Страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Выразите через тригонометрические функции переменных $s$ и $t$ выражение $\sin (s + t)$.

1.

Для того чтобы выразить $\sin(s + t)$ через тригонометрические функции от переменных $s$ и $t$, используется одна из основных тригонометрических формул сложения, а именно формула синуса суммы двух углов.

Общая формула синуса суммы для двух произвольных углов $\alpha$ и $\beta$ выглядит следующим образом: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) $

В нашем случае, мы можем применить эту формулу, приняв $\alpha = s$ и $\beta = t$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $ \sin(s + t) = \sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t) $

Это выражение представляет собой синус суммы $s+t$, выраженный через синусы и косинусы каждой из переменных $s$ и $t$.

Ответ: $ \sin(s + t) = \sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t) $

2. Выразите через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$ выражение $\cos (u + v)$.

2. Для выражения $\cos(u + v)$ через тригонометрические функции от переменных $u$ и $v$ используется формула косинуса суммы. Это одна из фундаментальных тригонометрических формул сложения аргументов.
Формула утверждает, что косинус суммы двух углов равен разности между произведением косинусов этих углов и произведением их синусов.
Запишем эту формулу:
$\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$
Это и есть искомое выражение $\cos(u + v)$ через тригонометрические функции $\cos(u)$, $\cos(v)$, $\sin(u)$ и $\sin(v)$.
Ответ: $\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$

3. Выразите через тригонометрические функции переменных $z$ и $w$ выражение $\sin (x - w)$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу синуса разности двух углов. Заметим, что в условии, по-видимому, допущена опечатка: просят выразить выражение через переменные $z$ и $w$, но в самом выражении используется $x$. Будем считать, что имелось в виду выражение $\sin(z - w)$.

Формула синуса разности имеет вид:

$\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$

Применим эту формулу к нашему выражению, где $A = z$ и $B = w$:

$\sin(z - w) = \sin(z)\cos(w) - \cos(z)\sin(w)$

Это и есть искомое выражение, представленное через тригонометрические функции переменных $z$ и $w$.

Ответ: $\sin(z)\cos(w) - \cos(z)\sin(w)$

4. Выразите через тригонометрические функции переменных $\alpha$ и $\beta$ выражение $\cos (\alpha - \beta)$.

Для того чтобы выразить $cos(\alpha - \beta)$ через тригонометрические функции переменных $\alpha$ и $\beta$, используется одна из основных тригонометрических формул сложения, а именно формула косинуса разности.

Эта формула устанавливает связь между косинусом разности двух углов и синусами и косинусами этих углов.

Формула косинуса разности

Формула имеет следующий вид:$$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$$

Доказательство формулы

Для доказательства этой формулы можно использовать метод координат и единичную окружность.

1. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$. Возьмем две точки на этой окружности:

• Точка $P_\alpha$, полученная поворотом начальной точки $P_0(1, 0)$ на угол $\alpha$. Координаты точки $P_\alpha$ будут $(cos(\alpha), sin(\alpha))$.
• Точка $P_\beta$, полученная поворотом начальной точки $P_0(1, 0)$ на угол $\beta$. Координаты точки $P_\beta$ будут $(cos(\beta), sin(\beta))$.

2. Найдем квадрат расстояния между точками $P_\alpha$ и $P_\beta$ с помощью формулы расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.$$d(P_\alpha, P_\beta)^2 = (cos(\alpha) - cos(\beta))^2 + (sin(\alpha) - sin(\beta))^2$$Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:$$d^2 = cos^2(\alpha) - 2cos(\alpha)cos(\beta) + cos^2(\beta) + sin^2(\alpha) - 2sin(\alpha)sin(\beta) + sin^2(\beta)$$Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(\theta) + cos^2(\theta) = 1$:$$d^2 = (cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha)) + (cos^2(\beta) + sin^2(\beta)) - 2cos(\alpha)cos(\beta) - 2sin(\alpha)sin(\beta)$$$$d^2 = 1 + 1 - 2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$$$d^2 = 2 - 2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OP_\alpha P_\beta$. Длины сторон $OP_\alpha$ и $OP_\beta$ равны радиусу единичной окружности, то есть 1. Угол $\angle P_\beta O P_\alpha$ между этими сторонами равен $\alpha - \beta$.

