Номер 2, страница 249, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Дано тождество $f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2}$. Какое из утверждений верно:

a) $f(x) = \sin 7x \sin 2x$;

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$;

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x$;

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x?$

Для решения данной задачи необходимо преобразовать исходное выражение для функции $f(x)$, используя формулу суммы синусов.

Исходное тождество: $f(x) = \frac{\sin 9x + \sin 5x}{2}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

В нашем случае $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$\sin 9x + \sin 5x = 2 \sin\frac{9x + 5x}{2} \cos\frac{9x - 5x}{2} = 2 \sin\frac{14x}{2} \cos\frac{4x}{2} = 2 \sin 7x \cos 2x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное тождество для $f(x)$:

$f(x) = \frac{2 \sin 7x \cos 2x}{2} = \sin 7x \cos 2x$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами утверждений.

а) $f(x) = \sin 7x \sin 2x$

Наш результат $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Сравнивая его с данным утверждением, видим, что они не совпадают, так как $\cos 2x \neq \sin 2x$ в общем случае. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) $f(x) = \cos 7x \cos 2x$

Наш результат $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Сравнивая его с данным утверждением, видим, что они не совпадают, так как $\sin 7x \neq \cos 7x$ в общем случае. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) $f(x) = \sin 7x \cos 2x$

Данное утверждение в точности совпадает с полученным нами результатом $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

г) $f(x) = \sin 2x \cos 7x$

Наш результат $f(x) = \sin 7x \cos 2x$. Сравним его с данным утверждением $f(x) = \sin 2x \cos 7x$. Эти выражения не являются тождественно равными. Равенство $\sin 7x \cos 2x = \sin 2x \cos 7x$ эквивалентно $\sin(7x-2x) = 0$, то есть $\sin(5x) = 0$, что выполняется лишь для отдельных значений $x$ (например, $x = \frac{\pi n}{5}$), а не для всех $x$. Следовательно, это не тождество. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.