Номер 1, страница 261, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Какие вы знаете методы решения тригонометрических уравнений?

Существует множество методов решения тригонометрических уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнения. Основные из них:

1. Сведение к простейшим тригонометрическим уравнениям (алгебраический метод)

Этот метод является основополагающим. Цель — с помощью тригонометрических тождеств и алгебраических преобразований привести исходное уравнение к одному из четырёх простейших видов:

• $\sin(x) = a$, где $|a| \le 1$
• $\cos(x) = a$, где $|a| \le 1$
• $\tan(x) = a$, где $a \in \mathbb{R}$
• $\cot(x) = a$, где $a \in \mathbb{R}$

Общие решения этих уравнений записываются с помощью обратных тригонометрических функций (аркфункций):

• Для $\sin(x) = a$: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
• Для $\cos(x) = a$: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
• Для $\tan(x) = a$: $x = \arctan(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
• Для $\cot(x) = a$: $x = \text{arccot}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Метод заключается в преобразовании уравнения к простейшему виду ($\sin(x)=a$, $\cos(x)=a$, и т.д.) и использовании стандартных формул для нахождения корней.

2. Метод замены переменной

Если уравнение содержит одну и ту же тригонометрическую функцию (или функции, которые можно выразить через одну), удобно ввести новую переменную. Например, для уравнения $2\sin^2(x) - 5\sin(x) + 2 = 0$, можно сделать замену $t = \sin(x)$. При этом важно учитывать область значений тригонометрической функции, в данном случае $|t| \le 1$.

Уравнение примет вид: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решая это квадратное уравнение, получаем корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 1/2$.

Далее выполняем обратную замену:

• $\sin(x) = 2$ — это уравнение не имеет решений, так как $2 > 1$.
• $\sin(x) = 1/2$ — это простейшее уравнение, его решения: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод состоит во введении новой переменной для повторяющейся тригонометрической функции, решении полученного алгебраического уравнения и последующей обратной замене.

3. Метод разложения на множители

Этот метод применяется, когда все члены уравнения можно перенести в одну сторону и разложить полученное выражение на множители. Уравнение вида $F(x) \cdot G(x) = 0$ равносильно совокупности уравнений $F(x) = 0$ и $G(x) = 0$ при условии, что оба выражения $F(x)$ и $G(x)$ определены.

Например, решим уравнение $2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0$.

Вынесем $\cos(x)$ за скобки: $\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0$.

Это приводит к совокупности двух уравнений:

• $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $2\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = 1/2 \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединение этих двух серий корней является решением исходного уравнения.

Ответ: Метод заключается в представлении уравнения в виде произведения нескольких сомножителей, равного нулю, и последующем решении более простых уравнений, получаемых приравниванием каждого сомножителя к нулю.

4. Решение однородных тригонометрических уравнений

Однородными называют уравнения вида:

• I степени: $a\sin(x) + b\cos(x) = 0$ (где $a, b \neq 0$)
• II степени: $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$

Для их решения обе части уравнения делят на $\cos(x) \neq 0$ (для I степени) или на $\cos^2(x) \neq 0$ (для II степени). Такое деление корректно, так как если бы $\cos(x)$ был равен нулю, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(x)$ равен нулю, что невозможно. В результате деления получается алгебраическое уравнение относительно $\tan(x)$.

Например, для $a\sin(x) + b\cos(x) = 0$ после деления на $\cos(x)$ получаем $a\tan(x) + b = 0$, откуда $\tan(x) = -b/a$.

Ответ: Метод решения однородных уравнений заключается в делении на степень синуса или косинуса, что приводит уравнение к алгебраическому относительно тангенса или котангенса.

5. Метод введения вспомогательного угла

Применяется для уравнений вида $a\sin(x) + b\cos(x) = c$.

Идея состоит в том, чтобы разделить обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2}$:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin(x) + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos(x) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Так как $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 + (\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2 = 1$, то существует такой угол $\varphi$, что $\cos(\varphi) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin(\varphi) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Тогда уравнение принимает вид: $\cos(\varphi)\sin(x) + \sin(\varphi)\cos(x) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$, что сворачивается по формуле синуса суммы в $\sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Это простейшее уравнение. Условие существования решений: $|c| \le \sqrt{a^2+b^2}$.

Ответ: Метод позволяет преобразовать выражение $a\sin(x) + b\cos(x)$ в синус (или косинус) суммы/разности путем введения вспомогательного угла $\varphi$, сводя уравнение к простейшему.

6. Использование формул понижения степени

Этот метод эффективен для уравнений, содержащих четные степени синуса и косинуса. Используются формулы:

• $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
• $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

Например, уравнение $\sin^4(x) + \cos^4(x) = 5/8$ можно решить, преобразовав левую часть: $\sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$.

Тогда $1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = 5/8$. Отсюда $\sin^2(2x) = 3/4$. Далее снова понижаем степень: $\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$, что приводит к простейшему уравнению $\cos(4x) = -1/2$.

Ответ: Метод заключается в замене четных степеней тригонометрических функций на выражения с косинусом двойного угла, что упрощает уравнение.

7. Метод универсальной тригонометрической подстановки

Этот метод позволяет свести любое тригонометрическое уравнение, рациональное относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$, к алгебраическому. Используется замена $t = \tan(x/2)$. При этом:

• $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$
• $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Важный нюанс: эта подстановка не определена для $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Поэтому перед применением метода необходимо проверить, не являются ли эти значения корнями исходного уравнения.

Ответ: Метод сводит тригонометрическое уравнение к рациональному алгебраическому уравнению с помощью подстановки $t = \tan(x/2)$, но требует отдельной проверки корней вида $x = \pi + 2\pi k$.

8. Метод оценки (использование ограниченности функций)

Некоторые уравнения можно решить, используя свойства функций, входящих в них, в частности, их ограниченность. Например, для функций синуса и косинуса справедливо $-1 \le \sin(x) \le 1$ и $-1 \le \cos(x) \le 1$.

Рассмотрим уравнение $\cos(x) + \cos(2x) = 2$.

Левая часть уравнения является суммой двух косинусов, каждый из которых не превышает 1. Сумма будет равна 2 только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \cos(x) = 1 \\ \cos(2x) = 1 \end{cases}$

Решая систему, находим общие корни. Из первого уравнения $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Подставляя эти значения во второе уравнение, получаем $\cos(2 \cdot 2\pi k) = \cos(4\pi k) = 1$. Это верное тождество, значит, решения первого уравнения являются и решениями второго.

Ответ: Метод основан на анализе области значений функций в уравнении. Решение ищется в точках, где функции достигают своих максимальных или минимальных значений.