4. Применим к треугольнику $\triangle OP_\alpha P_\beta$ теорему косинусов. Квадрат стороны, противолежащей углу, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.$$d(P_\alpha, P_\beta)^2 = |OP_\alpha|^2 + |OP_\beta|^2 - 2 \cdot |OP_\alpha| \cdot |OP_\beta| \cdot cos(\alpha - \beta)$$Подставим известные значения длин сторон:$$d^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos(\alpha - \beta)$$$$d^2 = 2 - 2cos(\alpha - \beta)$$

5. Мы получили два разных выражения для квадрата расстояния $d^2$. Приравняем их:$$2 - 2cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$Вычтем 2 из обеих частей уравнения:$$-2cos(\alpha - \beta) = -2(cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$$Разделим обе части на $-2$:$$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$$Формула доказана.

Ответ: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.

5. Дано тождество $sin 2x \cos 5x + \cos 2x \sin 5x = f(x)$. Какое из утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 3x$;

б) $f(x) = \cos 3x$;

в) $f(x) = \sin 7x$;

г) $f(x) = \cos 7x$?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо упростить левую часть данного тождества: $ \sin 2x \cos 5x + \cos 2x \sin 5x = f(x) $.

Выражение в левой части представляет собой развернутую формулу для синуса суммы двух углов, которая имеет следующий вид:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $

В нашем случае, если мы примем $ \alpha = 2x $ и $ \beta = 5x $, то левая часть тождества полностью совпадает с этой формулой.

Следовательно, мы можем "свернуть" данное выражение:

$ f(x) = \sin(2x + 5x) $

Выполнив сложение в аргументе синуса, мы получим окончательный вид функции $ f(x) $:

$ f(x) = \sin(7x) $

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

а) $ f(x) = \sin 3x $ - неверно.

б) $ f(x) = \cos 3x $ - неверно.

в) $ f(x) = \sin 7x $ - верно, так как это совпадает с нашим результатом.

г) $ f(x) = \cos 7x $ - неверно.

Ответ: в

6. Дано тождество $ \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x = f(x) $. Какое из утверждений верно:

a) $ f(x) = \sin 3x $;

б) $ f(x) = \cos 3x $;

в) $ f(x) = \sin 7x $;

г) $ f(x) = \cos 7x $?

Для решения данной задачи необходимо использовать тригонометрическую формулу косинуса суммы двух углов. Формула имеет следующий вид:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Дано тождество: $f(x) = \cos 2x \cos 5x - \sin 2x \sin 5x$.

Сравним выражение для $f(x)$ с формулой косинуса суммы. Если мы положим $\alpha = 2x$ и $\beta = 5x$, то правая часть данного тождества в точности соответствует правой части формулы косинуса суммы.

Следовательно, мы можем преобразовать выражение для $f(x)$:

$f(x) = \cos(2x + 5x)$

Выполняем сложение в аргументе косинуса:

$f(x) = \cos(7x)$

Теперь сравним полученный результат с предложенными утверждениями, чтобы определить, какое из них является верным.

а) $f(x) = \sin 3x$. Это утверждение неверно, так как $f(x) = \cos 7x$.

б) $f(x) = \cos 3x$. Это утверждение неверно, так как $f(x) = \cos 7x$.

в) $f(x) = \sin 7x$. Это утверждение неверно, так как $f(x) = \cos 7x$.

г) $f(x) = \cos 7x$. Это утверждение верно.

Ответ: г) $f(x) = \cos

39.3. Известно, что $ \lim_{x \to \infty} f(x) = 2 $, $ \lim_{x \to \infty} g(x) = -3 $, $ \lim_{x \to \infty} h(x) = 9 $.

Вычислите:

а) $ \lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x) - h(x)) $;

б) $ \lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot (f(x))^2) $;

в) $ \lim_{x \to \infty} (g(x) - f(x) + h(x)) $;

г) $ \lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)) $.

Для решения этой задачи используются основные свойства пределов, также известные как теоремы о пределах. Если функции имеют конечные пределы при $x \to \infty$, то предел их суммы, разности, произведения и степени также существует и может быть вычислен по следующим правилам:

• Предел суммы/разности: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) \pm \lim_{x \to \infty} g(x)$
• Предел произведения: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = (\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} g(x))$
• Предел степени: $\lim_{x \to \infty} (f(x))^n = (\lim_{x \to \infty} f(x))^n$

В условии даны следующие пределы:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$

$\lim_{x \to \infty} g(x) = -3$

$\lim_{x \to \infty} h(x) = 9$

Используя эти данные и свойства пределов, вычислим значения выражений.

