Страница 285, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

46.50. а) Площадь прямоугольника составляет $16 \text{ см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

б) Площадь прямоугольника составляет $64 \text{ см}^2$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Для решения этой задачи воспользуемся известным фактом: из всех прямоугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет квадрат. Докажем это с помощью неравенства о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши).

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ задана и равна $S = a \cdot b$.

Периметр прямоугольника $P$ равен $P = 2(a + b)$. Нам нужно найти, при каких $a$ и $b$ значение $P$ будет наименьшим.

Согласно неравенству Коши для двух неотрицательных чисел, их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического: $$ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} $$ Равенство в этом неравенстве достигается только в том случае, когда $a = b$.

Выразим из этого неравенства сумму сторон $a+b$: $$ a+b \ge 2\sqrt{ab} $$ Теперь подставим это в формулу периметра: $$ P = 2(a+b) \ge 2(2\sqrt{ab}) = 4\sqrt{ab} $$ Так как по условию площадь $S = ab$, мы можем переписать неравенство: $$ P \ge 4\sqrt{S} $$ Это означает, что периметр $P$ всегда будет больше или равен величине $4\sqrt{S}$. Наименьшее возможное значение периметра достигается при условии равенства в неравенстве Коши, то есть когда $a=b$. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Таким образом, для нахождения размеров прямоугольника с наименьшим периметром при заданной площади нужно найти сторону квадрата с такой же площадью.

а)

Дана площадь прямоугольника $S = 16 \text{ см}^2$.

Чтобы периметр был наименьшим, прямоугольник должен быть квадратом. Пусть сторона квадрата равна $a$.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$.

Найдем сторону $a$, зная площадь: $$ a^2 = 16 \text{ см}^2 $$ $$ a = \sqrt{16} = 4 \text{ см} $$ Следовательно, размеры прямоугольника, при которых его периметр будет наименьшим, — это 4 см на 4 см.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 4 см на 4 см.

б)

Дана площадь прямоугольника $S = 64 \text{ см}^2$.

Аналогично предыдущему пункту, для достижения наименьшего периметра при заданной площади прямоугольник должен быть квадратом. Пусть его сторона равна $a$.

Найдем сторону $a$ из формулы площади квадрата: $$ a^2 = 64 \text{ см}^2 $$ $$ a = \sqrt{64} = 8 \text{ см} $$ Значит, искомые размеры — 8 см на 8 см.

Ответ: размеры прямоугольника должны быть 8 см на 8 см.

46.51. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью $2500 \text{ м}^2$. Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки-рабицы?

Пусть стороны прямоугольной спортивной площадки равны $a$ и $b$ метров.

Площадь площадки $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$

По условию задачи, площадь равна 2500 м?: $a \cdot b = 2500$

Количество сетки-рабицы для забора равно периметру прямоугольника $P$, который вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения $a$ и $b$, при которых периметр $P$ будет наименьшим.

Из формулы площади выразим одну переменную через другую, например, $b$: $b = \frac{2500}{a}$

Подставим это выражение в формулу периметра, чтобы получить функцию периметра, зависящую только от одной переменной $a$: $P(a) = 2 \left( a + \frac{2500}{a} \right) = 2a + \frac{5000}{a}$

Для нахождения наименьшего значения функции, найдем её производную по переменной $a$ и приравняем её к нулю. Это позволит найти точки экстремума (в данном случае, точку минимума).

Находим производную функции $P(a)$: $P'(a) = \left( 2a + \frac{5000}{a} \right)' = (2a)' + (5000a^{-1})' = 2 - 5000a^{-2} = 2 - \frac{5000}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $P'(a) = 0$ $2 - \frac{5000}{a^2} = 0$

Решим полученное уравнение: $2 = \frac{5000}{a^2}$ $2a^2 = 5000$ $a^2 = 2500$

Так как длина стороны $a$ должна быть положительным числом, извлекаем квадратный корень: $a = \sqrt{2500} = 50$ м.

Чтобы убедиться, что при $a = 50$ м периметр будет наименьшим, а не наибольшим, найдем вторую производную: $P''(a) = \left( 2 - 5000a^{-2} \right)' = 10000a^{-3} = \frac{10000}{a^3}$

При $a = 50$, вторая производная $P''(50) = \frac{10000}{50^3} > 0$. Так как вторая производная положительна, точка $a = 50$ является точкой минимума.

