Номер 4, страница 226, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Выразите через тригонометрические функции переменных $\alpha$ и $\beta$ выражение $\cos (\alpha - \beta)$.

Для того чтобы выразить $cos(\alpha - \beta)$ через тригонометрические функции переменных $\alpha$ и $\beta$, используется одна из основных тригонометрических формул сложения, а именно формула косинуса разности.

Эта формула устанавливает связь между косинусом разности двух углов и синусами и косинусами этих углов.

Формула косинуса разности

Формула имеет следующий вид:$$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$$

Доказательство формулы

Для доказательства этой формулы можно использовать метод координат и единичную окружность.

1. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$. Возьмем две точки на этой окружности:

• Точка $P_\alpha$, полученная поворотом начальной точки $P_0(1, 0)$ на угол $\alpha$. Координаты точки $P_\alpha$ будут $(cos(\alpha), sin(\alpha))$.
• Точка $P_\beta$, полученная поворотом начальной точки $P_0(1, 0)$ на угол $\beta$. Координаты точки $P_\beta$ будут $(cos(\beta), sin(\beta))$.

2. Найдем квадрат расстояния между точками $P_\alpha$ и $P_\beta$ с помощью формулы расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.$$d(P_\alpha, P_\beta)^2 = (cos(\alpha) - cos(\beta))^2 + (sin(\alpha) - sin(\beta))^2$$Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:$$d^2 = cos^2(\alpha) - 2cos(\alpha)cos(\beta) + cos^2(\beta) + sin^2(\alpha) - 2sin(\alpha)sin(\beta) + sin^2(\beta)$$Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$:$$d^2 = (cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha)) + (cos^2(\beta) + sin^2(\beta)) - 2cos(\alpha)cos(\beta) - 2sin(\alpha)sin(\beta)$$$$d^2 = 1 + 1 - 2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$$$d^2 = 2 - 2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OP_\alpha P_\beta$. Длины сторон $OP_\alpha$ и $OP_\beta$ равны радиусу единичной окружности, то есть 1. Угол $\angle P_\beta O P_\alpha$ между этими сторонами равен $\alpha - \beta$.

4. Применим к треугольнику $\triangle OP_\alpha P_\beta$ теорему косинусов. Квадрат стороны, противолежащей углу, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.$$d(P_\alpha, P_\beta)^2 = |OP_\alpha|^2 + |OP_\beta|^2 - 2 \cdot |OP_\alpha| \cdot |OP_\beta| \cdot cos(\alpha - \beta)$$Подставим известные значения длин сторон:$$d^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos(\alpha - \beta)$$$$d^2 = 2 - 2cos(\alpha - \beta)$$

5. Мы получили два разных выражения для квадрата расстояния $d^2$. Приравняем их:$$2 - 2cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$Вычтем 2 из обеих частей уравнения:$$-2cos(\alpha - \beta) = -2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$Разделим обе части на $-2$:$$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$$Формула доказана.

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.