Номер 39.18, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 72–79, имеет предел при $x \to 3$? Чему равен этот предел?

Рис. 72

Рис. 73

Рис. 74

Рис. 75

Рис. 76

Рис. 77

Рис. 78

Рис. 79

Для того чтобы существовал предел функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к некоторой точке $a$, необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны друг другу её односторонние пределы (предел слева и предел справа). Математически это записывается так:

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

где $L$ — это конечное число, которое и является значением предела. В данной задаче мы анализируем поведение функций в окрестности точки $x=3$.

Рис. 72

Найдём односторонние пределы. Когда $x$ стремится к 3 с левой стороны ($x \to 3^-$), значения функции $y$ приближаются к 3. Следовательно, предел слева $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. Когда $x$ стремится к 3 с правой стороны ($x \to 3^+$), значения функции $y$ также приближаются к 3. Следовательно, предел справа $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3$. Поскольку односторонние пределы равны ($3=3$), предел функции в точке $x=3$ существует. Выколотая точка на графике означает, что функция в точке $x=3$ не определена, но это не влияет на существование предела.

Ответ: предел существует и равен 3.

Рис. 73

Найдём односторонние пределы. При приближении $x$ к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к 4, т.е. $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$. При приближении $x$ к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ также стремятся к 4, т.е. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Так как односторонние пределы равны ($4=4$), предел существует. Наличие отдельной точки $(3, 3)$ означает, что значение функции в этой точке $f(3)=3$, но оно не совпадает со значением предела.

Ответ: предел существует и равен 4.

Рис. 74

Найдём односторонние пределы. Когда $x$ стремится к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к 4. Таким образом, $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4$. Когда $x$ стремится к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ также стремятся к 4. Таким образом, $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Поскольку односторонние пределы равны, предел существует. В данном случае функция непрерывна в точке $x=3$, и её предел совпадает со значением функции в этой точке.

Ответ: предел существует и равен 4.

Рис. 75

Найдём односторонние пределы. При $x \to 3^-$, значения функции стремятся к 3, т.е. $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. При $x \to 3^+$, значения функции стремятся к 4, т.е. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 4$. Поскольку предел слева не равен пределу справа ($3 \neq 4$), предел функции в точке $x=3$ не существует. Это так называемый разрыв первого рода (скачок).

Ответ: предел не существует.

Рис. 76

При приближении $x$ к 3 как слева, так и справа, значения функции $y$ неограниченно возрастают, т.е. стремятся к бесконечности. $\lim_{x \to 3} f(x) = +\infty$. Поскольку предел не является конечным числом, в стандартном определении предела говорят, что он не существует. Прямая $x=3$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: предел не существует.

Рис. 77

Найдём односторонние пределы. Предел слева: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. Предел справа: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$. Так как правый предел не является конечным числом (и, следовательно, не равен левому пределу), общий предел в точке $x=3$ не существует.

Ответ: предел не существует.

Рис. 78

Найдём односторонние пределы. Предел слева: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3$. Предел справа: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5$. Поскольку односторонние пределы не равны ($3 \neq 5$), предел функции в точке $x=3$ не существует. Это разрыв типа "скачок".

Ответ: предел не существует.

Рис. 79

Найдём односторонние пределы. Когда $x$ стремится к 3 слева ($x \to 3^-$), значения $y$ стремятся к 1, то есть $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 1$. Когда $x$ стремится к 3 справа ($x \to 3^+$), значения $y$ также стремятся к 1, то есть $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 1$. Так как односторонние пределы равны, предел существует. Функция непрерывна в точке $x=3$.

Ответ: предел существует и равен 1.