Номер 39.22, страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.22. Постройте график функции $y = f(x)$, обладающей следующими свойствами:

a) $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$; $f(2) = 5$; $\lim_{x \to -3} f(x) = -1$; $f(-3) = 1$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$;

функция возрастает на $(-\infty; 2];$

б) $\lim_{x \to -1} f(x) = -3$; $f(-1) = 2$; $\lim_{x \to 0} f(x) = -2$; $f(0) = -2$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$;

$E(f) = (-3; 5].$

а)

Для построения графика функции $y=f(x)$ проанализируем заданные свойства:

• $\lim_{x\to 2} f(x) = 5$ и $f(2) = 5$. Эти условия означают, что функция непрерывна в точке $x=2$, и ее график проходит через точку $(2, 5)$.
• $\lim_{x\to -3} f(x) = -1$ и $f(-3) = 1$. Поскольку предел функции в точке $x=-3$ не равен значению функции в этой точке, здесь мы имеем устранимый разрыв. На графике это будет выглядеть как "выколотая" точка (отверстие) в $(-3, -1)$ и "закрашенная" точка в $(-3, 1)$.
• $\lim_{x\to\infty} f(x) = -2$. Это означает, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.
• Функция возрастает на $(-\infty; 2]$. Согласно определению, функция возрастает на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.
  Рассмотрим поведение функции в окрестности точки разрыва $x=-3$. Возьмем $x_1 = -3$ и $x_2$ такое, что $-3 < x_2 < 2$. У нас есть $f(-3)=1$. Из условия $\lim_{x\to -3} f(x) = -1$ следует, что для $x_2$, достаточно близкого к $-3$, значение $f(x_2)$ будет близко к $-1$. Таким образом, мы получаем $f(-3) > f(x_2)$ (так как $1 > -1$), что противоречит условию возрастания.
  Вероятно, в условии имеется в виду, что функция возрастает на каждом из интервалов непрерывности, то есть на $(-\infty, -3)$ и $(-3, 2]$. Будем строить график, исходя из этого предположения.

Соберем все вместе для построения эскиза графика:

1. При $x \to -\infty$ функция должна начинаться от какого-то значения, чтобы затем возрастать. Предположим, что при $x \to -\infty$ у функции есть горизонтальная асимптота, например, $y = -4$.
2. На интервале $(-\infty, -3)$ функция возрастает от асимптоты $y=-4$ до значения, близкого к $-1$. На графике рисуем восходящую кривую, заканчивающуюся выколотой точкой в $(-3, -1)$.
3. В точке $x=-3$ отмечаем закрашенную точку $(-3, 1)$.
4. На интервале $(-3, 2]$ функция снова возрастает. Она начинается от значений, близких к $-1$ (справа от выколотой точки) и возрастает до точки $(2, 5)$.
5. При $x>2$ функция должна стремиться к горизонтальной асимптоте $y=-2$. Для этого она будет убывать от точки $(2, 5)$, приближаясь к прямой $y=-2$.

Ответ: Один из возможных графиков функции, удовлетворяющей заданным условиям, представлен на рисунке выше.

б)

Проанализируем свойства для построения графика функции $y=f(x)$:

• $\lim_{x\to -1} f(x) = -3$ и $f(-1) = 2$. Это указывает на устранимый разрыв в точке $x=-1$. График будет иметь выколотую точку в $(-1, -3)$ и закрашенную точку в $(-1, 2)$.
• $\lim_{x\to 0} f(x) = -2$ и $f(0) = -2$. Это означает, что функция непрерывна в $x=0$ и проходит через точку $(0, -2)$.
• $\lim_{x\to\infty} f(x) = 3$. Прямая $y=3$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.
• $E(f) = (-3; 5]$. Область значений функции — это полуинтервал $(-3, 5]$. Это означает, что $f(x) \le 5$ для всех $x$, и это максимальное значение достигается в некоторой точке. Также $f(x) > -3$ для всех $x$, то есть значение $-3$ является точной нижней гранью, но никогда не достигается.

Так как условия не определяют функцию однозначно, мы можем сделать некоторые предположения для построения одного из возможных графиков.

1. Условие $\lim_{x\to -1} f(x) = -3$ согласуется с областью значений, так как функция стремится к своей нижней границе, не достигая ее.
2. Функция должна достигать своего максимума $y=5$. Пусть это происходит в точке $x=2$, то есть $f(2)=5$.
3. Поведение функции при $x \to -\infty$ не задано. Предположим, что и здесь есть горизонтальная асимптота, значение которой должно лежать в области значений $(-3, 5]$. Пусть это будет $y=1$, то есть $\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1$.

Эскиз графика будет выглядеть так:

• На интервале $(-\infty, -1)$ график функции идет от асимптоты $y=1$, убывая и приближаясь к выколотой точке $(-1, -3)$.
• В точке $x=-1$ есть закрашенная точка $(-1, 2)$.
• На интервале $(-1, \infty)$ график "начинается" от выколотой точки $(-1, -3)$, проходит через точку $(0, -2)$, достигает своего максимума в точке $(2, 5)$, а затем убывает, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y=3$.

Ответ: Один из возможных графиков функции, удовлетворяющей заданным условиям, представлен на рисунке выше.