Номер 39.15, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.15. a) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5};$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{5 - 5x}{2x^2 - 9x};$

В) $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1};$

Г) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 - 6x}.$

а)

Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5}$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{x^2 + 7x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x - 1}{x^2}}{\frac{x^2 + 7x + 5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} + \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}}$

При $x \to \infty$, значения выражений $\frac{3}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{7}{x}$ и $\frac{5}{x^2}$ стремятся к нулю.

Следовательно, получаем: $\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

Также можно заметить, что степень многочлена в числителе (1) меньше степени многочлена в знаменателе (2), поэтому предел равен нулю.

Ответ: $0$

б)

Для нахождения предела $\lim_{x \to \infty} \frac{5 - 5x}{2x^2 - 9x}$ мы также сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - 5x}{2x^2 - 9x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 - 5x}{x^2}}{\frac{2x^2 - 9x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^2} - \frac{5x}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} - \frac{9x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^2} - \frac{5}{x}}{2 - \frac{9}{x}}$

Так как при $x \to \infty$ выражения $\frac{5}{x^2}$, $\frac{5}{x}$ и $\frac{9}{x}$ стремятся к нулю, мы можем подставить эти значения в предел.

$\frac{0 - 0}{2 - 0} = \frac{0}{2} = 0$

Как и в предыдущем случае, степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), что подтверждает, что предел равен нулю.

Ответ: $0$

в)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1}$. Здесь снова неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$ (старшая степень в знаменателе).

$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x - 1}{3x^2 - 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x - 1}{x^2}}{\frac{3x^2 - 4x + 1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-2}{x} - \frac{1}{x^2}}{3 - \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$

При $x \to \infty$, дроби $\frac{-2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{4}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю.

Таким образом, предел равен: $\frac{0 - 0}{3 - 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0$

Степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), поэтому предел равен нулю.

Ответ: $0$

г)

Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 - 6x}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 - 6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x + 3}{x^2}}{\frac{12x^2 - 6x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x}{x^2} + \frac{3}{x^2}}{\frac{12x^2}{x^2} - \frac{6x}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}{12 - \frac{6}{x}}$

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{4}{x}$, $\frac{3}{x^2}$ и $\frac{6}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{0 + 0}{12 - 0} = \frac{0}{12} = 0$

Здесь также степень многочлена в числителе (1) меньше, чем степень многочлена в знаменателе (2), что приводит к нулевому пределу.

Ответ: $0$