Номер 39.26, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.26. a) $ \lim_{x \to 0,5} (2 \arcsin x + 3 \arccos x); $

б) $ \lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \sin \pi x}{\pi \cos \pi x + 2 \arcsin x}; $

в) $ \lim_{x \to \sqrt{3}^{-}} (2 \operatorname{arctg} x - \operatorname{arcctg} x); $

г) $ \lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\cos x - \cos (-x) + \operatorname{arctg} x}. $

а) $\lim_{x \to 0,5} (2 \arcsin x + 3 \arccos x)$

Функции $y = \arcsin x$ и $y = \arccos x$ являются непрерывными на отрезке $[-1, 1]$. Точка $x = 0,5$ принадлежит этому отрезку, следовательно, функция $f(x) = 2 \arcsin x + 3 \arccos x$ также непрерывна в этой точке. Для нахождения предела можно просто подставить значение $x = 0,5$ в выражение.

Находим значения обратных тригонометрических функций:

$\arcsin(0,5) = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$

$\arccos(0,5) = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$\lim_{x \to 0,5} (2 \arcsin x + 3 \arccos x) = 2 \cdot \frac{\pi}{6} + 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi + 3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

б) $\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \sin \pi x}{\pi \cos \pi x + 2 \arcsin x}$

Все функции, входящие в выражение, непрерывны в точке $x = -0,5$. Для нахождения предела попробуем выполнить прямую подстановку значения $x = -0,5 = -1/2$.

Вычислим значение числителя:

$\arccos(-0,5) + \pi \sin(\pi \cdot (-0,5)) = \arccos(-\frac{1}{2}) + \pi \sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{2\pi}{3} + \pi(-1) = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}$

Вычислим значение знаменателя:

$\pi \cos(\pi \cdot (-0,5)) + 2 \arcsin(-0,5) = \pi \cos(-\frac{\pi}{2}) + 2 \arcsin(-\frac{1}{2}) = \pi \cdot 0 + 2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$

Поскольку знаменатель не равен нулю, предел равен отношению значений числителя и знаменателя в этой точке:

$\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \sin \pi x}{\pi \cos \pi x + 2 \arcsin x} = \frac{-\frac{\pi}{3}}{-\frac{\pi}{3}} = 1$

Ответ: $1$.

в) $\lim_{x \to \sqrt{3}} (2 \operatorname{arctg} x - \operatorname{arcctg} x)$

Функции $y = \operatorname{arctg} x$ и $y = \operatorname{arcctg} x$ непрерывны на всей числовой оси, а значит, и в точке $x = \sqrt{3}$. Следовательно, предел можно найти путем прямой подстановки.

Находим значения обратных тригонометрических функций:

$\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

$\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

Подставляем значения в выражение:

$\lim_{x \to \sqrt{3}} (2 \operatorname{arctg} x - \operatorname{arcctg} x) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $\lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\cos x - \cos(-x) + \operatorname{arctg} x}$

Упростим знаменатель дроби, используя свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos x$.

$\cos x - \cos(-x) + \operatorname{arctg} x = \cos x - \cos x + \operatorname{arctg} x = \operatorname{arctg} x$

Теперь предел имеет вид:

$\lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\operatorname{arctg} x}$

Все функции в новом выражении непрерывны в точке $x = -1$. Выполним прямую подстановку.

Вычислим значение числителя при $x = -1$:

$2 \operatorname{arcctg}(-1) + \pi(-1) = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} - \pi = \frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$

Вычислим значение знаменателя при $x = -1$:

$\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Знаменатель не равен нулю, поэтому предел равен отношению значений:

$\lim_{x \to -1} \frac{2 \operatorname{arcctg} x + \pi x}{\operatorname{arctg} x} = \frac{\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} \cdot (-\frac{4}{\pi}) = -2$

Ответ: $-2$.