Номер 39.17, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.17. a) $lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2};$

б) $lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x - 1};$

В) $lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 8}{x^2 - 1};$

Г) $lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}.$

а) Чтобы найти предел $\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} + \frac{9}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}$.
Поскольку при $x \to \infty$ выражения вида $\frac{c}{x^n}$ (где $c$ - константа, $n > 0$) стремятся к нулю, то $\frac{9}{x^2} \to 0$ и $\frac{2}{x^2} \to 0$.
Подставив эти значения, получаем:
$\frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4$.
Ответ: 4

б) Найдем предел $\lim_{x\to\infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x - 1}$. Здесь также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{12x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{12 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{6 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ дроби $\frac{5}{x}$, $\frac{2}{x^2}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю.
Следовательно, предел равен:
$\frac{12 + 0 + 0}{6 + 0 - 0} = \frac{12}{6} = 2$.
Ответ: 2

в) Для предела $\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 8}{x^2 - 1}$ снова сталкиваемся с неопределенностью $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 8}{x^2 - 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{8}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{3 - \frac{8}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}$.
Учитывая, что при $x \to \infty$ выражения $\frac{8}{x^2}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{3 - 0}{1 - 0} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: 3

г) Рассмотрим предел $\lim_{x\to\infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1}$. Это неопределенность типа $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее решения разделим числитель и знаменатель на $x^2$.
$\lim_{x\to\infty} \frac{10x^2 + 4x - 3}{5x^2 + 2x + 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{10x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{10 + \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$.
При $x \to \infty$ дроби $\frac{4}{x}$, $\frac{3}{x^2}$, $\frac{2}{x}$ и $\frac{1}{x^2}$ стремятся к нулю.
Таким образом, предел равен:
$\frac{10 + 0 - 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2$.
Ответ: 2