Номер 39.11, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

39.11. а) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right);$

б) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^5} - \frac{2}{x^3}\right);$

В) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right);$

Г) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9}{x^3} - \frac{5}{x^7}\right).$

а) Для вычисления данного предела воспользуемся свойством предела суммы: предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если они существуют.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3}$
Теперь вычислим каждый предел по отдельности. Используем основное свойство предела для дробей, где знаменатель стремится к бесконечности: $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ для любой константы $c$ и любого $n > 0$.
Для первого слагаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$, так как степень $x$ в знаменателе $2 > 0$.
Для второго слагаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3} = 0$, так как степень $x$ в знаменателе $3 > 0$.
Складывая результаты, получаем: $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

б) Для вычисления этого предела воспользуемся свойством предела разности: предел разности двух функций равен разности их пределов.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^5} - \frac{2}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^5} - \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^3}$
Применим правило $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ для $n > 0$.
Для уменьшаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^5} = 0$, так как $5 > 0$.
Для вычитаемого: $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^3} = 0$, так как $3 > 0$.
Вычитая результаты, получаем: $0 - 0 = 0$.
Ответ: 0

в) Вычислим предел, используя свойство предела суммы.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3}$
Поскольку при $x \to \infty$ любая функция вида $\frac{c}{x^n}$ (где $n > 0$) стремится к нулю, имеем:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} = 0$ (так как $2 > 0$)
$\lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3} = 0$ (так как $3 > 0$)
Сумма этих пределов равна: $0 + 0 = 0$.
Ответ: 0

г) Вычислим предел, используя свойство предела разности.
$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{9}{x^3} - \frac{5}{x^7}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^3} - \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^7}$
Используем тот же принцип, что и в предыдущих пунктах: $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n > 0$.
$\lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^3} = 0$ (так как $3 > 0$)
$\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^7} = 0$ (так как $7 > 0$)
Разность этих пределов равна: $0 - 0 = 0$.
Ответ: 0