Страница 292, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. В чём состоит геометрический смысл модуля комплексного числа?

1. В чём состоит геометрический смысл модуля комплексного числа?

Каждому комплексному числу вида $z = x + iy$, где $x$ – действительная часть, а $y$ – мнимая часть, можно сопоставить точку $M(x, y)$ на двумерной плоскости, которую называют комплексной плоскостью. В этой плоскости горизонтальная ось (ось абсцисс) является действительной осью, на ней откладывается действительная часть числа, а вертикальная ось (ось ординат) – мнимой осью, на ней откладывается мнимая часть.

Модулем комплексного числа $z = x + iy$ называется неотрицательное действительное число $|z|$, которое вычисляется по формуле:
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

С точки зрения геометрии, эта формула является формулой расстояния от начала координат $O(0, 0)$ до точки $M(x, y)$ в декартовой системе координат.

Таким образом, геометрический смысл модуля комплексного числа – это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости, которая соответствует этому числу. Иначе говоря, это длина радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку, изображающую данное комплексное число.

Например, рассмотрим число $z = 3 + 4i$. На комплексной плоскости ему соответствует точка с координатами $(3, 4)$. Модуль этого числа равен $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $(3, 4)$ до начала координат $(0, 0)$ равно 5.

Ответ: Геометрический смысл модуля комплексного числа — это расстояние от точки, изображающей это число на комплексной плоскости, до начала координат.

2. Сформулируйте критерий равенства комплексных чисел $\rho(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ и $r(\cos \beta + i \sin \beta)$.

Критерий равенства двух комплексных чисел $z_1 = \rho(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ и $z_2 = r(\cos \beta + i \sin \beta)$, заданных в тригонометрической форме, вытекает из их геометрического представления на комплексной плоскости. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда они соответствуют одной и той же точке.

Для того чтобы точки, представляющие числа $z_1$ и $z_2$, совпадали, должны выполняться два условия:

1. Равенство модулей
Модули комплексных чисел, $\rho$ и $r$, представляют собой расстояние от начала координат до соответствующей точки на комплексной плоскости. Если точки совпадают, их расстояния до начала координат должны быть одинаковыми. Следовательно, модули чисел должны быть равны:
$\rho = r$

2. Связь между аргументами
Аргументы комплексных чисел, $\alpha$ и $\beta$, представляют собой углы, которые образуют векторы этих чисел с положительным направлением действительной оси. Если точки совпадают (и не являются началом координат, т.е. $\rho=r>0$), то их векторы должны быть сонаправлены. Это означает, что их углы могут либо совпадать, либо отличаться на целое число полных оборотов ($2\pi$ радиан). Таким образом, для ненулевых комплексных чисел их аргументы должны удовлетворять условию:
$\alpha = \beta + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Если же модуль равен нулю ($\rho = r = 0$), то число равно нулю, и его аргумент не определен. В этом случае для равенства чисел достаточно выполнения только первого условия.

Ответ: Два комплексных числа $z_1 = \rho(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ и $z_2 = r(\cos \beta + i \sin \beta)$ равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное $2\pi$. Это можно записать в виде системы условий:
$z_1 = z_2 \iff \begin{cases} \rho = r \\ \alpha = \beta + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases}$
Эта система условий полностью описывает критерий равенства. Если $\rho = r = 0$, то числа равны нулю, и второе условие не рассматривается. Если $\rho = r > 0$, то для равенства чисел должны выполняться оба условия.

3. Изобразите на координатной плоскости множество всех $z \in \mathbb{C}$, у которых $|z| = 2$.

Комплексное число $z$ можно представить в алгебраической форме как $z = x + iy$, где $x$ — действительная часть ($\text{Re } z$), а $y$ — мнимая часть ($\text{Im } z$). На координатной плоскости (которая в данном случае называется комплексной плоскостью) каждому такому числу соответствует точка с координатами $(x, y)$.

