Номер 39.23, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

39.23. а) $ \lim_{x\to 1} (x^2 - 3x + 5) $;

б) $ \lim_{x\to \frac{1}{2}} \frac{2x + 3}{4x + 2} $;

в) $ \lim_{x\to -1} (x^2 + 6x - 8) $;

г) $ \lim_{x\to -\frac{1}{3}} \frac{7x - 14}{21x + 2} $.

а) Для вычисления предела $\lim_{x\to1} (x^2 - 3x + 5)$ нужно найти значение, к которому стремится функция $f(x) = x^2 - 3x + 5$ при $x$, стремящемся к 1. Поскольку данная функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой оси. Это означает, что предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Следовательно, мы можем просто подставить значение $x=1$ в выражение: $\lim_{x\to1} (x^2 - 3x + 5) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$.
Ответ: 3

б) Нужно вычислить предел $\lim_{x\to\frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2}$. Функция $f(x) = \frac{2x+3}{4x+2}$ является рациональной функцией (отношением двух многочленов). Такая функция непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не обращается в ноль. Проверим значение знаменателя в точке $x = \frac{1}{2}$: $4x + 2 = 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 2 + 2 = 4$. Так как знаменатель не равен нулю, мы можем найти предел путем прямой подстановки значения $x = \frac{1}{2}$ в функцию: $\lim_{x\to\frac{1}{2}} \frac{2x+3}{4x+2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3}{4 \cdot \frac{1}{2} + 2} = \frac{1 + 3}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: 1

в) Вычислим предел $\lim_{x\to-1} (x^2 + 6x - 8)$. Функция $f(x) = x^2 + 6x - 8$ является многочленом, поэтому она непрерывна для всех действительных значений $x$. Для нахождения предела достаточно подставить значение $x = -1$ в выражение: $\lim_{x\to-1} (x^2 + 6x - 8) = (-1)^2 + 6 \cdot (-1) - 8 = 1 - 6 - 8 = -13$.
Ответ: -13

г) Найдем значение предела $\lim_{x\to-\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2}$. Это предел рациональной функции. Сначала проверим, не обращается ли знаменатель в ноль в точке $x = -\frac{1}{3}$: $21x + 2 = 21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2 = -7 + 2 = -5$. Знаменатель не равен нулю, следовательно, функция непрерывна в этой точке. Можем найти предел прямой подстановкой: $\lim_{x\to-\frac{1}{3}} \frac{7x-14}{21x+2} = \frac{7 \cdot (-\frac{1}{3}) - 14}{21 \cdot (-\frac{1}{3}) + 2} = \frac{-\frac{7}{3} - 14}{-7 + 2} = \frac{-\frac{7}{3} - \frac{42}{3}}{-5} = \frac{-\frac{49}{3}}{-5} = \frac{49}{3 \cdot 5} = \frac{49}{15}$.
Ответ: $\frac{49}{15}$