Номер 1, страница 279, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Изобразите на координатной плоскости множество всех чисел $z \in C$, у которых $\operatorname{Re} z = 0, \operatorname{Im} z \le 0$.

1.

Каждое комплексное число $z \in \mathbb{C}$ можно представить в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа. Величина $x$ называется действительной (или вещественной) частью числа $z$ и обозначается как $\text{Re } z$, а величина $y$ — мнимой частью, $\text{Im } z$.

На координатной плоскости, называемой в этом контексте комплексной плоскостью, комплексному числу $z = x + iy$ сопоставляется точка с координатами $(x, y)$. Горизонтальная ось является действительной осью (ось $\text{Re}$), а вертикальная — мнимой осью (ось $\text{Im}$).

В задаче даны два условия для чисел $z$:

1. $\text{Re } z = 0$
2. $\text{Im } z \le 0$

Рассмотрим эти условия по отдельности:

Условие $\text{Re } z = 0$ означает, что действительная часть числа равна нулю, то есть $x = 0$. На комплексной плоскости этому уравнению удовлетворяют все точки, лежащие на мнимой оси (оси ординат).

Условие $\text{Im } z \le 0$ означает, что мнимая часть числа меньше либо равна нулю, то есть $y \le 0$. Этому неравенству удовлетворяют все точки, которые лежат на действительной оси или ниже неё (нижняя полуплоскость, включая границу).

Искомое множество является пересечением множеств точек, удовлетворяющих обоим условиям. Это точки, для которых одновременно выполняются равенство $x=0$ и неравенство $y \le 0$. Геометрически это пересечение мнимой оси и нижней полуплоскости.

Таким образом, искомое множество — это та часть мнимой оси, которая находится в нижней полуплоскости, включая начало координат (точка $(0,0)$). Это луч, начинающийся в начале координат и идущий вниз вдоль мнимой оси.

Ответ: Искомое множество точек на комплексной плоскости представляет собой луч, который исходит из начала координат и направлен вдоль отрицательной полуоси $\text{Im}$.