Номер 39.32, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

39.32. а) $ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x}; $

в) $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x}; $

б) $ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}; $

г) $ \lim_{x\to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x}. $

а) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\tg x}$ заменим тангенс на отношение синуса к косинусу, используя тождество $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\tg x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}}$
Поскольку $x$ стремится к нулю, но не равен ему ($x \neq 0$), то и $\sin x \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $\sin x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$.
Ответ: $1$.

б) При подстановке $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение $\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как:
$\sin(3\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) = -1 + 1 = 0$
$\cos(3\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 + 0 = 0$
Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Применяем эти формулы:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2}}{2 \cos\frac{3x+x}{2} \cos\frac{3x-x}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin(2x) \cos x}{2 \cos(2x) \cos x}$
Поскольку $x \to \frac{\pi}{2}$, но $x \neq \frac{\pi}{2}$, то $\cos x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $2 \cos x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tg(2x) = \tg(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \tg(\pi) = 0$.
Ответ: $0$.

в) Для вычисления предела $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\text{ctg } x}$ представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\text{ctg } x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}}$
Так как $x \to \frac{\pi}{2}$, но $x \neq \frac{\pi}{2}$, то $\cos x \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\cos x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \cdot \sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Ответ: $1$.

г) При подстановке $x = 0$ в выражение $\frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
$\cos(0) - \cos(0) = 1 - 1 = 0$
$\sin(0) + \sin(0) = 0 + 0 = 0$
Для раскрытия неопределенности используем формулы преобразования разности и суммы тригонометрических функций в произведение:
$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Применяем формулы к числителю и знаменателю:
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x - \cos 3x}{\sin 5x + \sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin\frac{5x+3x}{2} \sin\frac{5x-3x}{2}}{2 \sin\frac{5x+3x}{2} \cos\frac{5x-3x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin(4x) \sin x}{2 \sin(4x) \cos x}$
Поскольку $x \to 0$, но $x \neq 0$, то $\sin(4x) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $2 \sin(4x)$:
$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to 0} (-\tg x) = -\tg(0) = 0$.
Ответ: $0$.