Номер 5, страница 292, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Как модуль и аргумент произведения двух комплексных чисел связаны с модулями и аргументами этих чисел?

Для того чтобы определить, как связаны модуль и аргумент произведения двух комплексных чисел с модулями и аргументами этих чисел, удобнее всего воспользоваться их представлением в тригонометрической форме.

Пусть даны два комплексных числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме:

$z_1 = r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$

$z_2 = r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$

Здесь $r_1 = |z_1|$ и $r_2 = |z_2|$ — это модули чисел $z_1$ и $z_2$ соответственно, а $\varphi_1 = \arg(z_1)$ и $\varphi_2 = \arg(z_2)$ — их аргументы.

Найдем произведение этих двух чисел $z_1 \cdot z_2$:

$z_1 \cdot z_2 = [r_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)] \cdot [r_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)] = r_1 r_2 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$

Раскроем скобки в произведении выражений, содержащих тригонометрические функции:

$(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) = \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 + i \cos \varphi_1 \sin \varphi_2 + i \sin \varphi_1 \cos \varphi_2 + i^2 \sin \varphi_1 \sin \varphi_2$

Учитывая, что $i^2 = -1$, сгруппируем действительную и мнимую части:

$(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2) + i (\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 + \cos \varphi_1 \sin \varphi_2)$

Для упрощения этого выражения воспользуемся известными тригонометрическими формулами сложения углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

Применив эти формулы к нашему выражению, мы получим:

$\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для произведения $z_1 \cdot z_2$:

$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Мы получили тригонометрическую форму комплексного числа, являющегося произведением $z_1$ и $z_2$. Из этой формы можно непосредственно определить его модуль и аргумент.

Модуль произведения

Модуль комплексного числа в тригонометрической форме — это неотрицательный множитель перед скобками. В нашем случае это $r_1 r_2$.

$|z_1 \cdot z_2| = r_1 r_2 = |z_1| \cdot |z_2|$

Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.

Аргумент произведения

Аргумент комплексного числа в тригонометрической форме — это угол, стоящий под знаками косинуса и синуса. В нашем случае это $\varphi_1 + \varphi_2$.

$\arg(z_1 \cdot z_2) = \varphi_1 + \varphi_2 = \arg(z_1) + \arg(z_2)$

Следовательно, аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме их аргументов (стоит отметить, что аргумент определяется с точностью до слагаемого, кратного $2\pi$).

Ответ: Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$. Аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме их аргументов: $\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$.