Номер 39.31, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.31. Вычислите:

a) $lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x^2 - 3x}$

б) $lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x + 3} - \sqrt{2x - 7})$

в) $lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{\sqrt{2x + 5} - 3}$

г) $lim_{x \to -\infty} (\sqrt{5 - 3x} - \sqrt{-3x})$

а) В данном пределе $\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$ при подстановке $x=3$ в числитель и знаменатель получаем $\sqrt{3+6}-3 = 0$ и $3^2-3 \cdot 3 = 0$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $\sqrt{x+6}+3$.
$\lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x} = \lim_{x\to3} \frac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x^2-3x)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to3} \frac{(\sqrt{x+6})^2-3^2}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to3} \frac{x+6-9}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to3} \frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$.
Сократим дробь на $(x-3)$, так как при вычислении предела $x$ стремится к 3, но не равен 3.
$\lim_{x\to3} \frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{3+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{3(3+3)} = \frac{1}{18}$.
Ответ: $\frac{1}{18}$

б) В пределе $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{2x+3} - \sqrt{2x-7})$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\infty - \infty$, так как при $x \to \infty$ оба корня стремятся к бесконечности. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}$.
$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{2x+3} - \sqrt{2x-7}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{2x-7})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7})}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty} \frac{(2x+3) - (2x-7)}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x+3-2x+7}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty} \frac{10}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}}$.
Поскольку при $x \to \infty$ знаменатель $\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}$ стремится к $\infty$, а числитель является константой, предел равен нулю.
Ответ: $0$

в) В пределе $\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}$ при подстановке $x=2$ получаем $2^2-4 = 0$ в числителе и $\sqrt{2\cdot2+5}-3 = \sqrt{9}-3=0$ в знаменателе. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы ее раскрыть, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{2x+5}+3$.
$\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3} = \lim_{x\to2} \frac{(x^2-4)(\sqrt{2x+5}+3)}{(\sqrt{2x+5}-3)(\sqrt{2x+5}+3)} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(\sqrt{2x+5})^2-3^2} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(2x+5)-9} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2x-4} = \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2(x-2)}$.
Сократив на $(x-2)$, получим:
$\lim_{x\to2} \frac{(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2} = \frac{(2+2)(\sqrt{2\cdot2+5}+3)}{2} = \frac{4(\sqrt{9}+3)}{2} = \frac{4(3+3)}{2} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$.
Ответ: $12$

г) В пределе $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{5-3x} - \sqrt{-3x})$ имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. При $x \to -\infty$ выражения $5-3x$ и $-3x$ стремятся к $+\infty$. Для раскрытия неопределенности домножим и разделим выражение на сопряженное ему $\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}$.
$\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{5-3x} - \sqrt{-3x}) = \lim_{x\to-\infty} \frac{(\sqrt{5-3x} - \sqrt{-3x})(\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x})}{\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}} = \lim_{x\to-\infty} \frac{(5-3x) - (-3x)}{\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}} = \lim_{x\to-\infty} \frac{5}{\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}}$.
При $x \to -\infty$ знаменатель $\sqrt{5-3x} + \sqrt{-3x}$ стремится к $\infty$, в то время как числитель является константой. Следовательно, предел равен нулю.
Ответ: $0$