Теперь найдем длину второй стороны $b$: $b = \frac{2500}{a} = \frac{2500}{50} = 50$ м.

Таким образом, для того чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки, площадка должна иметь форму квадрата со стороной 50 метров.

Ответ: размеры площадки должны быть 50 м на 50 м.

46.52. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки P и E так, что $BP = BE = 3 \text{ см}$.

На сторонах AD и CD берутся точки соответственно K и M так, что четырёхугольник KREM — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину $A$ квадрата $ABCD$ в начало координат. Так как сторона квадрата равна 8 см, вершины будут иметь следующие координаты: $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(8, 8)$ и $D(0, 8)$.

Найдем координаты точек $P$ и $E$.Точка $P$ лежит на стороне $AB$ (ось $Ox$), и по условию $BP = 3$ см. Длина $AB = 8$ см, значит $AP = AB - BP = 8 - 3 = 5$ см. Координаты точки $P$ будут $(5, 0)$.Точка $E$ лежит на стороне $BC$ (прямая $x=8$), и по условию $BE = 3$ см. Координаты точки $B$ — $(8, 0)$, поэтому координаты точки $E$ будут $(8, 3)$.

Точка $K$ лежит на стороне $AD$ (ось $Oy$), а точка $M$ — на стороне $CD$ (прямая $y=8$). Обозначим длины отрезков $AK = k$ и $DM = m$. В этом случае $0 \le k \le 8$ и $0 \le m \le 8$. Координаты этих точек будут $K(0, k)$ и $M(m, 8)$.

Четырехугольник $KPEM$ является трапецией, если у него есть одна пара параллельных сторон. Противоположными сторонами являются $KP$ и $EM$, а также $KE$ и $PM$. Параллельность прямых означает равенство их угловых коэффициентов.

Найдем угловые коэффициенты прямых:

• Угловой коэффициент $k_{KP} = \frac{k - 0}{0 - 5} = -\frac{k}{5}$
• Угловой коэффициент $k_{EM} = \frac{8 - 3}{m - 8} = \frac{5}{m - 8}$
• Угловой коэффициент $k_{KE} = \frac{3 - k}{8 - 0} = \frac{3 - k}{8}$
• Угловой коэффициент $k_{PM} = \frac{8 - 0}{m - 5} = \frac{8}{m - 5}$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Стороны $KE$ и $PM$ параллельны. Тогда $k_{KE} = k_{PM}$:$ \frac{3 - k}{8} = \frac{8}{m - 5} $$ (3 - k)(m - 5) = 64 $Поскольку $0 \le k \le 8$, то $-5 \le 3 - k \le 3$.Поскольку $0 \le m \le 8$, то $-5 \le m - 5 \le 3$.Произведение двух чисел из отрезка $[-5, 3]$ может дать максимальное значение $ (-5) \times (-5) = 25 $. Так как $25 < 64$, это равенство не может выполняться. Следовательно, стороны $KE$ и $PM$ не могут быть параллельны.

2. Стороны $KP$ и $EM$ параллельны. Тогда $k_{KP} = k_{EM}$:$ -\frac{k}{5} = \frac{5}{m - 8} $$ -k(m - 8) = 25 $$ k(8 - m) = 25 $Это условие должно выполняться. Из него мы можем выразить одну переменную через другую, например, $k = \frac{25}{8 - m}$.Поскольку $0 < k \le 8$, то $0 < \frac{25}{8 - m} \le 8$.Из $ \frac{25}{8 - m} > 0 $ следует, что $8 - m > 0$, то есть $m < 8$.Из $ \frac{25}{8 - m} \le 8 $ следует, что $25 \le 8(8 - m) \implies 25 \le 64 - 8m \implies 8m \le 39 \implies m \le \frac{39}{8} = 4.875$.Таким образом, для переменной $m$ действует ограничение $0 \le m \le \frac{39}{8}$.

Теперь найдем площадь трапеции $S_{KPEM}$. Проще всего это сделать, вычтя из площади всего квадрата $S_{ABCD}$ площади четырех угловых фигур: треугольников $APK$, $PBE$, $KDM$ и четырехугольника $MCBE$. Нет, удобнее вычесть треугольники $APK$, $PBE$, $ECM$ и $KDM$.$S_{ABCD} = 8^2 = 64$ см?.