Модуль комплексного числа, обозначаемый как $|z|$, представляет собой расстояние от начала координат (точки $(0, 0)$) до точки $(x, y)$, соответствующей числу $z$. Модуль вычисляется по формуле, аналогичной теореме Пифагора для нахождения длины гипотенузы: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

В условии задачи дано равенство $|z| = 2$. Подставим в него формулу для модуля: $\sqrt{x^2 + y^2} = 2$.

Чтобы найти зависимость между $x$ и $y$ в явном виде, возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x^2 + y^2})^2 = 2^2$ $x^2 + y^2 = 4$.

Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задает на координатной плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$. В нашем случае мы получили уравнение $x^2 + y^2 = 2^2$, что является уравнением окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = 2$.

Таким образом, множество всех точек, удовлетворяющих условию $|z| = 2$, — это окружность, с центром в начале координат и радиусом, равным 2. Эта окружность проходит через точки $(2, 0)$, $(0, 2)$, $(-2, 0)$ и $(0, -2)$ на комплексной плоскости.

Ответ: Искомое множество точек на координатной плоскости представляет собой окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом 2. Её уравнение: $x^2 + y^2 = 4$.

4. Изобразите на координатной плоскости множество всех $z \in C$, у которых $|z|=2$, $\arg z \le 0$.

Для решения задачи необходимо найти и изобразить на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел $z$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $|z| = 2$ и $\arg z \le 0$.

Анализ условия $|z| = 2$

Модуль комплексного числа $z = x + iy$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Условие $|z| = 2$ можно переписать в виде $\sqrt{x^2 + y^2} = 2$, или, возведя обе части в квадрат, $x^2 + y^2 = 4$. На комплексной плоскости, где по горизонтальной оси откладывается действительная часть $x = \operatorname{Re}(z)$, а по вертикальной — мнимая часть $y = \operatorname{Im}(z)$, это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R=2$.

Анализ условия $\arg z \le 0$

Аргумент комплексного числа $z$, обозначаемый $\arg z$, — это угол, который образует вектор из начала координат в точку $z$ с положительным направлением действительной оси. По стандартному соглашению, главное значение аргумента $\operatorname{Arg} z$ выбирается из интервала $(-\pi, \pi]$.

Условие $\arg z \le 0$ означает, что главный аргумент числа должен быть неположительным, то есть $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, 0]$. Эта область включает в себя:

1. Точки в четвертом и третьем квадрантах, где мнимая часть отрицательна ($y<0$). Для этих точек аргумент находится в интервале $(-\pi, 0)$.

2. Точки на положительной действительной полуоси, где $y=0$ и $x > 0$. Для этих точек аргумент равен $0$, что удовлетворяет условию $\arg z \le 0$.

3. Начало координат $z=0$, но оно уже исключено условием $|z|=2$.

Точки на отрицательной действительной полуоси ($y=0, x < 0$) не удовлетворяют этому условию, так как их главный аргумент равен $\pi$, а $\pi > 0$.

Таким образом, множество $\arg z \le 0$ — это вся нижняя полуплоскость ($y<0$) вместе с неотрицательной действительной полуосью ($x \ge 0, y=0$).

Построение искомого множества

Чтобы найти искомое множество, нужно найти пересечение двух описанных множеств: окружности $x^2+y^2=4$ и области $\arg z \le 0$.

Это пересечение — та часть окружности, которая лежит в нижней полуплоскости ($y \le 0$), то есть нижняя полуокружность.

Необходимо проверить концы этой дуги, которые лежат на действительной оси: $z=2$ и $z=-2$.

Для точки $z=2$ (координаты $(2,0)$): $|z|=2$ и $\arg z = 0$. Условие $0 \le 0$ выполняется, следовательно, эта точка принадлежит искомому множеству.

Для точки $z=-2$ (координаты $(-2,0)$): $|z|=2$, но главный аргумент $\arg z = \pi$. Условие $\pi \le 0$ не выполняется, следовательно, эта точка не принадлежит искомому множеству.

В итоге, искомое множество — это нижняя полуокружность окружности радиусом 2 с центром в начале координат, включая правую конечную точку $(2,0)$ и исключая левую конечную точку $(-2,0)$.

