Номер 39.25, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.25. a) $\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x - 1};$

б) $\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1};$

В) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2};$

Г) $\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x - 1}.$

а) Найдем предел функции $\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x - 1}$.

Функции в числителе $f(x) = \sin(\pi x)$ и в знаменателе $g(x) = x - 1$ являются непрерывными. Точка $x=4$ входит в область определения дроби, так как знаменатель в этой точке не равен нулю. Поэтому для нахождения предела можно просто подставить предельное значение $x = 4$ в выражение.

Вычислим значение числителя при $x = 4$:
$\sin(\pi \cdot 4) = \sin(4\pi) = 0$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 4$:
$4 - 1 = 3$.

Так как при подстановке мы получили определенное значение, предел равен значению функции в этой точке:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x - 1} = \frac{0}{3} = 0$.

Ответ: $0$.

б) Найдем предел функции $\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1}$.

Функция под знаком предела является отношением двух непрерывных функций. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль в точке $x = 2$.

Вычислим значение числителя при $x = 2$:
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 2$:
$2 \cdot 2 + 1 = 5$.

Знаменатель не равен нулю. Следовательно, предел можно найти прямой подстановкой:

$\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1} = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) Найдем предел функции $\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2}$.

Как и в предыдущих случаях, функции в числителе и знаменателе непрерывны. Проверим значение знаменателя в точке $x = 0$.

Вычислим значение числителя при $x = 0$:
$\cos(\pi \cdot 0) = \cos(0) = 1$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 0$:
$0 + 2 = 2$.

Так как знаменатель не равен нулю, предел находится прямой подстановкой значения $x = 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2} = \frac{\cos(0)}{0 + 2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Найдем предел функции $\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x - 1}$.

Функция под знаком предела является непрерывной в точке $x=2$, если знаменатель в этой точке не обращается в ноль. Выполним прямую подстановку.

Вычислим значение числителя при $x = 2$:
$\cos\left(\frac{2\pi}{2}\right) = \cos(\pi) = -1$.

Вычислим значение знаменателя при $x = 2$:
$3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$.

Знаменатель не равен нулю, неопределенности нет. Предел равен значению функции в точке:

$\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x - 1} = \frac{\cos(\frac{2\pi}{2})}{3 \cdot 2 - 1} = \frac{\cos(\pi)}{5} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $-\frac{1}{5}$.