• $S_{\triangle APK} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot k = 2.5k$
• $S_{\triangle PBE} = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$
• $S_{\triangle KDM} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot (8-k) \cdot m = 4m - 0.5km$
• $S_{\triangle ECM} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot (8-3) \cdot (8-m) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (8-m) = 20 - 2.5m$

$S_{KPEM} = S_{ABCD} - S_{\triangle APK} - S_{\triangle PBE} - S_{\triangle KDM} - S_{\triangle ECM}$$S = 64 - 2.5k - 4.5 - (4m - 0.5km) - (20 - 2.5m)$$S = 39.5 - 2.5k - 4m + 0.5km + 2.5m = 39.5 - 2.5k - 1.5m + 0.5km$

Из условия $k(8 - m) = 25$ имеем $8k - km = 25$, откуда $km = 8k - 25$. Подставим это в формулу для площади:$S = 39.5 - 2.5k - 1.5m + 0.5(8k - 25)$$S = 39.5 - 2.5k - 1.5m + 4k - 12.5 = 27 + 1.5k - 1.5m$Теперь выразим $m$ из условия: $8 - m = \frac{25}{k} \implies m = 8 - \frac{25}{k}$.$S(k) = 27 + 1.5k - 1.5(8 - \frac{25}{k}) = 27 + 1.5k - 12 + \frac{37.5}{k} = 15 + 1.5k + \frac{37.5}{k}$$S(k) = 15 + 1.5(k + \frac{25}{k})$

Нужно найти наибольшее значение этой функции. Определим диапазон для $k$. Так как $0 \le m \le \frac{39}{8}$, то для $k = \frac{25}{8-m}$ получаем:При $m=0$, $k = \frac{25}{8}$.При $m=\frac{39}{8}$, $k = \frac{25}{8 - 39/8} = \frac{25}{25/8} = 8$.Таким образом, $k$ изменяется на отрезке $[\frac{25}{8}, 8]$.

Исследуем функцию $f(k) = k + \frac{25}{k}$ на отрезке $[\frac{25}{8}, 8]$.Найдем производную: $f'(k) = 1 - \frac{25}{k^2}$.Приравняем производную к нулю: $1 - \frac{25}{k^2} = 0 \implies k^2 = 25 \implies k=5$ (так как $k>0$).Точка $k=5$ принадлежит отрезку $[\frac{25}{8}, 8]$ (т.к. $3.125 \le 5 \le 8$).Вторая производная $f''(k) = \frac{50}{k^3} > 0$ при $k>0$, значит, в точке $k=5$ находится минимум функции.Следовательно, наибольшее значение функция $S(k)$ достигает на одном из концов отрезка $[\frac{25}{8}, 8]$.

Вычислим значения площади на концах отрезка:При $k = \frac{25}{8}$:$ S(\frac{25}{8}) = 15 + 1.5(\frac{25}{8} + \frac{25}{25/8}) = 15 + 1.5(\frac{25}{8} + 8) = 15 + 1.5(\frac{25+64}{8}) = 15 + 1.5 \cdot \frac{89}{8} = 15 + \frac{3}{2} \cdot \frac{89}{8} = 15 + \frac{267}{16} = \frac{240+267}{16} = \frac{507}{16} $

При $k = 8$:$ S(8) = 15 + 1.5(8 + \frac{25}{8}) = 15 + 1.5(\frac{64+25}{8}) = 15 + 1.5 \cdot \frac{89}{8} = \frac{507}{16} $

Наибольшая площадь в обоих случаях одинакова и равна $\frac{507}{16} = 31.6875$ см?.

Ответ: $31.6875$ см?.

46.53. а) В арифметической прогрессии с разностью $d$ девятый член равен 1. При каком значении $d$ произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим?

б) В арифметической прогрессии с разностью $d$ второй член равен 6. При каком значении $d$ произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?

Пусть $a_n$ — n-й член арифметической прогрессии с разностью $d$. По условию, девятый член равен 1, то есть $a_9 = 1$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение четвёртого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим. Выразим эти члены через $a_9$ и $d$, используя формулу $a_n = a_k + (n-k)d$.

