Номер 39.16, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.16. a) $ \lim_{x \to \infty} \frac{4x - x^2 + 1}{5x^2 - 2x}; $

б) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 8}{x^3 + 18}; $

в) $ \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x}; $

г) $ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x^4 + 2x + 1}. $

а)

Для нахождения предела отношения двух многочленов при $x \to \infty$, разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени, которая присутствует в знаменателе. В данном случае это $x^2$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{4x - x^2 + 1}{5x^2 - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} - 1 + \frac{1}{x^2}}{5 - \frac{2}{x}} $

При $x \to \infty$ значения выражений $\frac{4}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю. Подставляя эти значения, получаем:

$ \frac{0 - 1 + 0}{5 - 0} = -\frac{1}{5} $

Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (оба равны 2), предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: $\frac{-1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$

б)

Степени многочленов в числителе и знаменателе равны (оба равны 3). Разделим числитель и знаменатель на $x^3$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 8}{x^3 + 18} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{8}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{18}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{8}{x^3}}{1 + \frac{18}{x^3}} $

При $x \to \infty$ выражения $\frac{8}{x^3}$ и $\frac{18}{x^3}$ стремятся к нулю.

$ \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 $

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях ($x^3$), то есть $\frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

в)

Степени многочленов в числителе и знаменателе равны (оба равны 2). Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{4}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - 2 + \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{2}{x}} $

При $x \to \infty$ выражения $\frac{3}{x}$, $\frac{4}{x^2}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю.

$ \frac{0 - 2 + 0}{3 + 0} = -\frac{2}{3} $

Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях ($x^2$), то есть $\frac{-2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$

г)

В этом случае степень многочлена в числителе (3) меньше степени многочлена в знаменателе (4). Разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $x^4$.

$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x^4 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^4} - \frac{3x^2}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4} + \frac{2x}{x^4} + \frac{1}{x^4}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}} $

При $x \to \infty$, все члены, содержащие $x$ в знаменателе, стремятся к нулю.

$ \frac{0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0 $

Поскольку степень многочлена в знаменателе больше степени многочлена в числителе, предел равен нулю.

Ответ: $0$