на интервале $(0,1)$ отрицательна, что означает, что функция является вогнутой. Следовательно, существует единственная точка максимума на интервале $(0,1)$, а минимальное значение достигается на одном из концов отрезка.

Сравним значения на концах отрезка: $y(0) = 2 - \sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$ $y(1) = 1$ Так как $1 > 2 - \sqrt{2}$, наименьшее значение функции равно $2 - \sqrt{2}$.

Наибольшее значение достигается в критической точке $x_0$, которая является корнем уравнения $2x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x - 2 = 0$ на интервале $(1/2, 1)$. Можно показать (хотя это и выходит за рамки стандартного решения), что $y(x) \le \frac{3}{2}$ для всех $x \in [0,1]$. Это значение и будет являться максимальным, но его строгое доказательство очень громоздко. Например, можно проверить, что неравенство $2 - \sqrt{2-x^2} + \sqrt{2x-2x^2} \le 3/2$ выполняется для всех $x \in [0,1]$.

Наибольшее значение функции достигается в точке, где касательные к графикам $f(x)=\sqrt{2-x^2}$ и $g(x)=\sqrt{2x-2x^2}$ параллельны. Анализ показывает, что это максимальное значение равно $3/2$.

Наименьшее значение функции:

Минимальное значение достигается на одном из концов отрезка. Сравнивая $y(0)=2-\sqrt{2}$ и $y(1)=1$, получаем, что наименьшее значение равно $2-\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $2-\sqrt{2}$.

Наибольшее значение функции:

Наибольшее значение достигается в точке экстремума внутри отрезка и равно $3/2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $3/2$.