$a_4 = a_9 + (4-9)d = 1 - 5d$

$a_7 = a_9 + (7-9)d = 1 - 2d$

$a_8 = a_9 + (8-9)d = 1 - d$

Произведение этих членов представляет собой функцию от $d$:

$P(d) = a_4 \cdot a_7 \cdot a_8 = (1 - 5d)(1 - 2d)(1 - d)$

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен:

$P(d) = (1 - 2d - 5d + 10d^2)(1 - d) = (1 - 7d + 10d^2)(1 - d) = 1 - d - 7d + 7d^2 + 10d^2 - 10d^3 = -10d^3 + 17d^2 - 8d + 1$

Чтобы найти наибольшее значение функции, найдём её производную по $d$ и приравняем к нулю:

$P'(d) = (-10d^3 + 17d^2 - 8d + 1)' = -30d^2 + 34d - 8$

Решим уравнение $P'(d) = 0$:

$-30d^2 + 34d - 8 = 0$

Разделим обе части на -2:

$15d^2 - 17d + 4 = 0$

Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 4 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$d_1 = \frac{17 - 7}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$d_2 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 15} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

Это стационарные точки. Чтобы определить, какая из них является точкой максимума, найдём вторую производную:

$P''(d) = (-30d^2 + 34d - 8)' = -60d + 34$

Проверим знак второй производной в этих точках:

При $d = \frac{1}{3}$: $P''(\frac{1}{3}) = -60(\frac{1}{3}) + 34 = -20 + 34 = 14 > 0$. Следовательно, это точка локального минимума.

При $d = \frac{4}{5}$: $P''(\frac{4}{5}) = -60(\frac{4}{5}) + 34 = -48 + 34 = -14 < 0$. Следовательно, это точка локального максимума.

Таким образом, произведение будет наибольшим при $d = \frac{4}{5}$.

Ответ: $d = \frac{4}{5}$.

По условию, второй член арифметической прогрессии равен 6, то есть $a_2 = 6$.

Требуется найти значение $d$, при котором произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим. Выразим эти члены через $a_2$ и $d$.

$a_1 = a_2 - d = 6 - d$

$a_3 = a_2 + d = 6 + d$

$a_6 = a_2 + (6-2)d = 6 + 4d$

Произведение этих членов как функция от $d$:

$Q(d) = a_1 \cdot a_3 \cdot a_6 = (6 - d)(6 + d)(6 + 4d)$

Упростим выражение:

$Q(d) = (36 - d^2)(6 + 4d) = 216 + 144d - 6d^2 - 4d^3 = -4d^3 - 6d^2 + 144d + 216$

Для нахождения наименьшего значения найдём производную функции $Q(d)$ и приравняем её к нулю:

$Q'(d) = (-4d^3 - 6d^2 + 144d + 216)' = -12d^2 - 12d + 144$

Решим уравнение $Q'(d) = 0$:

$-12d^2 - 12d + 144 = 0$

Разделим обе части на -12:

$d^2 + d - 12 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$d_1 = 3$, $d_2 = -4$

Это стационарные точки. Чтобы определить, какая из них является точкой минимума, воспользуемся второй производной:

$Q''(d) = (-12d^2 - 12d + 144)' = -24d - 12$

Проверим знак второй производной в найденных точках:

При $d = 3$: $Q''(3) = -24(3) - 12 = -72 - 12 = -84 < 0$. Следовательно, это точка локального максимума.

При $d = -4$: $Q''(-4) = -24(-4) - 12 = 96 - 12 = 84 > 0$. Следовательно, это точка локального минимума.

Таким образом, произведение будет наименьшим при $d = -4$.

Ответ: $d = -4$.

46.54. a) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $y = 2x^2$ (снизу), $y = 4x$ (сверху) и параллелен оси $y$.

б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключён между графиками функций $y = x^2$ (снизу), $y = -2x$ (сверху) и параллелен оси $y$.

а)

Длина вертикального отрезка, заключенного между графиками двух функций при заданном значении $x$, равна разности значений этих функций. Верхняя граница задана функцией $y_{верх} = 4x$, а нижняя — функцией $y_{низ} = 2x^2$.

Таким образом, длина отрезка $L$ в зависимости от $x$ выражается формулой:

$L(x) = y_{верх} - y_{низ} = 4x - 2x^2$

Чтобы найти область, в которой отрезок существует, найдем точки пересечения графиков функций, решив уравнение:

$4x = 2x^2$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$

Точки пересечения находятся при $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это означает, что отрезок заключен между графиками на интервале $x \in [0, 2]$.

Нам нужно найти наибольшее значение функции $L(x) = -2x^2 + 4x$ на отрезке $[0, 2]$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, своего наибольшего значения она достигает в вершине.