а) Применяем свойство предела суммы и разности:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x) - h(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) - \lim_{x \to \infty} h(x)$

Подставляем известные значения пределов:

$2 + (-3) - 9 = 2 - 3 - 9 = -10$

Ответ: -10

б) Применяем свойство предела произведения и свойство предела степени:

$\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot (f(x))^2) = (\lim_{x \to \infty} g(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} f(x))^2$

Подставляем известные значения:

$(-3) \cdot (2)^2 = -3 \cdot 4 = -12$

Ответ: -12

в) Применяем свойство предела суммы и разности:

$\lim_{x \to \infty} (g(x) - f(x) + h(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x) - \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} h(x)$

Подставляем известные значения:

$-3 - 2 + 9 = -5 + 9 = 4$

Ответ: 4

г) Применяем свойство предела произведения для трех функций:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)) = (\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} g(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} h(x))$

Подставляем известные значения:

$2 \cdot (-3) \cdot 9 = -6 \cdot 9 = -54$

Ответ: -54

39.4. Известно, что $\lim_{x\to\infty} f(x) = -2$, $\lim_{x\to\infty} g(x) = -10$, $\lim_{x\to\infty} h(x) = 6$.

Вычислите:

a) $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$

б) $\lim_{x\to\infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15}$

в) $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)}$

г) $\lim_{x\to\infty} \frac{3g(x)}{5h(x)}$

Для вычисления данных пределов мы воспользуемся свойствами пределов (предел суммы, произведения, частного и постоянной величины), так как известно, что пределы функций $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ при $x \to \infty$ существуют и конечны.

Дано: $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10$, $\lim_{x \to \infty} h(x) = 6$.

а)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ применим свойство предела частного. Так как предел знаменателя $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10 \ne 0$, то предел частного равен частному пределов:

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15}$ воспользуемся свойствами предела суммы, произведения на константу и частного. Сначала найдем пределы числителя и знаменателя по отдельности.

Предел числителя: $\lim_{x \to \infty} (3f(x) + h(x)) = 3 \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} h(x) = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$.

Предел знаменателя: $\lim_{x \to \infty} (2g(x) + 15) = 2 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) + \lim_{x \to \infty} 15 = 2 \cdot (-10) + 15 = -20 + 15 = -5$.

Поскольку предел знаменателя не равен нулю, можем найти предел частного:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15} = \frac{0}{-5} = 0$.

Ответ: $0$.

в)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)}$ используем свойства предела произведения и частного.

Предел числителя: $\lim_{x \to \infty} (f(x)h(x)) = (\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} h(x)) = (-2) \cdot 6 = -12$.

Предел знаменателя $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10 \ne 0$.

Следовательно, предел частного равен:

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} (f(x)h(x))}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

г)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)}$ воспользуемся свойством вынесения константы за знак предела и свойством предела частного.

$\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} (3g(x))}{\lim_{x \to \infty} (5h(x))} = \frac{3 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x)}{5 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x)}$.

Предел знаменателя $5 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x) = 5 \cdot 6 = 30 \ne 0$. Подставляем известные значения пределов:

$\frac{3 \cdot (-10)}{5 \cdot 6} = \frac{-30}{30} = -1$.

Ответ: $-1$.

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$, обладающей указанными свойствами:

39.5. a) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3;$

б) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2;$

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5;$

г) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0.$

а) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту, заданную уравнением $y=3$. Это значит, что при $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, график функции неограниченно приближается к прямой $y=3$.

В качестве примера функции, обладающей таким свойством, можно рассмотреть $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$.

Ее график — это стандартная гипербола $y = 1/x$, смещенная на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота графика — ось Oy (уравнение $x=0$). Горизонтальная асимптота — прямая $y=3$, что полностью удовлетворяет условию задачи. При $x > 0$ значения функции больше 3 и убывают, приближаясь к 3. При $x < 0$ значения функции меньше 3 и возрастают, приближаясь к 3.

Ответ: Пример функции: $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$. Её график - гипербола с горизонтальной асимптотой $y=3$.

б) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$.

Примером такой функции является $f(x) = -2 + \frac{1}{x}$.