Графически это изображается как дуга окружности $x^2+y^2=4$, идущая от точки $(-2,0)$ через точку $(0,-2)$ до точки $(2,0)$. Точка $(2,0)$ отмечается закрашенным кружком, а точка $(-2,0)$ — выколотым (незакрашенным) кружком.

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой нижнюю полуокружность окружности $|z|=2$ (то есть дугу, задаваемую уравнением $x^2+y^2=4$ при $y \le 0$), которая включает точку $z=2$ и исключает точку $z=-2$.

5. Как модуль и аргумент произведения двух комплексных чисел связаны с модулями и аргументами этих чисел?

Для того чтобы определить, как связаны модуль и аргумент произведения двух комплексных чисел с модулями и аргументами этих чисел, удобнее всего воспользоваться их представлением в тригонометрической форме.

Пусть даны два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме:

$z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$

$z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$

Здесь $r_1 = |z_1|$ и $r_2 = |z_2|$ — это модули чисел $z_1$ и $z_2$ соответственно, а $\varphi_1 = \arg(z_1)$ и $\varphi_2 = \arg(z_2)$ — их аргументы.

Найдем произведение этих двух чисел $z_1 \cdot z_2$:

$z_1 \cdot z_2 = [r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)] \cdot [r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)] = r_1 r_2 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$

Раскроем скобки в произведении выражений, содержащих тригонометрические функции:

$(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) = \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 + i \cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + i \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 + i^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2$

Учитывая, что $i^2 = -1$, сгруппируем действительную и мнимую части:

$(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 + \cos \varphi_1 \sin \varphi_2)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся известными тригонометрическими формулами сложения углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

Применив эти формулы к нашему выражению, мы получим:

$\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для произведения $z_1 \cdot z_2$:

$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Мы получили тригонометрическую форму комплексного числа, являющегося произведением $z_1$ и $z_2$. Из этой формы можно непосредственно определить его модуль и аргумент.

Модуль произведения

Модуль комплексного числа в тригонометрической форме — это неотрицательный множитель перед скобками. В нашем случае это $r_1 r_2$.

$|z_1 \cdot z_2| = r_1 r_2 = |z_1| \cdot |z_2|$

Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.

Аргумент произведения

Аргумент комплексного числа в тригонометрической форме — это угол, стоящий под знаками косинуса и синуса. В нашем случае это $\varphi_1 + \varphi_2$.

$\arg(z_1 \cdot z_2) = \varphi_1 + \varphi_2 = \arg(z_1) + \arg(z_2)$

Следовательно, аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме их аргументов (стоит отметить, что аргумент определяется с точностью до слагаемого, кратного $2\pi$).

Ответ: Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$. Аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме их аргументов: $\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$.

48.1. Встретились несколько человек и стали здороваться, обмениваясь рукопожатиями. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.

Пусть $n$ — количество человек, а $K$ — количество рукопожатий. По условию $60 \le K \le 70$.

Общая формула для числа рукопожатий, когда каждый здоровается с каждым в группе из $n$ человек, — это число сочетаний из $n$ по 2:

$K = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

а) каждый здоровался с каждым;

В этом случае мы можем напрямую использовать формулу для числа рукопожатий. Нам нужно найти такое целое число $n$, чтобы выполнялось неравенство:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 70$

Умножим все части неравенства на 2:

$120 \le n(n-1) \le 140$

Будем подбирать целые значения $n$.

• При $n=11$, $n(n-1) = 11 \times 10 = 110$ (меньше 120).
• При $n=12$, $n(n-1) = 12 \times 11 = 132$ (удовлетворяет неравенству).
• При $n=13$, $n(n-1) = 13 \times 12 = 156$ (больше 140).

Единственное подходящее значение — $n=12$. При этом число рукопожатий будет $K = \frac{12 \times 11}{2} = 66$, что входит в заданный диапазон [60, 70].

Ответ: 12 человек.

б) только один человек не здоровался ни с кем;

Пусть общее число людей — $n$. Если один человек ни с кем не здоровался, то все рукопожатия происходили между остальными $n-1$ людьми. В этой группе из $n-1$ человек каждый поздоровался с каждым.

