Номер 3, страница 243, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 1. Глава 5. Преобразование тригонометрических выражений. Параграф 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени - номер 3, страница 243.

Условие.

3. Какие формулы называют формулами понижения степени?

Запишите их.

Решение 1.

Решение 3.

Формулами понижения степени в тригонометрии называют тождества, которые позволяют выразить натуральные степени тригонометрических функций (например, $\sin^2\alpha$, $\cos^3\alpha$) через тригонометрические функции в первой степени, но с кратным аргументом (например, $\cos(2\alpha)$, $\sin(3\alpha)$).

Основное применение этих формул — упрощение тригонометрических выражений и вычисление интегралов от степеней тригонометрических функций. Формулы для квадратов выводятся напрямую из формул косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Формулы понижения степени для квадратов

• Для квадрата синуса:

  $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$

• Для квадрата косинуса:

  $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$

• Для квадрата тангенса (получается делением формулы для синуса на формулу для косинуса):

  $\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)}$

Формулы понижения степени для кубов

Эти формулы выводятся из формул тройного угла ($\sin(3\alpha)$ и $\cos(3\alpha)$).

• Для куба синуса:

  $\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$

• Для куба косинуса:

  $\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$

Ответ:
Формулы понижения степени:
$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$
$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$
$\tan^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha)}$
$\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4}$
$\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4}$