График этой функции получается смещением графика гиперболы $y=1/x$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота этого графика — прямая $x=0$, а горизонтальная асимптота — прямая $y=-2$. При $x \to +\infty$ график приближается к асимптоте $y=-2$ сверху, а при $x \to -\infty$ — снизу.

Ответ: Пример функции: $f(x) = -2 + \frac{1}{x}$. Её график - гипербола с горизонтальной асимптотой $y=-2$.

в) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$.

В качестве примера можно выбрать функцию $f(x) = -5 + \frac{1}{x^2}$.

График этой функции симметричен относительно оси Oy, так как функция является четной. Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-5$. Поскольку слагаемое $\frac{1}{x^2}$ всегда положительно (при $x \neq 0$), график функции всегда находится выше своей горизонтальной асимптоты $y=-5$. При $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ обе ветви графика приближаются к прямой $y=-5$ сверху.

Ответ: Пример функции: $f(x) = -5 + \frac{1}{x^2}$. Её график имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$.

г) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$, то есть ось абсцисс (ось Ox).

Примером функции с таким свойством может служить $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$.

Эта функция определена для всех действительных чисел $x$, поэтому у ее графика нет вертикальных асимптот. Функция является четной ($f(-x)=f(x)$), значит, ее график симметричен относительно оси Oy. Максимальное значение функция достигает при $x=0$, $f(0)=1$. Поскольку $x^2+1 \geq 1$, то $0 < f(x) \leq 1$. При $x \to \infty$, знаменатель $x^2+1$ неограниченно растет, следовательно, вся дробь стремится к 0. График этой функции известен как "локон Аньези". Он представляет собой колоколообразную кривую, расположенную в верхней полуплоскости, с пиком в точке $(0, 1)$ и приближающуюся к оси Ox с обеих сторон.

Ответ: Пример функции: $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. Её график имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).

39.6. a) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 4$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$;

б) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 10$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$;

В) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$;

Г) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$.

а) Для нахождения функции $f(x)$, удовлетворяющей условиям $\lim_{x \to \infty} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, можно использовать конструкцию вида $f(x) = a + b \cdot g(x)$, где $g(x)$ имеет разные конечные пределы при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. Возьмем в качестве $g(x)$ функцию $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, для которой $\lim_{x \to \infty} g(x) = 1$ и $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -1$.
Тогда для функции $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$ ее пределы на бесконечности равны $a+b$ и $a-b$.
Составим систему уравнений, используя заданные значения пределов ($A=4, B=0$):
$ \begin{cases} a+b = 4 \\ a-b = 0 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = 4$, откуда $a=2$. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2b = 4$, откуда $b=2$.
Таким образом, одна из возможных функций, удовлетворяющих условию, это $f(x) = 2 + \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = 2 + \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$

б) Требуется найти функцию $f(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = 10$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$.
Воспользуемся тем же подходом, что и в предыдущем пункте, и будем искать функцию в виде $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$.
Заданные значения пределов $A=10$ и $B=-2$. Составляем и решаем систему уравнений для коэффициентов $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a+b = 10 \\ a-b = -2 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = 8$, откуда $a=4$.
Подставляя $a=4$ в первое уравнение, находим $b$: $4+b = 10 \implies b=6$.
Следовательно, искомая функция имеет вид $f(x) = 4 + \frac{6x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = 4 + \frac{6x}{\sqrt{x^2+1}}$

в) Требуется найти функцию $f(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$.
Ищем функцию в виде $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$.
Заданные значения пределов $A=-2$ и $B=1$. Составляем систему:
$ \begin{cases} a+b = -2 \\ a-b = 1 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = -1$, откуда $a=-\frac{1}{2}$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2b = -3$, откуда $b=-\frac{3}{2}$.
Таким образом, искомая функция: $f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{3x}{2\sqrt{x^2+1}}$

г) Требуется найти функцию $f(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$.
Ищем функцию в виде $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$.
Заданные значения пределов $A=3$ и $B=-4$. Составляем систему:
$ \begin{cases} a+b = 3 \\ a-b = -4 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = -1$, откуда $a=-\frac{1}{2}$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2b = 7$, откуда $b=\frac{7}{2}$.
Таким образом, искомая функция: $f(x) = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2} + \frac{7x}{2\sqrt{x^2+1}}$

39.7. a) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ и $f(x) > 0$ на $(-\infty; +\infty);$

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$ и $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-7; 3];$

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ и $f(x) > 0$ на $[0; +\infty);$

г) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ и $f(x) < 0$ на $(-\infty; +\infty).$

а) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$ означает, что при достаточно больших значениях $x$ значения функции $f(x)$ сколь угодно близко приближаются к 5. Второе условие $f(x) > 0$ на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ требует, чтобы функция была строго положительной для любого $x$.

