Номер 39.4, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.4. Известно, что $\lim_{x\to\infty} f(x) = -2$, $\lim_{x\to\infty} g(x) = -10$, $\lim_{x\to\infty} h(x) = 6$.

Вычислите:

a) $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)}$

б) $\lim_{x\to\infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15}$

в) $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)}$

г) $\lim_{x\to\infty} \frac{3g(x)}{5h(x)}$

Для вычисления данных пределов мы воспользуемся свойствами пределов (предел суммы, произведения, частного и постоянной величины), так как известно, что пределы функций $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ при $x \to \infty$ существуют и конечны.

Дано: $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10$, $\lim_{x \to \infty} h(x) = 6$.

а)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ применим свойство предела частного. Так как предел знаменателя $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10 \ne 0$, то предел частного равен частному пределов:

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{-2}{-10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15}$ воспользуемся свойствами предела суммы, произведения на константу и частного. Сначала найдем пределы числителя и знаменателя по отдельности.

Предел числителя: $\lim_{x \to \infty} (3f(x) + h(x)) = 3 \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} h(x) = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$.

Предел знаменателя: $\lim_{x \to \infty} (2g(x) + 15) = 2 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) + \lim_{x \to \infty} 15 = 2 \cdot (-10) + 15 = -20 + 15 = -5$.

Поскольку предел знаменателя не равен нулю, можем найти предел частного:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15} = \frac{0}{-5} = 0$.

Ответ: $0$.

в)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)}$ используем свойства предела произведения и частного.

Предел числителя: $\lim_{x \to \infty} (f(x)h(x)) = (\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} h(x)) = (-2) \cdot 6 = -12$.

Предел знаменателя $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10 \ne 0$.

Следовательно, предел частного равен:

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)h(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} (f(x)h(x))}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

г)

Для вычисления $\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)}$ воспользуемся свойством вынесения константы за знак предела и свойством предела частного.

$\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} (3g(x))}{\lim_{x \to \infty} (5h(x))} = \frac{3 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x)}{5 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x)}$.

Предел знаменателя $5 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x) = 5 \cdot 6 = 30 \ne 0$. Подставляем известные значения пределов:

$\frac{3 \cdot (-10)}{5 \cdot 6} = \frac{-30}{30} = -1$.

Ответ: $-1$.