Номер 39.20, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.20. Постройте график какой-нибудь функции $y = f(x)$, обладающей заданными свойствами:

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3;$

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0;$

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4, f(-1)$ не существует;

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5.$

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ и $f(2) = 3$

Условие $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ означает, что при приближении значения $x$ к 2, значение функции $f(x)$ стремится к 3.

Условие $f(2) = 3$ означает, что значение функции в точке $x = 2$ равно 3.

Поскольку предел функции в точке равен значению функции в этой точке, это является определением непрерывности функции в точке $x=2$. Таким образом, график функции проходит через точку $(2, 3)$ без разрывов, скачков или проколов.

Самым простым примером такой функции является постоянная функция.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = 3$. Её график — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 3)$ параллельно оси абсцисс.

б) $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$

Условие $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$ означает, что при приближении $x$ к -6 (как слева, так и справа), значения функции $f(x)$ стремятся к 4. График функции подходит к точке $(-6, 4)$. При этом значение самой функции в точке $x=-6$ не определено условием, но для простоты мы можем построить функцию, непрерывную в этой точке.

Условие $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ означает, что при $x$, стремящемся к минус бесконечности, значения функции стремятся к нулю. Это значит, что прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$.

Примером функции, удовлетворяющей этим свойствам, может служить дробно-рациональная функция, например, $f(x) = \frac{A}{(x-a)^2+b} + c$. Построив такую функцию с пиком в точке $(-6, 4)$ и асимптотой $y=0$, получим $a=-6$, $c=0$. Для того чтобы в точке $x=-6$ значение было 4, нужно чтобы $\frac{A}{b}=4$. Возьмем $b=1$, тогда $A=4$.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{4}{(x+6)^2 + 1}$. Ее график — это кривая, похожая на колокол, с вершиной в точке $(-6, 4)$, которая приближается к оси $Ox$ ($y=0$) при $x \to -\infty$.

в) $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$, $f(-1)$ не существует

Условие $\lim_{x \to -1} f(x) = 4$ означает, что при стремлении $x$ к -1, значения функции $f(x)$ стремятся к 4.

Условие "$f(-1)$ не существует" означает, что функция не определена в точке $x = -1$.

Такая ситуация называется устранимым разрывом. На графике это изображается в виде "выколотой" точки. То есть, график функции подходит к точке $(-1, 4)$, но сама эта точка на графике отсутствует.

Чтобы построить такую функцию, можно взять любую функцию, для которой предел в точке -1 равен 4 (например, $g(x)=4$), и искусственно исключить точку $x=-1$ из её области определения.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{4(x+1)}{x+1}$. Эта функция равна 4 при всех $x \neq -1$, а в точке $x=-1$ не определена. Её график — это горизонтальная прямая $y=4$ с выколотой точкой $(-1, 4)$.

г) $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ и $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$

Условие $\lim_{x \to 3} f(x) = -1$ означает, что при приближении $x$ к 3, значения функции $f(x)$ стремятся к -1. График функции подходит к точке $(3, -1)$.

Условие $\lim_{x \to \infty} f(x) = -5$ означает, что при $x$, стремящемся к плюс бесконечности, значения функции стремятся к -5. Это значит, что прямая $y=-5$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to \infty$.

Можно построить дробно-рациональную функцию вида $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$. Чтобы асимптота при $x \to \infty$ была $y=-5$, нужно, чтобы $\frac{a}{c}=-5$. Возьмем $a=-5, c=1$. Получим $f(x) = \frac{-5x+b}{x+d}$. Теперь подставим условие для предела в точке 3: $\lim_{x \to 3} \frac{-5x+b}{x+d} = \frac{-15+b}{3+d} = -1$. Отсюда $-15+b = -3-d$, или $b+d = 12$. Мы можем выбрать любые подходящие $b$ и $d$, например, $d=1$, тогда $b=11$.

Ответ: В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \frac{-5x+11}{x+1}$. График этой функции проходит через точку $(3, -1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-5$ при $x \to \infty$.