Эти два условия не противоречат друг другу. Если функция стремится к 5, то на некотором луче $(M; +\infty)$ она будет положительной (например, будет находиться в интервале $(4, 6)$). Условие положительности на всей оси можно обеспечить, выбрав подходящую функцию.

Простейшим примером такой функции является постоянная функция $f(x) = 5$.

Проверим выполнение условий для $f(x) = 5$:
1) Предел постоянной функции равен этой же постоянной: $\lim_{x \to \infty} 5 = 5$. Первое условие выполнено.
2) Значение функции равно 5 при любом $x$, а $5 > 0$. Следовательно, $f(x) > 0$ на $(-\infty; +\infty)$. Второе условие выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.

б) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$ означает, что при стремлении $x$ к $-\infty$ значения функции приближаются к -3. Из определения предела следует, что для любого $\epsilon > 0$ найдется такое число $N$, что для всех $x < N$ будет выполняться неравенство $|f(x) - (-3)| < \epsilon$. Если взять, например, $\epsilon = 1$, то для $x < N$ значения функции будут находиться в интервале $(-4; -2)$, то есть будут отрицательными.

Второе условие $f(x) \ge 0$ на отрезке $[-7; 3]$ требует, чтобы на этом конкретном отрезке функция была неотрицательной.

Условия не противоречат друг другу, так как они относятся к разным частям области определения функции. Можно подобрать такое $N$ (например, $N = -8$), что интервал $(-\infty; N)$ и отрезок $[-7; 3]$ не пересекаются. Таким образом, функция может быть отрицательной на бесконечности и неотрицательной на заданном отрезке.

Приведем пример такой функции, используя кусочное задание. Для обеспечения непрерывности в точке $x=-7$ можно подобрать коэффициенты соответствующим образом. $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{при } x \ge -7 \\ -3 + 4e^{x+7}, & \text{при } x < -7 \end{cases}$

Проверим выполнение условий для этой функции:
1) Найдем предел при $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (-3 + 4e^{x+7}) = -3 + 4 \cdot 0 = -3$. Первое условие выполнено.
2) На отрезке $[-7; 3]$ функция задается формулой $f(x)=1$. Так как $1 \ge 0$, второе условие также выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.

в) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to \infty$. Второе условие $f(x) > 0$ на луче $[0; +\infty)$ означает, что для всех неотрицательных $x$ график функции лежит строго выше оси абсцисс.

Эти условия не противоречат друг другу. Функция может приближаться к нулю, оставаясь при этом положительной. Это означает, что она стремится к своей асимптоте сверху.

В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{1}{x+1}$.

Проверим выполнение условий для $f(x) = \frac{1}{x+1}$:
1) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} = 0$. Первое условие выполнено.
2) Если $x \in [0; +\infty)$, то $x \ge 0$, следовательно $x+1 \ge 1 > 0$. Тогда и $f(x) = \frac{1}{x+1}$ будет строго больше нуля. Второе условие выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.

г) Проанализируем условия. Первое условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$. Второе условие $f(x) < 0$ на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ требует, чтобы график функции полностью лежал ниже оси абсцисс.

Эти условия не противоречат друг другу. Функция может приближаться к нулю, оставаясь при этом отрицательной. Это означает, что она стремится к своей асимптоте снизу.

В качестве примера можно привести функцию $f(x) = -\frac{1}{x^2+1}$.

Проверим выполнение условий для $f(x) = -\frac{1}{x^2+1}$:
1) $\lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{x^2+1}\right) = 0$, так как при $x \to -\infty$ знаменатель $x^2+1 \to +\infty$. Первое условие выполнено.
2) Для любого действительного числа $x$ выполнено неравенство $x^2 \ge 0$, значит $x^2+1 \ge 1$. Следовательно, дробь $\frac{1}{x^2+1}$ всегда положительна. Тогда $f(x) = -\frac{1}{x^2+1}$ всегда отрицательна. Второе условие выполнено.

Ответ: Да, такая функция существует.