Число рукопожатий $K$ в этом случае равно:

$K = \frac{(n-1)((n-1)-1)}{2} = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Подставим это в заданное условие:

$60 \le \frac{(n-1)(n-2)}{2} \le 70$

$120 \le (n-1)(n-2) \le 140$

Пусть $m = n-1$. Тогда неравенство примет вид $120 \le m(m-1) \le 140$. Как мы выяснили в пункте а), единственное целое решение этого неравенства — $m=12$.

Следовательно, $n-1 = 12$, откуда $n=13$.

Проверим: если встретилось 13 человек, и один ни с кем не здоровался, то рукопожатия были между 12 людьми. Их число $K = \frac{12 \times 11}{2} = 66$, что удовлетворяет условию $60 \le K \le 70$.

Ответ: 13 человек.

в) только двое не поздоровались между собой;

Пусть общее число людей — $n$. Если бы все здоровались со всеми, число рукопожатий было бы равно $\frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, двое человек не поздоровались друг с другом, что означает, что произошло на одно рукопожатие меньше, чем максимально возможное. Таким образом, число рукопожатий $K$ равно:

$K = \frac{n(n-1)}{2} - 1$

Подставим в неравенство:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} - 1 \le 70$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$61 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 71$

Умножим на 2:

$122 \le n(n-1) \le 142$

Снова подбираем целые значения $n$.

• При $n=11$, $n(n-1) = 110$ (меньше 122).
• При $n=12$, $n(n-1) = 132$ (удовлетворяет неравенству).
• При $n=13$, $n(n-1) = 156$ (больше 142).

Подходит только $n=12$. При этом число рукопожатий $K = \frac{12 \times 11}{2} - 1 = 66 - 1 = 65$, что удовлетворяет условию $60 \le K \le 70$.

Ответ: 12 человек.

г) четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.

В этом случае все люди разделены на две группы, которые не взаимодействуют друг с другом.
Первая группа состоит из 4 человек. Число рукопожатий в ней $K_1$:

$K_1 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

Пусть общее число людей — $n$. Тогда во второй группе будет $n-4$ человек. Число рукопожатий в этой группе $K_2$:

$K_2 = \frac{(n-4)((n-4)-1)}{2} = \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Общее число рукопожатий $K = K_1 + K_2$.

$K = 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Подставим в условие $60 \le K \le 70$:

$60 \le 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 70$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$54 \le \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 64$

Умножим на 2:

$108 \le (n-4)(n-5) \le 128$

Пусть $m = n-4$. Неравенство примет вид $108 \le m(m-1) \le 128$. Подбираем целые значения $m$.

• При $m=10$, $m(m-1) = 90$ (меньше 108).
• При $m=11$, $m(m-1) = 110$ (удовлетворяет неравенству).
• При $m=12$, $m(m-1) = 132$ (больше 128).

Единственное подходящее значение — $m=11$.

Так как $m = n-4$, то $n = m+4 = 11+4 = 15$.

Проверим: если всего 15 человек, то группы состоят из 4 и 11 человек. Число рукопожатий: $K = K_1 + K_2 = \frac{4 \times 3}{2} + \frac{11 \times 10}{2} = 6 + 55 = 61$. Это значение находится в диапазоне [60, 70].

Ответ: 15 человек.

48.2. Каждую из $n$ точек, являющихся вершинами выпуклого $n$-угольника, соединили отрезками с каждой другой вершиной.

a) Сколько провели отрезков?

б) Сколько провели диагоналей?

в) Сколько есть двухзвенных ломаных, соединяющих вершину $A$ с вершиной $B$?

г) Сколько есть трёхзвенных ломаных, соединяющих вершину $A$ с вершиной $B$ (самопересекающиеся ломаные допускаются)?

а) Каждую из n вершин выпуклого n-угольника соединили отрезками с каждой другой вершиной. Чтобы найти общее количество таких отрезков, нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать две вершины из n имеющихся. Порядок вершин в паре не важен (отрезок между вершинами А и В — это тот же отрезок, что и между В и А), поэтому задача сводится к нахождению числа сочетаний из n по 2.

