Номер 4, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Верна ли формула $tg (x + \frac{\pi}{4}) = \frac{tg x + 1}{1 - tg x}$? Если да, то при каких значениях переменной она справедлива?

Верна ли формула?

Да, данная формула верна. Она является частным случаем формулы тангенса суммы, которая выглядит следующим образом:
$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta}$

Для рассматриваемой формулы $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ мы имеем $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Мы знаем, что значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1, то есть $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Подставив эти значения в общую формулу тангенса суммы, получаем:
$\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{tg } x + \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 - \text{tg } x \cdot \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\text{tg } x + 1}{1 - \text{tg } x \cdot 1} = \frac{1 + \text{tg } x}{1 - \text{tg } x}$

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемой формулы.

Ответ: Да, формула верна.

При каких значениях переменной она справедлива?

Тождество справедливо, когда обе его части имеют смысл, то есть определены. Для этого необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

1. Ограничения для левой части: $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.
Функция тангенса не определена, когда ее аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ (где $k$ — любое целое число, $k \in \mathbb{Z}$).
Значит, $x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Выразим $x$:
$x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Ограничения для правой части: $\frac{\text{tg }x + 1}{1 - \text{tg }x}$.
Здесь должны выполняться два условия:
а) Тангенс $\text{tg }x$ должен быть определен. Это значит, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - \text{tg }x \neq 0$. Это означает, что $\text{tg }x \neq 1$. Тангенс равен 1 при $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Значит, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi m$.

Чтобы формула была справедлива, необходимо выполнение всех перечисленных условий. Объединим их:

• $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$
• $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: Формула справедлива при всех значениях $x$, для которых $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.