Номер 2, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Укажите область допустимых значений переменной в формуле

$\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$.

Для нахождения области допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ в формуле $\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^{2} x}$, необходимо определить, при каких значениях $x$ обе части равенства имеют смысл.

Сначала рассмотрим левую часть равенства: $\operatorname{tg} 2x$. Тригонометрическая функция тангенс $\operatorname{tg} a$ определена, если ее аргумент $a$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого числа $k$. Применительно к нашему случаю это означает:

$2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделив это соотношение на 2, получаем первое ограничение на $x$:

$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^{2} x}$. Для ее существования должны выполняться два условия. Во-первых, должен быть определен $\operatorname{tg} x$. Это накладывает ограничение:

$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$1 - \operatorname{tg}^{2} x \neq 0$

$\operatorname{tg}^{2} x \neq 1$

Отсюда следует, что $\operatorname{tg} x \neq 1$ и $\operatorname{tg} x \neq -1$. Решая эти неравенства, получаем:

$x \neq \frac{\pi}{4} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$x \neq -\frac{\pi}{4} + \pi j, \quad j \in \mathbb{Z}$

Эти два набора ограничений можно объединить в одну общую формулу: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi l}{2}, \quad l \in \mathbb{Z}$.

Чтобы формула была верна, необходимо выполнение всех найденных условий. Таким образом, мы должны объединить все ограничения. Заметим, что условие, полученное для левой части ($x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$), совпадает с условием для знаменателя правой части. Следовательно, итоговые ограничения для $x$ включают в себя:

1. Условие существования $\operatorname{tg} x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2. Условие существования $\operatorname{tg} 2x$ (и ненулевого знаменателя справа): $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Оба этих условия должны выполняться. Эти два множества исключаемых значений не пересекаются, поэтому оба являются частью итогового ответа.

Ответ: Область допустимых значений переменной $x$ — это все действительные числа, за исключением $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $n$ и $k$ — любые целые числа.