Номер 39.24, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.24. a) $\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}$;

Б) $\lim_{x \to 0} \frac{2x-1}{x^2+3x-4}$;

В) $\lim_{x \to 3.5} \sqrt{2x-6}$;

Г) $\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$.

а)

Для вычисления предела $\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4}$ необходимо проверить, непрерывна ли функция $f(x) = \sqrt{x+4}$ в точке $x=5$. Область определения функции задается условием $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Поскольку точка $x=5$ принадлежит области определения функции, и функция является элементарной, она непрерывна в этой точке. Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке. Выполним прямую подстановку:
$\lim_{x \to 5} \sqrt{x+4} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

б)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to 0} \frac{2x-1}{x^2+3x-4}$. Функция $f(x) = \frac{2x-1}{x^2+3x-4}$ является рациональной. Рациональные функции непрерывны во всех точках своей области определения. Область определения - это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Проверим значение знаменателя в точке $x=0$:
$x^2+3x-4 = 0^2 + 3 \cdot 0 - 4 = -4$.
Так как знаменатель не равен нулю при $x=0$, функция непрерывна в этой точке. Значит, для нахождения предела можно подставить значение $x=0$ в функцию:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x-1}{x^2+3x-4} = \frac{2 \cdot 0 - 1}{0^2+3 \cdot 0-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в)

Для вычисления предела $\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x-6}$ проверим непрерывность функции $f(x)=\sqrt{2x-6}$ в точке $x=3,5$. Область определения функции задается условием $2x-6 \ge 0$, то есть $2x \ge 6$, или $x \ge 3$. Точка $x=3,5$ входит в область определения ($3,5 > 3$), и функция является элементарной, следовательно, она непрерывна в этой точке. Вычислим предел прямой подстановкой:
$\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x-6} = \sqrt{2 \cdot 3,5 - 6} = \sqrt{7-6} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1.

г)

Рассмотрим предел $\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$. Функция $f(x) = \frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$ является рациональной функцией. Она непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не обращается в ноль. Проверим значение знаменателя в точке $x=-1$:
$3x^2-2x+4 = 3(-1)^2 - 2(-1) + 4 = 3 \cdot 1 + 2 + 4 = 9$.
Знаменатель не равен нулю, значит, функция непрерывна в точке $x=-1$. Для вычисления предела подставим значение $x=-1$ в выражение:
$\lim_{x \to -1} \frac{5-2x}{3x^2-2x+4} = \frac{5-2(-1)}{3(-1)^2-2(-1)+4} = \frac{5+2}{3+2+4} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.