Координата $x$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $L(x)$ имеем $a = -2$ и $b = 4$:

$x_0 = -\frac{4}{2(-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$

Значение $x_0 = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$, значит, в этой точке функция $L(x)$ достигает своего максимума. Найдем это максимальное значение:

$L(1) = 4(1) - 2(1)^2 = 4 - 2 = 2$

Ответ: 2

б)

Аналогично пункту а), найдем функцию длины вертикального отрезка. Верхняя граница задана функцией $y_{верх} = -2x$, а нижняя — функцией $y_{низ} = x^2$.

Длина отрезка $L$ в зависимости от $x$ равна:

$L(x) = y_{верх} - y_{низ} = (-2x) - (x^2) = -x^2 - 2x$

Найдем точки пересечения графиков, чтобы определить область существования отрезка:

$x^2 = -2x$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x + 2) = 0$

Точки пересечения находятся при $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Таким образом, мы ищем наибольшее значение длины на отрезке $x \in [-2, 0]$.

Функция $L(x) = -x^2 - 2x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Ее максимум находится в вершине. Найдем координату $x$ вершины ($a = -1$, $b = -2$):

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1$

Значение $x_0 = -1$ принадлежит отрезку $[-2, 0]$. Теперь вычислим наибольшую длину, подставив это значение в функцию $L(x)$:

$L(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

Ответ: 1

46.55. a) На графике функции $y = x^2$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A(0; 1,5)$.

б) На графике функции $y = \sqrt{x}$ найдите точку $M$, ближайшую к точке $A(4,5; 0)$.

а) Пусть точка $M$ на графике функции $y = x^2$ имеет координаты $(x_M, y_M)$. Так как точка лежит на параболе, ее координаты можно записать как $M(x, x^2)$. Координаты точки $A$ равны $(0; 1,5)$.
Найдем квадрат расстояния между точками $A$ и $M$ по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:
$d^2 = (x - 0)^2 + (x^2 - 1,5)^2 = x^2 + (x^2 - 1,5)^2$.
Чтобы найти ближайшую точку, нужно минимизировать расстояние $d$, что эквивалентно минимизации квадрата расстояния $d^2$. Введем функцию $f(x) = d^2 = x^2 + (x^2 - 1,5)^2$.
Раскроем скобки: $f(x) = x^2 + x^4 - 3x^2 + 2,25 = x^4 - 2x^2 + 2,25$.
Для нахождения точки минимума найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю:
$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 2,25)' = 4x^3 - 4x$.
$f'(x) = 0 \implies 4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0$.
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$. Это стационарные точки.
Чтобы определить, какие из них являются точками минимума, исследуем знак производной на интервалах.
При $x < -1$, $f'(x) < 0$ (функция убывает).
При $-1 < x < 0$, $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Значит, $x = -1$ — точка минимума.
При $0 < x < 1$, $f'(x) < 0$ (функция убывает). Значит, $x = 0$ — точка максимума.
При $x > 1$, $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Значит, $x = 1$ — точка минимума.
Таким образом, минимальное расстояние достигается в двух точках: при $x = -1$ и $x = 1$.
Найдем ординаты этих точек:
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Координаты точки $M_1(-1; 1)$.
Если $x = 1$, то $y = 1^2 = 1$. Координаты точки $M_2(1; 1)$.
Ответ: $M_1(-1; 1)$ и $M_2(1; 1)$.

б) Пусть точка $M$ на графике функции $y = \sqrt{x}$ имеет координаты $(x, \sqrt{x})$. Область определения функции $x \ge 0$. Координаты точки $A$ равны $(4,5; 0)$.
Найдем квадрат расстояния между точками $A$ и $M$:
$d^2 = (x - 4,5)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2 = (x - 4,5)^2 + x$.
Введем функцию $g(x) = d^2 = (x - 4,5)^2 + x$ для $x \ge 0$.
Раскроем скобки: $g(x) = x^2 - 9x + 20,25 + x = x^2 - 8x + 20,25$.
Для нахождения точки минимума найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x^2 - 8x + 20,25)' = 2x - 8$.
Приравняем производную к нулю: $g'(x) = 0 \implies 2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
Найденная точка $x = 4$ принадлежит области определения $x \ge 0$.
Так как $g(x)$ является параболой с ветвями вверх, то в точке $x = 4$ она достигает своего единственного минимума.
Найдем ординату точки $M$:
$y = \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$.
Следовательно, искомая точка $M$ имеет координаты $(4; 2)$.
Ответ: $M(4; 2)$.

