Номер 39.27, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.27. a) $lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x};$

Б) $lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 + x};$

В) $lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x - 3};$

Г) $lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x^2 + 5x}.$

а) Для нахождения предела $lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x}$ сначала попробуем подставить предельное значение $x=0$ в выражение. Получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, преобразуем выражение, вынеся общий множитель $x$ в знаменателе за скобки.
$lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 - x} = lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(x - 1)}$
Сократим дробь на $x$, так как $x$ стремится к нулю, но не равен ему.
$lim_{x \to 0} \frac{x}{x - 1}$
Теперь подставим $x=0$ в упрощенное выражение:
$\frac{0}{0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$
Ответ: 0

б) Найдем предел $lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 + x}$. При подстановке $x = -1$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{-1+1}{(-1)^2 + (-1)} = \frac{0}{1-1} = \frac{0}{0}$. Разложим знаменатель на множители, вынеся $x$ за скобку.
$lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x(x + 1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+1)$, так как $x \to -1$, а значит $x \neq -1$.
$lim_{x \to -1} \frac{1}{x}$
Подставим $x = -1$ в полученное выражение:
$\frac{1}{-1} = -1$
Ответ: -1

в) Найдем предел $lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x - 3}$. Подстановка $x=3$ дает неопределенность $\frac{3^2 - 3 \cdot 3}{3 - 3} = \frac{9-9}{0} = \frac{0}{0}$. Для раскрытия неопределенности вынесем общий множитель $x$ в числителе за скобки.
$lim_{x \to 3} \frac{x(x - 3)}{x - 3}$
Сократим дробь на $(x-3)$, поскольку $x \to 3$, но $x \neq 3$.
$lim_{x \to 3} x$
Теперь значение предела очевидно:
$3$
Ответ: 3

г) Найдем предел $lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x^2 + 5x}$. В данном случае при подстановке $x=5$ неопределенности не возникает, поэтому мы можем просто подставить значение в выражение.
$lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{5 + 5}{5^2 + 5 \cdot 5} = \frac{10}{25 + 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$
Также можно было сначала упростить выражение, разложив знаменатель на множители:
$lim_{x \to 5} \frac{x + 5}{x(x + 5)} = lim_{x \to 5} \frac{1}{x} = \frac{1}{5}$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $\frac{1}{5}$