Номер 39.33, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.33. a) $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2};$

б) $lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x}.$

а) Найдём предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

При подстановке $x=0$ в выражение получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$, так как $\cos 0 = 1$.

Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}$

Перепишем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

$\lim_{x\to0} 2 \cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{x}\right)^2$

Чтобы привести знаменатель к виду аргумента синуса, умножим и разделим его на 2:

$\lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{2 \cdot \frac{x}{2}}\right)^2 = \lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \lim_{x\to0} 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

$\frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0} \left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$

Так как при $x \to 0$, то и $\frac{x}{2} \to 0$. Пусть $u = \frac{x}{2}$. Тогда предел принимает вид:

$\frac{1}{2} \cdot \left(\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Этот предел также известен как второй замечательный предел.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Найдём предел $\lim_{x\to0} \frac{\sin 7x - \sin 3x}{\sin 8x - \sin 2x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределённость вида $\frac{0-0}{0-0} = \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределённости используем формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Преобразуем числитель:

$\sin 7x - \sin 3x = 2\sin\frac{7x-3x}{2}\cos\frac{7x+3x}{2} = 2\sin\frac{4x}{2}\cos\frac{10x}{2} = 2\sin(2x)\cos(5x)$

Преобразуем знаменатель:

$\sin 8x - \sin 2x = 2\sin\frac{8x-2x}{2}\cos\frac{8x+2x}{2} = 2\sin\frac{6x}{2}\cos\frac{10x}{2} = 2\sin(3x)\cos(5x)$

Подставим преобразованные выражения в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{2\sin(2x)\cos(5x)}{2\sin(3x)\cos(5x)}$

При $x \to 0$, $\cos(5x) \to \cos(0) = 1 \neq 0$, поэтому можно сократить $\cos(5x)$ и константу 2:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$

Мы снова получили неопределённость $\frac{0}{0}$. Разделим числитель и знаменатель на $x$ и воспользуемся первым замечательным пределом:

$\lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin(2x)}{x}}{\frac{\sin(3x)}{x}} = \lim_{x\to0} \frac{2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x}}{3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}}$

По свойству предела частного:

$\frac{\lim_{x\to0} \left(2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x}\right)}{\lim_{x\to0} \left(3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}\right)} = \frac{2 \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x}}{3 \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin(3x)}{3x}}$

Так как при $x \to 0$ и $2x \to 0$, и $3x \to 0$, оба предела в числителе и знаменателе равны 1.

$\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$