Формула для числа сочетаний из n элементов по k выглядит следующим образом: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае, поскольку каждый отрезок определяется двумя вершинами, $k=2$. Подставляем это значение в формулу:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)(n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.

б) Общее количество отрезков, соединяющих все возможные пары вершин n-угольника, как мы выяснили в пункте а), равно $\frac{n(n-1)}{2}$. Эти отрезки делятся на два типа: стороны многоугольника и его диагонали. Диагональ — это отрезок, который соединяет две несмежные вершины.

У выпуклого n-угольника ровно n сторон. Чтобы найти количество диагоналей, необходимо из общего числа отрезков вычесть количество сторон.

Количество диагоналей = (Общее количество отрезков) ? (Количество сторон) = $\frac{n(n-1)}{2} - n$.

Теперь упростим полученное выражение:

$\frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n^2-n}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{n^2-n-2n}{2} = \frac{n^2-3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.

в) Двузвенная ломаная, соединяющая вершину А с вершиной В, представляет собой путь вида А–С–В, где С — это некоторая другая вершина многоугольника. Первое звено ломаной — это отрезок АС, а второе — отрезок СВ.

Промежуточная вершина С должна быть отлична от начальной (А) и конечной (В) вершин. В противном случае, если бы С совпадала с А или В, ломаная состояла бы из одного отрезка или была бы вырожденной. Таким образом, для выбора вершины С можно использовать любую из n вершин многоугольника, за исключением А и В.

Следовательно, количество возможных вариантов для выбора вершины С равно $n-2$. Каждый такой выбор определяет уникальную двузвенную ломаную.

Ответ: $n-2$.

г) Трёхзвенная ломаная, соединяющая вершину А с вершиной В, — это последовательность из четырёх вершин A, C, D, B, которые образуют три отрезка: АС, CD и DB. Это накладывает следующие ограничения: $C \neq A$, $D \neq C$ и $B \neq D$. Условие о том, что самопересекающиеся ломаные допускаются, означает, что вершины в последовательности могут повторяться. Например, возможен путь A–C–A–B (где $D=A$).

Чтобы подсчитать общее число таких ломаных, нужно перебрать все возможные пары промежуточных вершин (C, D). Рассмотрим все варианты выбора для первой промежуточной вершины C. Она может быть любой из n вершин, кроме А, то есть для C существует $n-1$ вариант. Разделим эти варианты на два взаимоисключающих случая.

Случай 1: Первая промежуточная вершина С совпадает с конечной вершиной В.

Этот выбор для С возможен только одним способом. Ломаная в этом случае имеет вид A–B–D–B. Вторая промежуточная вершина D должна быть отлична от предыдущей вершины в пути, то есть от B ($D \neq B$). Никаких других ограничений на D нет, она может быть любой из оставшихся $n-1$ вершин (включая A). Следовательно, в этом случае существует $1 \times (n-1) = n-1$ различных ломаных.

Случай 2: Первая промежуточная вершина С не совпадает с вершиной В.

Поскольку C также не может совпадать с А, для выбора С остается $n-2$ варианта. Ломаная имеет вид A–C–D–B. Вторая промежуточная вершина D должна быть отлична от предыдущей вершины C ($D \neq C$) и от конечной вершины B ($B \neq D$). Таким образом, для выбора D есть $n-2$ возможных варианта (любая вершина, кроме C и B). Число ломаных в этом случае равно произведению числа выборов для C и D: $(n-2) \times (n-2) = (n-2)^2$.

Общее количество трёхзвенных ломаных равно сумме количеств, полученных в этих двух случаях:

Количество ломаных = (количество из случая 1) + (количество из случая 2) = $(n-1) + (n-2)^2$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(n-1) + (n^2 - 4n + 4) = n^2 - 3n + 3$.

Ответ: $n^2-3n+3$.

48.3. В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда выбирает капитана и его заместителя.