46.56. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

По условию, боковые стороны трапеции и одно из оснований равны 15 см. Так как боковые стороны равны, трапеция является равнобокой.

Обозначим:

• $a = 15$ см — длина известного основания.
• $c = 15$ см — длина боковых сторон.
• $x$ — длина второго, неизвестного основания.
• $h$ — высота трапеции.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a+x}{2} \cdot h = \frac{15+x}{2} \cdot h$

Чтобы выразить высоту $h$ через $x$, опустим из вершин меньшего основания перпендикуляры на большее основание. В равнобокой трапеции эти перпендикуляры отсекают два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого такого треугольника, лежащий на большем основании, равен полуразности длин оснований. Длина этого катета равна $\frac{|x - a|}{2} = \frac{|x - 15|}{2}$.

По теореме Пифагора для одного из этих прямоугольных треугольников: $h^2 + \left(\frac{|x - 15|}{2}\right)^2 = c^2$ $h^2 = 15^2 - \frac{(x - 15)^2}{4} = 225 - \frac{(x-15)^2}{4}$ Отсюда высота $h$: $h = \sqrt{225 - \frac{(x-15)^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{900 - (x-15)^2}$

Теперь подставим выражение для $h$ в формулу площади, чтобы получить площадь как функцию от $x$: $S(x) = \frac{15+x}{2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{900 - (x-15)^2} = \frac{15+x}{4}\sqrt{900 - (x-15)^2}$

Чтобы найти значение $x$, при котором площадь будет наибольшей, нужно найти максимум функции $S(x)$. Для упрощения вычислений можно найти максимум квадрата площади $S^2(x)$, так как функция $S(x)$ положительна, и ее максимум будет достигаться при том же значении $x$, что и максимум $S^2(x)$.

Пусть $f(x) = S^2(x)$: $f(x) = \left(\frac{15+x}{4}\right)^2 \left(900 - (x-15)^2\right)$ $f(x) = \frac{(x+15)^2}{16} \left(900 - (x^2 - 30x + 225)\right)$ $f(x) = \frac{(x+15)^2}{16} (675 + 30x - x^2)$ Разложим на множители выражение в скобках: $675 + 30x - x^2 = -(x^2 - 30x - 675) = -(x-45)(x+15) = (45-x)(x+15)$. $f(x) = \frac{(x+15)^2}{16} (45-x)(x+15) = \frac{1}{16}(x+15)^3(45-x)$

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $f'(x) = \frac{1}{16} \left[ ( (x+15)^3 )' \cdot (45-x) + (x+15)^3 \cdot (45-x)' \right]$ $f'(x) = \frac{1}{16} \left[ 3(x+15)^2 \cdot (45-x) + (x+15)^3 \cdot (-1) \right]$ Вынесем общий множитель $(x+15)^2$ за скобки: $f'(x) = \frac{1}{16} (x+15)^2 \left[ 3(45-x) - (x+15) \right]$ $f'(x) = \frac{1}{16} (x+15)^2 (135 - 3x - x - 15)$ $f'(x) = \frac{1}{16} (x+15)^2 (120 - 4x)$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{16} (x+15)^2 (120 - 4x) = 0$ Так как длина основания $x$ должна быть положительной, $x > 0$, то множитель $(x+15)^2$ не равен нулю. Значит, $120 - 4x = 0$ $4x = 120$ $x = 30$

Чтобы убедиться, что $x=30$ является точкой максимума, исследуем знак производной $f'(x)$ в окрестности этой точки.

• При $0 < x < 30$, например $x=16$, $120 - 4x = 120 - 64 = 56 > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
• При $x > 30$, например $x=31$, $120 - 4x = 120 - 124 = -4 < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $x=30$, эта точка является точкой максимума.

Таким образом, площадь трапеции будет наибольшей, когда длина второго основания составляет 30 см.

Ответ: 30 см.

46.57. Из прямоугольной трапеции с основанием $a$ и $b$ и высотой $h$ вырезают прямоугольник наибольшей площади.

Чему равна эта площадь, если:

а) $a = 80, b = 60, h = 100;$

б) $a = 24, b = 8, h = 12?$

Для решения задачи оптимизации найдем площадь вписанного прямоугольника как функцию одной переменной, а затем найдем максимум этой функции.

