Номер 39.10, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.10. Постройте график непрерывной на $(-\infty; +\infty)$ функции $y = f(x)$, обладающей следующими свойствами:

a) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$; $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$; $E(f) = [-5; 5]$, функция убывает на $[2; 7]$;

б) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 5$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, $E(f) = [-3; 5)$, $f(x) < 0$ на $(0; +\infty)$, функция возрастает на $[3; +\infty)$ и убывает на $[0; 3]$.

a) Проанализируем заданные свойства для построения графика непрерывной функции $y = f(x)$.
Условие $lim_{x\to-\infty} f(x) = 0$ и $lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$ означает, что ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой графика функции на обеих бесконечностях. Условие $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$ говорит о том, что на этом интервале график функции лежит выше оси $Ox$. В сочетании с пределом при $x \to -\infty$, это означает, что функция приближается к оси $Ox$ сверху.
Область значений $E(f) = [-5; 5]$ означает, что наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее равно -5. Так как $f(x) > 0$ для $x < 0$, точка максимума, в которой $f(x) = 5$, должна находиться на интервале $(-\infty; 0)$. Пусть, для примера, это будет точка с абсциссой $x_{max} = -2$.
Так как функция непрерывна на $(-\infty; +\infty)$, положительна на $(-\infty; 0)$ и принимает отрицательные значения (до -5), она должна пересечь ось $Ox$. Из условия $f(x) > 0$ на $(-\infty; 0)$ следует, что пересечение может произойти только при $x \ge 0$. Для обеспечения непрерывности и простоты, положим, что $f(0) = 0$.
Минимальное значение $f(x) = -5$ должно достигаться в некоторой точке $x_{min} > 0$. Функция убывает на отрезке $[2; 7]$. Это означает, что точка минимума $x_{min}$ может лежать на этом отрезке или правее. Для простоты выберем $x_{min} = 7$, тогда $f(7) = -5$. Это согласуется с условием убывания на $[2; 7]$. После достижения минимума в точке $x_{min}$, функция должна возрастать, чтобы асимптотически приблизиться к $y=0$ при $x \to +\infty$.

Ответ: Один из возможных графиков функции имеет следующий вид: при $x \to -\infty$ график асимптотически приближается к оси $Ox$ ($y=0$) сверху. На интервале $(-\infty, 0)$ функция положительна, возрастает до точки локального максимума, например, $(-2, 5)$, а затем убывает до точки $(0, 0)$. На интервале $(0, +\infty)$ функция отрицательна, убывает до точки глобального минимума, например, $(7, -5)$, а затем возрастает, асимптотически приближаясь к оси $Ox$ ($y=0$) снизу. Условие убывания на отрезке $[2, 7]$ выполнено.

б) Проанализируем заданные свойства для построения графика непрерывной функции $y = f(x)$.
Условие $lim_{x\to-\infty} f(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Условие $lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$ означает, что ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
Область значений $E(f) = [-3; 5)$ означает, что наименьшее значение функции равно -3, а значение 5 не достигается. То, что 5 не достигается, в сочетании с пределом при $x \to -\infty$ говорит о том, что функция приближается к асимптоте $y=5$ снизу.
Условия, что функция убывает на $[0; 3]$ и возрастает на $[3; +\infty)$, означают, что в точке $x=3$ функция имеет локальный минимум. Поскольку на $(-\infty, 0)$ значения функции стремятся к 5 (и всегда меньше 5), а на $[0, +\infty)$ минимальное значение достигается в точке $x=3$, то точка $(3, f(3))$ является точкой глобального минимума. Следовательно, $f(3) = -3$.
Условие $f(x) < 0$ на $(0; +\infty)$ означает, что для всех положительных $x$ график лежит ниже оси $Ox$. Так как на $[3, +\infty)$ функция возрастает от -3 к 0, это условие выполняется. На $(0, 3)$ функция убывает к -3. Чтобы условие $f(x) < 0$ выполнялось на всем интервале $(0, +\infty)$, необходимо, чтобы $f(0) \le 0$. Для простоты выберем $f(0)=0$.
На основе анализа, график можно построить следующим образом: на интервале $(-\infty, 0)$ функция убывает от значений, близких к 5, до $f(0)=0$. На интервале $[0, 3]$ она продолжает убывать до минимума в точке $(3, -3)$. На интервале $[3, +\infty)$ она возрастает от -3 и приближается к асимптоте $y=0$ снизу.

Ответ: Один из возможных графиков функции имеет следующий вид: при $x \to -\infty$ график асимптотически приближается к прямой $y=5$ снизу. Функция убывает на всем промежутке $(-\infty, 3]$, проходя через точку $(0, 0)$ и достигая глобального минимума в точке $(3, -3)$. На промежутке $[3, +\infty)$ функция возрастает, асимптотически приближаясь к оси $Ox$ ($y=0$) снизу. При этом $f(x) > 0$ для $x<0$ и $f(x) \le 0$ для $x \ge 0$, что удовлетворяет условию $f(x) < 0$ на $(0, +\infty)$.