а) Найдите число всех возможных вариантов выбора.

б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем.

в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь.

г) Найдите в пунктах а) и б) число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор.

В данной задаче мы будем использовать основные формулы комбинаторики. Когда важен порядок выбора (например, при выборе капитана и заместителя), мы используем размещения. Когда порядок не важен (выбор пары кандидатов), мы используем сочетания.

а) Найдите число всех возможных вариантов выбора.

Необходимо выбрать капитана и его заместителя из 11 человек. Так как должности разные, порядок выбора важен. Это задача на размещения.
На должность капитана можно выбрать любого из 11 игроков.
После того как капитан выбран, на должность его заместителя остается 10 кандидатов.
Общее число вариантов равно произведению числа способов на каждом шаге. Это соответствует числу размещений из 11 элементов по 2:
$A_{11}^2 = 11 \cdot 10 = 110$.
Ответ: 110

б) Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем.

Если 3 новичка не могут занимать эти должности, то выбор осуществляется из оставшихся игроков.
Число игроков, которые могут быть выбраны: $11 - 3 = 8$.
Теперь задача сводится к выбору капитана и заместителя из 8 человек.
Число способов выбрать капитана — 8.
Число способов выбрать заместителя из оставшихся 7 человек — 7.
Общее число вариантов:
$A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56

в) Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь.

В команде 11 человек: 1 вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих.
Капитаном не может быть нападающий. Всего нападающих 2, значит, на роль капитана претендуют $11 - 2 = 9$ игроков.
Заместителем не может быть вратарь. Здесь нужно рассмотреть два случая, так как выбор заместителя зависит от того, кто был выбран капитаном.
Случай 1: Капитаном выбран вратарь.
Это возможно, так как вратарь не является нападающим. Есть 1 способ выбрать вратаря на роль капитана.
Для выбора заместителя остаются 10 игроков. По условию, заместитель не может быть вратарем. Так как вратарь уже выбран капитаном, любой из 10 оставшихся игроков может стать заместителем.
Число вариантов в этом случае: $1 \cdot 10 = 10$.
Случай 2: Капитаном выбран не вратарь и не нападающий.
Таких игроков $11 - 1 \text{ (вратарь)} - 2 \text{ (нападающих)} = 8$ человек (это защитники и полузащитники).
Есть 8 способов выбрать капитана.
Для выбора заместителя остаются 10 игроков. Среди них есть 1 вратарь, который по условию не может быть заместителем. Значит, на роль заместителя претендуют $10 - 1 = 9$ игроков.
Число вариантов в этом случае: $8 \cdot 9 = 72$.
Общее число вариантов равно сумме вариантов из двух случаев:
$10 + 72 = 82$.
Ответ: 82

г) Найдите в пунктах а) и б) число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор.

Здесь речь идет о выборе группы из двух человек, где их роли (капитан и заместитель) еще не определены. Это значит, что порядок выбора не важен, и мы должны использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для ситуации из пункта а):
Нужно выбрать 2 кандидатов из 11 игроков ($n=11, k=2$).
$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.
Для ситуации из пункта б):
Нужно выбрать 2 кандидатов из 8 допущенных к выбору игроков ($n=8, k=2$).
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.
Ответ: для пункта а) — 55, для пункта б) — 28.

48.4. Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия.

а) Сколько существует различных типов билетов?

б) Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны x в зону y рассчитывается по формуле $S = 7 + 6|x - y|$?

в) Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 р.?

г) Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 р.?

а)

Тип билета определяется парой номеров (зона отправления, зона прибытия). Всего существует 10 зон.

Зону отправления $x$ можно выбрать 10 способами.

Зону прибытия $y$ также можно выбрать 10 способами.

Так как выбор зоны отправления и зоны прибытия независимы, общее количество различных типов билетов равно произведению числа вариантов для каждой зоны:

$10 \times 10 = 100$

Ответ: 100.

б)

Стоимость билета $S$ зависит от абсолютной разности номеров зон $|x - y|$, где $x, y \in \{1, 2, ..., 10\}$.