Поместим прямоугольную трапецию в декартову систему координат. Пусть одна из вершин находится в начале координат, большее основание лежит на оси абсцисс, а боковая сторона, перпендикулярная основаниям, — на оси ординат. Обозначим большее основание как $a_{long}$ и меньшее как $a_{short}$.

Вершины трапеции будут иметь координаты $(0, 0)$, $(a_{long}, 0)$, $(a_{short}, h)$ и $(0, h)$.

Будем вписывать прямоугольник так, чтобы одна из его сторон лежала на перпендикулярной боковой стороне трапеции (оси $y$), а другая — на большем основании (оси $x$). Пусть стороны прямоугольника равны $x$ и $y$. Тогда его площадь $S = xy$.

Чтобы прямоугольник был вписан в трапецию, его вершина с координатами $(x, y)$ должна лежать на наклонной боковой стороне трапеции. Найдем уравнение прямой, содержащей эту сторону. Прямая проходит через точки $(a_{long}, 0)$ и $(a_{short}, h)$.

Угловой коэффициент прямой: $k = \frac{h - 0}{a_{short} - a_{long}} = -\frac{h}{a_{long} - a_{short}}$.

Уравнение прямой: $Y - 0 = k(X - a_{long})$, то есть $Y = -\frac{h}{a_{long} - a_{short}}(X - a_{long})$.

Поскольку точка $(x, y)$ лежит на этой прямой, ее координаты связаны соотношением: $y = -\frac{h}{a_{long} - a_{short}}(x - a_{long})$.

Выразим $x$ через $y$: $x = a_{long} - \frac{a_{long} - a_{short}}{h}y$.

Теперь площадь прямоугольника можно выразить как функцию от высоты $y$:

$S(y) = x \cdot y = \left(a_{long} - \frac{a_{long} - a_{short}}{h}y\right)y = a_{long}y - \frac{a_{long} - a_{short}}{h}y^2$.

Это квадратичная функция от $y$, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум достигается в вершине параболы. Высота $y$ может изменяться в пределах от $0$ до $h$.

а) $a = 80, b = 60, h = 100$

В этом случае $a_{long} = 80$, $a_{short} = 60$, $h = 100$.

Функция площади имеет вид:

$S(y) = 80y - \frac{80 - 60}{100}y^2 = 80y - \frac{20}{100}y^2 = 80y - \frac{1}{5}y^2$.

Найдем вершину параболы. Координата $y_v$ вершины параболы $f(t) = ct+dt^2$ находится по формуле $y_v = -\frac{c}{2d}$.

$y_v = -\frac{80}{2 \cdot (-\frac{1}{5})} = \frac{80}{\frac{2}{5}} = \frac{80 \cdot 5}{2} = 200$.

Высота прямоугольника $y$ должна быть в диапазоне $[0, 100]$. Поскольку вершина параболы $y_v = 200$ находится за пределами этого диапазона, а ветви параболы направлены вниз, максимальное значение функции на отрезке $[0, 100]$ достигается на правом конце отрезка, то есть при $y = 100$.

Вычислим максимальную площадь:

$S_{max} = S(100) = 80 \cdot 100 - \frac{1}{5}(100)^2 = 8000 - \frac{10000}{5} = 8000 - 2000 = 6000$.

Ответ: 6000.

б) $a = 24, b = 8, h = 12$

Здесь $a_{long} = 24$, $a_{short} = 8$, $h = 12$.

Функция площади имеет вид:

$S(y) = 24y - \frac{24 - 8}{12}y^2 = 24y - \frac{16}{12}y^2 = 24y - \frac{4}{3}y^2$.

Найдем вершину параболы:

$y_v = -\frac{24}{2 \cdot (-\frac{4}{3})} = \frac{24}{\frac{8}{3}} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$.

Высота прямоугольника $y$ должна быть в диапазоне $[0, 12]$. Вершина параболы $y_v = 9$ находится внутри этого диапазона, следовательно, максимальное значение функции достигается именно в этой точке.

Вычислим максимальную площадь:

$S_{max} = S(9) = 24 \cdot 9 - \frac{4}{3}(9)^2 = 216 - \frac{4}{3} \cdot 81 = 216 - 4 \cdot 27 = 216 - 108 = 108$.

Ответ: 108.