Номер 1, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Запишите формулу двойного аргумента:

а) для синуса;

б) для косинуса;

в) для тангенса.

а) для синуса

Формула двойного аргумента для синуса выражает синус угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Она является частным случаем формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

Чтобы получить формулу для двойного аргумента, достаточно в формуле синуса суммы положить $\beta = \alpha$:

$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

б) для косинуса

Формула двойного аргумента для косинуса, как и для синуса, выводится из формулы косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$.

При $\beta = \alpha$ получаем основной вид формулы:

$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\sin(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Эту формулу можно преобразовать, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Существует два распространенных варианта преобразования:

1. Выразим $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$ и подставим в формулу:
$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - (1 - \cos^2(\alpha)) = \cos^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.

2. Выразим $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ и подставим в формулу:
$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2(\alpha)) - \sin^2(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$.

Таким образом, для косинуса двойного угла существует три равнозначные формы записи.

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

в) для тангенса

Формула двойного аргумента для тангенса выводится аналогично, из формулы тангенса суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$.

Положим в этой формуле $\beta = \alpha$:

$\tan(2\alpha) = \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\alpha)} = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$.

Данная формула справедлива, когда $\tan(\alpha)$ и $\tan(2\alpha)$ имеют смысл, то есть когда их аргументы не равны $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

Ответ: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$