Найдем все возможные значения для $|x - y|$:

Минимальное значение равно 0, когда $x = y$ (поездка внутри одной зоны).

Максимальное значение равно $|10 - 1| = 9$.

Так как $x$ и $y$ могут быть любыми целыми числами от 1 до 10, разность $|x-y|$ может принимать любое целое значение от 0 до 9 включительно.

Возможные значения для $|x - y|$: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Всего 10 различных возможных значений для разности.

Поскольку формула стоимости $S = 7 + 6|x - y|$ является линейной функцией от $|x - y|$, каждому уникальному значению $|x - y|$ будет соответствовать уникальная стоимость. Следовательно, количество различных стоимостей равно количеству различных значений $|x - y|$.

Ответ: 10.

в)

Нужно найти количество типов билетов (пар $(x, y)$), для которых стоимость не превышает 50 р.

Запишем неравенство:

$S \le 50$

$7 + 6|x - y| \le 50$

$6|x - y| \le 43$

$|x - y| \le \frac{43}{6}$

$|x - y| \le 7.166...$

Поскольку $|x - y|$ — целое неотрицательное число, возможные значения для него: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Теперь посчитаем, сколько пар $(x, y)$ существует для каждого из этих значений:

• Для $|x - y| = 0$: это означает $x = y$. Таких пар 10: (1,1), (2,2), ..., (10,10).
• Для $|x - y| = k > 0$: это означает $x - y = k$ или $y - x = k$.
  • Пары, где $x - y = k$: $(k+1, 1), (k+2, 2), ..., (10, 10-k)$. Всего $10-k$ пар.
  • Пары, где $y - x = k$: $(1, k+1), (2, k+2), ..., (10-k, 10)$. Всего $10-k$ пар.
  Итого для $|x - y| = k$ существует $2 \times (10 - k)$ пар.

Подсчитаем количество пар для каждого значения $|x-y|$:

• $|x - y| = 0$: 10 пар.
• $|x - y| = 1$: $2 \times (10 - 1) = 18$ пар.
• $|x - y| = 2$: $2 \times (10 - 2) = 16$ пар.
• $|x - y| = 3$: $2 \times (10 - 3) = 14$ пар.
• $|x - y| = 4$: $2 \times (10 - 4) = 12$ пар.
• $|x - y| = 5$: $2 \times (10 - 5) = 10$ пар.
• $|x - y| = 6$: $2 \times (10 - 6) = 8$ пар.
• $|x - y| = 7$: $2 \times (10 - 7) = 6$ пар.

Суммируем все найденные количества:

$10 + 18 + 16 + 14 + 12 + 10 + 8 + 6 = 94$

Ответ: 94.

г)

Нужно найти количество типов билетов, цена которых кратна 5.

Стоимость $S = 7 + 6|x - y|$ должна делиться на 5. Запишем это условие в виде сравнения по модулю 5:

$7 + 6|x - y| \equiv 0 \pmod{5}$

Так как $7 \equiv 2 \pmod{5}$ и $6 \equiv 1 \pmod{5}$, сравнение можно упростить. Пусть $d = |x - y|$.

$2 + 1 \cdot d \equiv 0 \pmod{5}$

$d \equiv -2 \pmod{5}$

$d \equiv 3 \pmod{5}$

Это означает, что разность номеров зон $d = |x - y|$ при делении на 5 должна давать в остатке 3.

Как мы выяснили в пункте б), $d$ может принимать значения от 0 до 9. Выберем те из них, которые удовлетворяют условию $d \equiv 3 \pmod{5}$:

• $d = 3$
• $d = 8$

Теперь посчитаем количество типов билетов для этих значений $d$, используя формулу из пункта в) $2 \times (10 - d)$:

• Для $d = |x - y| = 3$: количество пар равно $2 \times (10 - 3) = 2 \times 7 = 14$.
• Для $d = |x - y| = 8$: количество пар равно $2 \times (10 - 8) = 2 \times 2 = 4$.

Общее количество таких типов билетов равно сумме:

$14 + 4 = 18$

Ответ: 18.