Номер 39.5, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$, обладающей указанными свойствами:

39.5. a) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3;$

б) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2;$

в) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5;$

г) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0.$

а) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту, заданную уравнением $y=3$. Это значит, что при $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, график функции неограниченно приближается к прямой $y=3$.

В качестве примера функции, обладающей таким свойством, можно рассмотреть $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$.

Ее график — это стандартная гипербола $y = 1/x$, смещенная на 3 единицы вверх. Вертикальная асимптота графика — ось Oy (уравнение $x=0$). Горизонтальная асимптота — прямая $y=3$, что полностью удовлетворяет условию задачи. При $x > 0$ значения функции больше 3 и убывают, приближаясь к 3. При $x < 0$ значения функции меньше 3 и возрастают, приближаясь к 3.

Ответ: Пример функции: $f(x) = 3 + \frac{1}{x}$. Её график - гипербола с горизонтальной асимптотой $y=3$.

б) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$.

Примером такой функции является $f(x) = -2 + \frac{1}{x}$.

График этой функции получается смещением графика гиперболы $y=1/x$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота этого графика — прямая $x=0$, а горизонтальная асимптота — прямая $y=-2$. При $x \to +\infty$ график приближается к асимптоте $y=-2$ сверху, а при $x \to -\infty$ — снизу.

Ответ: Пример функции: $f(x) = -2 + \frac{1}{x}$. Её график - гипербола с горизонтальной асимптотой $y=-2$.

в) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$.

В качестве примера можно выбрать функцию $f(x) = -5 + \frac{1}{x^2}$.

График этой функции симметричен относительно оси Oy, так как функция является четной. Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. Горизонтальная асимптота — прямая $y=-5$. Поскольку слагаемое $\frac{1}{x^2}$ всегда положительно (при $x \neq 0$), график функции всегда находится выше своей горизонтальной асимптоты $y=-5$. При $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$ обе ветви графика приближаются к прямой $y=-5$ сверху.

Ответ: Пример функции: $f(x) = -5 + \frac{1}{x^2}$. Её график имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$.

г) Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ означает, что график функции $y=f(x)$ имеет горизонтальную асимптоту $y=0$, то есть ось абсцисс (ось Ox).

Примером функции с таким свойством может служить $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$.

Эта функция определена для всех действительных чисел $x$, поэтому у ее графика нет вертикальных асимптот. Функция является четной ($f(-x)=f(x)$), значит, ее график симметричен относительно оси Oy. Максимальное значение функция достигает при $x=0$, $f(0)=1$. Поскольку $x^2+1 \geq 1$, то $0 < f(x) \leq 1$. При $x \to \infty$, знаменатель $x^2+1$ неограниченно растет, следовательно, вся дробь стремится к 0. График этой функции известен как "локон Аньези". Он представляет собой колоколообразную кривую, расположенную в верхней полуплоскости, с пиком в точке $(0, 1)$ и приближающуюся к оси Ox с обеих сторон.

Ответ: Пример функции: $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. Её график имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).